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Tema 1.a: Números reales, sucesiones, series y funcionesLa mayor parte de las cosas que veremos se suponen conocidas, así que este tema significará en su mayoría unrepaso de cosas anteriormente vistas.Los conjuntos numéricos más destacables son los siguientes:i) El conjunto de los números naturalesN {0 1 2 3 } A veces nos interesa tomar el conjuntoN {1 2 3 } formado por todos los naturales excepto el 0.ii) El conjunto de los números enterosZ {0 1 1 2 2 } Es claro que todo número natural es un número entero.iii) El conjunto de los números racionales o fraccionariosQ { tales que Z y es no nulo} Este conjunto puede también verse como los números decimales que son periódicos (incluyendo el caso denúmeros sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal finita). Así por ejemplo serían números76 0 666 , 2 3 5 y 42 2. De este modo se ve claramente que todo número entero esracionales 23 0 b un número racional, pues 1 .iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo como el conjuntode los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como 2 1 41421 , log2 5 2 32192 ,y otros tantos números que tienen infinitos decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repitaperiódicamente. También tenemos los conjuntosR { R 0} y R { R 0}A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los números irracionales es R Q.v) El conjunto de los números complejosC { R} donde se considera como la raíz cuadrada de 1, 1. Algunos números complejos serían los siguientes: 2 3 3 4 0 4 , etc. Es claro que todo número real es un número complejo pues 0 .De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce queN Z Q R C1.La recta real RAcostumbraremos a representar R como una recta, la recta real. En esta recta si representamos dos números escribiremos a la derecha de .Veamos a continuación algunas propiedades y conceptos que nos interesan:Densidad: Dados números reales existen números Q y R Q tales que y .1
Dado un número real , representaremos por al valor absoluto de . Éste está definido del siguiente modo: si 0 máx{ } si 0 0 si 0El valor absoluto verifica diversas propiedades, algunas de las cuales serán planteadas en ejercicios. La másdestacable es la desigualdad triangular: R se cumple que Infinito: Se llama así al símbolo . Éste se usa para representar cantidades no finitas. Dicho sin mucho rigor,es como un número mayor que todos los demás. Una de las situaciones en las que se utiliza es para designar alos intervalos no acotados, como se indica a continuación.Intervalos:Se llama intervalo abierto de extremos y al conjunto] [ { R : }También hay intervalos abiertos infinitos del estilo]- [ { R : }o] [ { R : }Nota: A veces se utilizan paréntesis en vez de corchetes para representar a los intervalos abiertos, así tendremosnotaciones del estilo ( ) ( ) y ( ).Se llama intervalo cerrado de extremos y al conjunto[ ] { R : }También intervalos infinitos del estilo]- ] { R : }o[ [ { R : }Además hay intervalos abiertos por un extremo y cerrados por el otro, que son del tipo] ] { R : }o[ [ { R : } 2.El espacio métrico R En esta parte analizaremos ciertos conceptos topológicos de la recta real que pueden ser extendidos al contextomás general del espacio métricoR {( 1 2 ) : 1 2 R}donde también se pueden definir distancias. Trataremos los espacios métricos R dotados de la distancia usual:En R la aplicación que asigna a cada par R el número ( ) 2
se denomina distancia usual o euclídea en R. Es lo que nosotros interpretamos intuitivamente como la longitud delsegmento que une ambos puntos.En R2 esta distancia usual o euclídea se define para ( 1 2 ) ( 1 2 ) R2 así:p ( ) [( 1 2 ) ( 1 2 )] ( 1 1 )2 ( 2 2 )2(y es lo que nosotros interpretamos intuitivamente como la longitud del segmento que une ambos puntos). Este conceptose puede generalizar a R del siguiente modo: la distancia usual o euclídea entre ( 1 2 ) y ( 1 2 ) R es ( ) [( 1 2 ) ( 1 2 )] p ( 1 1 )2 ( 2 2 )2 ( )2 Observación: Dados y con las notaciones anteriores, el vector que los une es ( 1 1 2 2 ) Si observamos entonces la distancia euclídea entre estos dos puntos es la norma euclídea (o sea, la longitud) del vectorque los une, es decir ( ) Precisamente asociados a una distancia vienen los siguientes conceptos:Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro R y radio 0 al conjunto ( ) { R : ( ) } Se llama bola cerrada de centro R y radio 0 al conjunto ( ) { R : ( ) }Se llama bola perforada (o reducida) de centro R y radio 0 al conjunto ( ) { R : ( ) } { }Ejemplos:1. En R con la distancia usual, ( ) no es más que el intervalo ] [ (si la bola es cerrada se tomaría elintervalo cerrado). Así (1 3) ]-2 4[ (0 4) [ 4 4]2. En R2 con la distancia euclídea, ( ) es el círculo de ese centro y ese radio (si la bola es cerrada se tomaríael círculo junto con el borde [la circunferencia]). ((2 1) 3) {( ) R2 : ( 2)2 ( 1)2 9} ((0 1) 2) {( ) R2 : 2 ( 1)2 4}3. En R3 con la distancia euclídea, ( ) es el interior de la esfera de ese centro y ese radio (si la bola es cerradase tomaría la esfera completa incluida la superficie [la esfera]).Diremos que es un punto interior (o que está en el interior) de un conjunto si existe ( ) ; tambiénse dice que el conjunto es un entorno del punto .Diremos que es un punto de acumulación del conjunto si toda ( ) contiene infinitos puntos delconjunto .3
Diremos que un conjunto del espacio métrico R es abierto si todo punto de es un punto interior de ,es decir si 0 : ( ) Diremos que es cerrado en el espacio métrico si su complementario R es abierto (o equivalentementesi contiene a todos sus puntos de acumulación).Observación: La idea intuitiva es que un conjunto es abierto cuando no tiene puntos que estén en el borde, cuandoestán todos encerrados en el interior, y que un conjunto es cerrado si todo el borde del conjunto pertenece a él.Ejemplo: Los siguientes conjuntos son abiertos en R:]0 1[]- 4[]1 2[ ]5 7[RR {7 8 9} Ejemplo: Los siguientes conjuntos son cerrados en R:[0 1]]- 4]R[1 2] [5 7]N{2 5 6}[1 2] {5} Ejemplo: Los siguientes conjuntos no son abiertos ni cerrados en R:]0 1]]1 4[ {5}{1: N 1} Ejemplo: En R2 los conjuntos {( ) : 2} {( ) : 2 ( 2)2 1} {( ) : 2 1} {( ) : ( 2) 1} {(1 1)}son abiertos; los conjuntosson cerrados; y el conjunto {( ) : 2 0}no es ni abierto ni cerrado.Un conjunto se dirá que está acotado si se puede introducir en alguna bola, es decir, si existe ( )cumpliendo que ( ).Finalmente diremos que es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.Así por ejemplo serían compactos (luego acotados) los conjuntos [1 2], {3}, [ 1 5] { 2 8} y no los conjuntos]- 0] y ]2 3], siendo el último acotado y el penúltimo no.3.Sucesiones. Convergencia de sucesionesA continuación vemos el concepto de sucesión de números reales. Ésta se define formalmente como una aplicación : N R (el dominio no tiene por qué ser exactamente N, puede ser cualquier subconjunto infinito suyo), aunquela principal idea con la que debemos quedarnos es con que una sucesión de números reales es una colección infinitade números reales ordenados mediante índices naturales 0 1 2 (pudiendo empezar por otro índice que no sea 0). Podremos denotarla por ( ) N o simplemente por ( ), diciendo que el término general de la sucesión es .(Observemos que podemos definir exactamente igual el concepto de sucesión en cualquier R .)Algunos ejemplos de sucesiones son:1. La sucesión de término general 2 ; sus términos son 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 ; másabreviadamente diremos que sus términos son 0 1 4 9 16 .4
2. La sucesión de término general 2 1; sus términos son 0 1 1 1 2 3 3 5 4 7 .; másabreviadamente diremos que sus términos son 1 1 3 5 7 .3. La sucesión de término general 1 ; sus términos son 1 1 2 12 3 13 4 14 ; más abreviadamentediremos que sus términos son 1 12 13 14 4. La sucesión de término general 2 ;sus términos son 3 42 53 64 5. Dado R, la sucesión de término general ; sus términos son Se denomina sucesiónconstante .6. En R2 , la sucesión de término general ( 1 ); sus términos son (1 1) ( 12 2) ( 13 3) ( 14 4) Hay ciertos tipos de sucesiones de números reales que interesa destacar:Se dice que una sucesión ( ) es monótona creciente, o simplemente creciente (respectivamente, estrictamentecreciente) si para todo N se tiene que 1 (respectivamente, 1 ). Simétricamente se define elconcepto de sucesión (monótona) decreciente o estrictamente decreciente, cambiando los símbolos de menor ymenor o igual por mayor y mayor o igual, respectivamente.Nota: En el ejemplo anterior son sucesiones crecientes las de los apartados 1, 2 y 5 (las 1 y 2 en sentido estricto) ymonótonas decrecientes las de los apartados 3, 4 y 5 (las 3 y 4 en sentido estricto).Se dice que una sucesión de números reales ( ) está acotada superiormente (respectivamente, acotada inferiormente) si existe un número real tal que para todo N se tiene que (respectivamente, ). Sila sucesión está acotada superior e inferiormente se dirá que es una sucesión acotada (en el caso de una sucesión enR , se dirá que dicha sucesión está acotada cuando podamos introducirla dentro de alguna bola).Pasemos ahora a abordar un concepto muy importante:Se dice que la sucesión ( ) tiene por límite (y se denotará por lı́m o simplemente por lı́m ) cuando 0 0 N tal que si 0 entonces ( ) Es decir, que para cualquier bola ( ) que tomemos existe un 0 a partir del cual todos los términos de la sucesiónestán dentro de la bola. En esta situación diremos que la sucesión es convergente.La definición de sucesión ( ) convergente hacia un punto significa intuitivamente que los términos de la sucesiónse aproximan hacia cuando se hace grande.Nota: La condición ( ) significa que ( ) , por lo que dicha condición dependerá del espaciométrico en que estemos. Así en el caso que más se nos va a presentar, en R, eso significará que , es decir,que ] [.Veamos también el concepto de sucesiones divergentes:Se dice que la sucesión de números reales ( ) tiene límite (respectivamente, ó ) o que lı́m (respectivamente, lı́m lı́m ) cuando 0 0 N tal que si 0 entonces (respectivamente ó ).En cualquiera de los casos se dice que la sucesión es divergente (hacia , o hacia ).Nota: En general en R se dice que una sucesión ( ) es divergente si dado cualquier se tiene que 0 0 N tal que si 0 entonces ( ) .Intuitivamente significa que cualquier bola que tomemos solamente contiene un número finito de términos de lasucesión.Finalmente cuando una sucesión no sea ni convergente ni divergente se dirá que no tiene límite o que es oscilante.Algunas propiedades que se verifican son:1. Si una sucesión tiene límite (finito o infinito) éste es único.2. Toda sucesión convergente está acotada.5
3. Toda sucesión de números reales creciente o decreciente tiene límite (finito o infinito). Concretamente, si lasucesión es creciente (respectivamente decreciente) entonces será convergente cuando esté acotada superiormente(respectivamente inferiormente).Como nuestro propósito no es un desarrollo exhausto de esta parte de sucesiones, sino meramente algo introductorio,pondremos aquí una lista de ejemplos de límites de sucesiones de números reales (excepto el ejemplo sexto que es unasucesión en R2 ).Ejemplos:1. La sucesión de término general 1 converge a 0 (lı́m 1 0).2. La sucesión de término general 2 diverge a (lı́m 2 ).3. La sucesión de término general ( 1) es oscilante (@ lı́m( 1) ).4. La sucesión de término general ( 1) diverge a (lı́m( 1) ).5. La sucesión constante , de término general , converge a (lı́m ).6. La sucesión en R2 de término general ( 1 3) converge a (0 3) (lı́m( 1 3) (0 3)).7. La sucesión cuyos primeros términos son 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 y así sucesivamente, es divergente.8. La sucesión cuyos primeros términos son 8 5 0 4 7 15 16 17 y así sucesivamente, tiene límite 0.Nota: El comportamiento de las 2 sucesiones anteriores se ha observado en la ”cola” de la sucesión, es decir,mirando los términos a partir de un índice. Algunas sucesiones pueden tener un comportamiento muy particularo caprichos durante un número finito de términos, pero si a partir de un índice tienen un comportamientoregular, es eso en lo que hay que fijarse de la sucesión para saber si está acotada, si tiene límite, etc. No influyeel comportamiento de la sucesión en un número finito de términos.9. lı́m(3 5 ) lı́m 3 lı́m 5 3 5 · lı́m 1 3 5 · 0 3 10. lı́m(3 3 ) lı́m 3 3 lı́m 3 3 · 3 11. lı́m 2 12. lı́m( 23 ) 0 2 413. La sucesión ( 5 6 2 ) tiene límite 0.214. La sucesión ( 4 2 5 6 ) tiene límite 5 .315. La sucesión ( 2 4 5 6 2 ) tiene límite .Nota: Si ( ) y ( ) son los términos ( ) lı́m ( ) generales de sucesiones de tipo polinómico entonces0 si el grado de es menor que el grado de . si el grado de es mayor que el grado de . si los grados coinciden. Esto explica los 3 últimos límites anteriores.416. lı́m 100 0 17. lı́m log 0 Nota: Los dos últimos ejemplo se resumen en una frase: El crecimiento exponencial es mayor que el polinómicoy éste a su vez es mayor que el logarítmico.18. lı́m(1 1 ) .( ' 2 72 es la constante de Euler, utilizada para la función exponencial y para el logartimoneperiano.)Nota: Este último ejemplo es un caso particular del caso más general que dice que si ( ) es una sucesióndivergente hacia uno de los infinitos, entonces lı́m(1 1 ) .6
19. lı́m11 log 1 lı́m lı́m log lı́m log lı́m 0 1 Para explicar con detalle y que se entienda bien el desarrollo y la solución de toda esta lista de ejemplos haríafalta dar de modo muy exhaustivo toda una serie de pautas y resultados que aquí creemos no necesario por el carácterintroductorio y, en parte, de repaso del tema. Sí diremos que entre estos límites hay algunos en los cuales la aplicacióndirecta del límite la sucesión como combinación de otras sucesiones (sea como producto, cociente, esponente, etc.)nos daría lo que dentro de la teoría de límites se conoce como indeterminaciones. Son casos en los que el límite,no es que no tenga solución (que siempre la hay, en sentido positivo -convergente o divergente- o negativo -oscilante)sino que no se puede obtener de modo directo. Hay que emplear algún tipo de regla o manipular adecuadamente laexpresión para evitar dicha indeterminanción. He aquí las 7 indeterminaciones que pueden aparecer en los límites de00 sucesiones (y posteriormente en los límites de funciones): 00 0 · 0 1 .4.Series de números realesSea ( ) 0 una sucesión de números reales (pudiendo empezar por otro índice que no sea el 0). Construimos unanueva sucesión del siguiente modo: 0 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 . A esta sucesión se le llama sucesión dePsumas parciales de , la denotaremos por y la denominaremos serie numérica o serie de números reales 0(o simplemente serie) de término general .PDada una serie (omitimos los subíndices si no son estrictamente necesarios) se dirá que es convergentecuando la sucesión sea convergente, y se dirá que lı́m es el valor de la suma de la serie. Se dirá que la serie esdivergente cuando la sucesión sea divergente, y se dirá que la suma de la serie es el correspondiente infinito ( , , o ). Se dirá que la serie es oscilante (o no sumable) si la sucesión es oscilante.En lo sucesivo cuando se hable de estudiar el carácter de una serie se tratará de determinar si la serie esconvergente, divergente u oscilante.De modo intuitivo lo que se hace es analizar si la suma de los términos de la sucesión de término general tienesentido realizarla, en el sentido da un número finito o acaba resultando infinito (o no es posible hacerla).Ejemplos:1. La serie geométrica de razón R. Esta serie tiene por término general . Además converge si y sólo siP 1 1 1 y de hecho, en ese caso, la suma vale 1 . Es el ejemplo clásico de serie. 02. La serie exponencial: P 03. La serieP !, válida para cualquier número real .( 35 ) es geométrica de razón 35 , con lo que es convergente, y su suma es 04. La serieP11 35( 13 ) es geométrica de razón 13 , con lo que es convergente, y su suma es 1 131 13125 52 . 1343 14 .P2 es geométrica de razón 2, con lo que es divergente.P16. La serie armónica. Su término general es 1 . Su suma es (es divergente).5. La serie 17. La seriePP[3·(0 4) 2·( 15 ) ] puede ponerse en la forma 332.Esto se denomina el carácter lineal de la serie. 1(0 4) 2 1P( 15 ) y las dos series que aquí intervienen 1son (geométricas y) convergentes, luego la serie inicial es convergente, y además la suma es 3 ·2 4.1.12 0 41 0 4 2·151 15 Criterios para determinar la convergencia de una seriePara determinar si una serie converge o no existen una serie de criterios, unos pocos de los cuales vamos a comentarPaquí. Lo habitual es que manejemos series de términos positivos, es decir, series de la forma , donde para todo se tiene que 0. En este caso la serie, debe ser necesariamente convergente o divergente (no puede ser oscilante).7
4.1.1.Criterio del cocienteP una serie de términos positivos y supongamos que existe lı́m 1 . Entonces siSea 1Ejemplo: La serieP 2 ! 1 la serie converge 1 la serie diverge 1 no sabemos nadaes convergente pues el término general es 2 !y lı́m 1 lı́m 2 1( 1)!2 ! 1 ! lı́m 22 ( 1)! 2 0 1.lı́m 1Nota: Recordemos que el factorial de un número natural es ! · ( 1) · ( 2) · · · 3 · 2 · 1.4.1.2.Condición necesaria de convergenciaPSi una serie es convergente entonces lı́m 0. Dicho de otra forma si lı́m 6 0 (o no existe tal límite)entonces la serie no puede ser convergente.4.1.3.Series absolutamente convergentesPPSe dice que una serie es absolutamente convergente si la serie es convergente. En relación con 1 1esto se tiene que toda serie absolutamente convergente es convergente.1. La serieP3 12. La serieP( 1) 4 2es absolutamente convergente (no lo probamos aquí), luego convergente.( 1) 1 es convergente (no lo probamos aquí) pero no es absolutamente convergente. 14.1.4.Criterio de comparaciónPP dos series de términos positivos. SiSean y( PP es convergente es convergente, entonces yPP es divergente, entonces es divergenteEjemplo:En la práctica la situación más habitual que se nos presentará para usar este criterio será que a la hora de analizarPPla convergencia de la serie podamos encontrar una serie de términos positivos convergente de modo quePP para todo . Entonces converge la serie (o lo que es lo mismo, la serie es absolutamentePconvergente) y en consecuencia también converge.P cos 5 Analicemos la convergencia de la serie2 .Como cos 5 1 2 2 P 1P cos 5 y la seriey por tanto la serie inicial.2 converge (es armónica) entonces también es convergente la serie2 15.FuncionesLlamaremos función real de variable real a una función : R R, donde al conjunto se le llamarádominio de la función, y lo denotaremos por .En general el dominio de la función puede sobreentenderse como el conjunto más amplio posible de puntos en elque está definida la función (en ocasiones pondremos : R R, donde el dominio será un subconjunto de R quevendrá entonces sobreentendido o podrá hallarse).Ejemplos:1. ( ) 1 . El dominio es R {0}.8
2. ( ) 11 2 .3. ( ) 1. El dominio es [1 [.El dominio es R {1 1}.4. ( ) log . El dominio es ]0 [.5. ( ) 3 2. El dominio es R.La gráfica de es la representación en el plano de todos los puntos ( ( )) con .Gráfica de ( ) 2 3 10 2 200Gráfica de ( ) 2 · cos 3 OPERACIONES CON FUNCIONESLas funciones suma y resta de dos funciones y son las funciones definidas por( )( ) ( ) ( )De modo similar tenemos la función producto por el escalar como( · )( ) · ( )el producto( · )( ) ( ) · ( )y el cociente ( )( ) ( )También se puede realizar la exponenciación ( ) ( )y si y son funciones para las que tiene sentido recordemos que la composición es( )( ) ( ( ))Recordemos que la función constante es la que está definida por ( ) para todo del dominio, que la función identidad es la que está definida por ( ) 9
para todo del dominio, y que una función biyectiva es invertible, es decir, existe otra función, a la quellamaremos función inversa de y a la que denotaremos por 1 , que verifica que 1 1 (endefinitiva, se tiene que( 1 )( ) para todo del dominio de y( 1 )( ) para todo del dominio de 1 ).A propósito de lo anterior lo que se hace habitualmente a partir de una función es tomar un conjunto en el que sea inyectiva. Como la restricción : ( ) es biyectiva, tiene sentido tomar la inversa 1 : ( ) restringida al dominio y al codominio.Ejemplo: Sean ( ) 1 y ( ) 1 .Entonces1 2 1( )( ) 1 2 11( )( ) 1 1 1( · )( ) ( 1) · 1( ) ( 1) : ( 1) · 2 y en los puntos para los que tenga sentido11( )( ) ( ) 1 1( )( ) ( 1) 1Ejemplo: La función : R R definida por ( ) 2tiene por dominio R e imagen R {0}. Pero no es inyectiva pues hay números distintos con la misma imagen (cadapar de números opuestos), por ejemplo, (2) ( 2) 4. Así no es biyectiva y por tanto no invertible. Pero sitomamos subconjuntos del dominio en los que sí sea inyectiva esta función tendrá ahí inversa. En este caso si tomamoslos conjuntos R {0} y R {0} se tiene que 1 2: R {0} R {0}: R {0} R {0}sí son funciones biyectivas y por tanto tienen inversa (notemos que tanto 1 como 2 son la propia sólo que la primeraestá definida sólo para los positivos y el cero y la segunda para los negativos y el cero). Así 1 1 : R {0} R {0} 2 1 : R {0} R {0}estarán definidas del siguiente modo: 1 1 ( ) 2 1 ( ) es decir, la inversa de 1 es la raíz cuadrada negativa y la inversa de 2 es la raíz cuadrada positiva.Ejemplo: Dada la función : R R definida para cada posible porp ( ) 2 1se tiene que ]- 1] [1 [, y como Im [0 [ y en cada uno de los dos intervalos del dominio la funciónes inyectiva, se tiene que la función, con el dominio y codominio restringidos del modo siguiente : [1 [ [0 [,es una función biyectiva. La inversa de esta restricción de se podría hallar como sigue. Para cada [0 [ se tiene que 1 ( ) de modo que ( ) 2 1, luego 2 2 1, por lo que 2 2 1. De ahí quepp 2 1. Puesto que estamos tomando [1 [ debe ser forzosamente 2 1 1 ( ).FUNCIONES USUALES10
1. Los polinomiosexpresión general 0 1 2 2 recta horizontal recta oblícua parábola 2 potencia -ésima 2. Función exponencial y su inversa (logaritmo)Dado 0, 6 1 se tiene queexponencial de base logaritmo de base log Propiedadesexponenciallogaritmo 0 1log 1 0 log log log log log log log 0log ( ) El caso particular más relevante se da cuando la base es el número ' 2 72. En este caso la función se denominalogaritmo neperiano y es la que vamos a utilizar por defecto al escribir log, salvo mención expresa de la base.Gráfica de la función constante ( ) 2Gráfica de la función ( ) 2 1Gráfica de la función ( ) 2 3Gráfica de la función ( ) 3 8 10Gráfica de la función ( ) Gráfica de la función ( ) log 11
3. Funciones trigonométricasLas principales de ellas son las funciones seno ( ), coseno (cos ) y tangente (tan cos ).En un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y tal que uno de los ángulos distintos del ángulo recto es elvalor representa el cateto opuesto al ángulo y cos el cateto contiguo. Éstas funciones admiten inversas de1modo local: arc cos arctan . (Existen otras funciones trigonométricas: sec cos1 y cot tan1 con sus respectivas inversas.) Algunas de sus propiedades son las siguientes (válidas en cada casopara todo posible): 2 cos2 11 tan2 ( ) cos(arc cos ) tan(arctan ) ( ) arc cos(cos ) arctan(tan ) Gráfica de la función ( ) Gráfica de ( ) tan 1cos2 Gráfica de la función ( ) cos Gráfica de la función ( ) 2 Gráfica de la función ( ) 2 Gráfica de la función ( ) ( 2)12
Gráfica de la función ( ) 2Funciones sinusoidalesGráfica de la función ( ) 3 (4 2) 5Son funciones que se obtienen a partir de las trigonométricas seno o coseno realizándoles una o varias de transformaciones, tanto en sentido vertical como en sentido horizontal: desplazamientos de la gráfica, dilatarla, comprimirla o realizar una reflexión. Así tendríamos funciones del estilo ( ) sin( ) ( ) cos( ) o combinaciones de éstas.En todos los casos las funciones de cualquiera de los dos tipos tienen gráficas similares a la del seno y del coseno,del tipo una onda infinita. Comentemos en qué afectan cada uno de los parámetros ó a la gráfica:a) y nos ensanchan o contraen la gráfica en sentido vertical u horizontal, respectivamente, pudiendotambién reflejarla (en caso de ser negativos) según alguno de los dos ejes, vertical u horizontal:La onda con 2 sería el doble de alta, con cuádruple de grande pero invertida según el eje .13la tercera parte de alta, con 4 sería elPara 2 la onda se encogería el doble, de modo que el período de la función sería la mitad: Sila función sin tarda 2 radianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en 2 ,llegaría a su valor máximo 1, en bajaría hasta tener altura nula, en 3 2 baja hasta la alturamínima 1 y en 2 vuelve a valer 0 complentando así el primer ciclo), la función sin 2 tarda radianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en 4 , llegaría a su valor máximo 1,en 2 bajaría hasta tener altura nula, en 3 4 baja hasta la altura mínima 1 y en vuelvea valer 0 complentando así el primer ciclo). Para 12 el proceso sería simétrico valiendo el período4 y estirándose la onda en sentido horizontal. Para valores negativos de la onda sería el reflejo dela gráfica respecto del eje .b) y nos desplazarían la gráfica en sentido horizontal o vertical:La onda para 3 estaría tres unidades más arriba que la onda para 0 La onda para 1 estaría una unidad más abajo que la onda para 0 La onda para 5 estaría5 unidades más a la izquierda que la onda para 0 2 La onda para 2 estaríaunidades más a la derecha que la onda para 0 Nota: Las últimas 5 gráficas son ejemplos de funciones sinusoidales.4. Funciones hiperbólicas Las principales de ellas son las funciones seno hiperbólico ( ), coseno hiperbólico (cosh 2 ) y tangente hiperbólica (tanh cosh ). También tienen inversas: argumento seno hiperbólico2(arg ), argumento coseno hiperbólico (arg cosh ) y argumento tangente hiperbólica (arg tanh ).La principal relación que satisfacen essinh2 1 cosh2 13
(para todo posible).Gráfica de la función ( ) sinh Gráfica de la función ( ) cosh Gráfica de la función ( ) tanh 14
Nota: En el ejemplo anterior son sucesiones crecientes las de los apartados 1, 2 y 5 (las 1 y 2 en sentido estricto) y monótonas decrecientes las de los apartados3,4y5(las3y4ensentidoestricto). Se dice que una sucesión de números reales ( ) está acotada superiormente (respectivamente, acotada infe-
