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Calibración de los modelos macroscópicos de flujo de tránsito. Los modelos de tránsitoestudiados hasta ahora pueden emplearse para determinar características específicas tales comovelocidad y densidad para los cuales se presenta el flujo máximo, así como para la densidad deembotellamiento de una instalación. Hacer la calibración de un modelo implica recolectar losdatos apropiados en la instalación específica de interés, y ajustar los puntos de los datos obtenidosa un modelo adecuado. El método de enfoque más común es el análisis de regresión. Se puedeusar regresión lineal si existe una relación lineal entre las variables dependiente e independiente yel de regresión lineal múltiple cuando existe una relación lineal respecto a dos o más variables.2.4. Distribuciones estadísticas de vehículosA continuación siguen algunos ejemplos de estas distribuciones.2.4.1.Llegadas. La probabilidad de que y vehículos lleguen o pase en un período de tiempo t sepuede expresar como P(y).1. Llegadas aleatorias, ocurren cuando el volumen de tránsito es muy bajo. En ese caso sepuede aplicar la distribución Poisson.a. Se considera que las llegadas son aleatorias si la media es igual a la varianza.σ2x 1b. La fórmula de Poisson describe la probabilidad de que y vehículos lleguen en el tiempot, donde λ es la rata promedio de llegada.(λ t ) y e λtP( y ) y!m y e m y!m λt y λ VTdonde:m es el promedio de vehículos que llegan por período de tiempoe es la base del logaritmo neperiano (2,71928)y 0, 1, 2, 3, ., nV es el número total de vehículos que llegan para un instante T segundosλ es el número promedio de vehículos que llegan por segundo.2. Tráfico más congestionado, ocurre para volúmenes más altos y muy cercanos a lacapacidad. En ese caso se puede aplicar la distribución binomial.a. Las llegadas son más uniformes si la varianza es mucho menor que la media.19

σ2x 1b. La fórmula binomial es la siguiente:P( y ) P(0) q nP( y ) P( y 1)si y 0p n 1 y q y donde:p x σ 2xn x pq 1–p3. Variaciones cíclicas, se usa la distribución binomial negativa.a. Las llegadas son cíclicas si varían del pico al no pico y la varianza es mucho mayorque la mediaσ2x 14. Volumen constante, característico del flujo congestionado, se puede usar distribuciónuniforme.2.4.2.Intervalos. El intervalo medio entre vehículo sucesivos es i. La probabilidad de intervalosentre vehículos es la probabilidad de que 0 vehículos lleguen en ese intervalo de tiempo. Porejemplo, la probabilidad de 0 vehículos llegando en un tiempo de 7,0 segundos es la probabilidadde que exista un intervalo entre vehículos de 7,0 segundos.1. Si el flujo es aleatorio se puede usar la distribución exponencial negativaP(i t ) e ti2. Para flujo congestionado, donde los intervalos son muy pequeños, se ha hecho uso de ladistribución exponencial desplazada.3. Para pelotones, algunos han sugerido usar la distribución lognormal20

2.5. Brecha y brecha aceptableOtro aspecto importante del flujo de tránsito es la interacción de los vehículos a medida que seincorporan, salen o cruzan un flujo vehicular. Ejemplos de éstos incluyen a los vehículos en rampaque se incorporan al flujo en un viaducto, los vehículos en los viaductos que salen hacia víaslaterales y el cambio de carriles de vehículos en una carretera de varios carriles. El factor másimportante que un conductor considera al hacer estas maniobras es la disponibilidad de una brechaentre dos vehículos que, de acuerdo con el juicio del conductor, sea adecuada para terminar lamaniobra. La evaluación de las brechas disponibles y la decisión de realizar una maniobraespecífica, dentro de una separación específica son inherentes al concepto de brecha aceptable.A continuación se muestran las medidas importantes que incluyen al concepto de brechaaceptable:1. La confluencia o incorporación es el proceso mediante el cual un vehículo en unacorriente vehicular se incorpora a otra corriente vehicular que se mueve en el mismosentido, tal como un vehículo en rampa que se incorpora al flujo en un viaducto.2. La separación o divergencia es el proceso mediante el cual un vehículo en un flujovehicular, sale de ese flujo vehicular, tal como un vehículo que sale del carril exterior deun camino de acceso controlado.3. El entrecruzamiento o la mezcla del tránsito es el proceso mediante el cual un vehículose incorpora primero a un flujo vehicular, luego cruza a ese flujo en sentido oblicuo, yenseguida se incorpora a un segundo flujo que se mueve en el mismo sentido; porejemplo, la maniobra que se requiere para que un vehículo en rampa se incorpore al ladomás alejado del flujo en un camino de acceso controlado.4. La brecha es el intervalo entre vehículos en un flujo principal, el cual es evaluado por elconductor de un vehículo que está en un flujo secundario y que quiere incorporarse alflujo principal.5. El desfasamiento de tiempo es la diferencia entre el instante en que un vehículo que seincorpora a un flujo principal, alcanza un punto en la carretera en el área de laincorporación y el instante en el cual un vehículo en el flujo principal alcanza el mismopunto.6. El desfasamiento espacial es la diferencia para un instante de tiempo, entre la distanciaque separa a un vehículo que se incorpora de un punto de referencia en el área de21

incorporación y la distancia que separa a un vehículo en el flujo principal del mismopunto.En la figura 2.3 se ilustran las relaciones tiempo-distancia para un vehículo que está en unaintersección controlada por una señal de “PARE” esperando incorporarse, y para los vehículos enel carril cercano del flujo vehicular principal.Fuente: Garber y Hoel, 2005Figura 2.3 Diagrama espacio-tiempo para vehículos en las cercanías de una señal de “PARE”Un conductor que trata de incorporarse al flujo vehicular debe evaluar primero las brechas que sepresentan para determinar cuál, si existe alguna, es lo suficientemente grande para pasar. Alaceptar esta brecha, el conductor piensa que podrá terminar la maniobra de incorporación eintegrarse con seguridad al flujo principal. A esta acción se le denomina la aceptación de labrecha. Este factor tiene importancia cuando los ingenieros están considerando la demora de losvehículos en caminos secundarios, que quieren incorporarse a un flujo vehicular en un caminoprincipal en intersecciones sin semáforos, así como la demora de vehículos en rampa que quierenincorporarse a vías de acceso controlado.También puede usarse para cronometrar la entrada de los vehículos que están en la rampa deingreso de un camino de acceso controlado, de modo que sea máxima la probabilidad de que elvehículo entrante encuentre una brecha aceptable al llegar al camino de acceso controlado. Paraemplear el factor de la aceptación de la brecha para la evaluación de las demoras, de tiempos deespera, longitudes de fila, etc., en las intersecciones sin semáforos y en las rampas de entrada,debe determinarse primero la longitud de brecha mínima promedio que los conductores van a22

aceptar. Se han dado varias definiciones a este valor crítico. Greenshields lo llamó la “brecha detiempo mínima aceptable” y la definió como la separación entre vehículos aceptada por el 50% delos conductores. Raff utilizó el concepto de “brecha crítica” y la definió como la brecha para lacual, el número de brechas aceptadas más cortas que ésta es igual al número de brechasrechazadas mayores que ésta. Puede emplearse un método gráfico o uno algebraico. En el uso delmétodo gráfico, se trazan dos curvas de distribución acumulada como se muestra en la figura 2.4.Una de ellas relaciona la longitud de la brecha t con el número de brechas aceptadas que sonmenores que t, y la otra relaciona a t con el número de brechas rechazadas mayores que t. Laintersección de estas curvas nos da el valor de t para la brecha crítica.Fuente: Garber y HoelFigura 2.4. Curvas de distribución acumuladas para las brechas aceptadas y rechazadas2.5. El enfoque estocástico de los problemas de la brecha y de la brecha de aceptaciónEl uso de la aceptación de la brecha para determinar la demora de los vehículos en los flujosmenores que van a incorporarse a los flujos principales, requiere un conocimiento de la frecuenciade llegada de las brechas, que sean cuando menos iguales a la brecha crítica. Ésto a su vezdepende de la distribución de llegada de los vehículos de la corriente principal, al área deincorporación. En general, se acepta para un flujo que varía de ligero a mediano en una carretera,la llegada de los vehículos tiene una distribución aleatoria. Por tanto, es importante que se estudieel enfoque probabilística de este asunto. Es común suponer que para determinar la variación detránsito ligero a mediano, la distribución es la de Poisson, aunque también se han planteadohipótesis para el uso de las distribuciones gamma y exponencial.23

Supongamos que la distribución para la llegada del flujo principal es la de Poisson, entonces laprobabilidad de y llegadas para cualquier intervalo de tiempo de t segundos puede obtenersemediante la expresión(λ t ) y e λtP( y ) y!m y e m y!m λt y λ VTpara y 0, 1, 2, 3, ., donde los símbolos ya fueron explicados.Ahora, considere a un vehículo en una intersección sin semáforos o en una rampa esperandoincorporarse al flujo vehicular principal, cuyas llegadas pueden describirse mediante la ecuaciónanterior (Poisson). El vehículo proveniente del flujo menor va a incorporarse solamente si existeuna brecha de t segundos, igual que o mayor que, la brecha crítica. Esto va a ocurrir cuando nolleguen vehículos durante un período que dure t segundos. La probabilidad de esto es laprobabilidad de que lleguen cero vehículos (y 0). Por tanto, si se sustituye este valor en laecuación de Poisson, el resultado será la probabilidad de que ocurra una brecha igual o mayor quet (i t).P(0) P(i t ) e λt e tiLa ecuación anterior se conoce como la distribución exponencial y puede usarse para determinarel número de brechas aceptables que ocurrirán en una intersección sin semáforos o en el área deincorporación de la rampa de entrada a un camino de acceso controlado, durante un período T, sise acepta a la distribución Poisson para el flujo vehicular principal y también se conoce elvolumen vehicular V. Suponga que T es igual a una hora y que V es el volumen en veh/hr para elflujo vehicular principal. Ya que se presentan (V-1) brechas entre V vehículos sucesivos en unflujo vehicular, entonces el número esperado de brechas mayores o iguales que t, está dado porFrecuencia(i t ) (V 1)e24 ti (V 1)e λt

2.6. Introducción a la teoría de colasUna de las principales preocupaciones de los ingenieros de tránsito, es el congestionamiento queexiste en las vías urbanas, en especial durante las horas pico. Este congestionamiento conduce a laformación de colas en las rampas de entrada y salida en los caminos de acceso controlado, en lasintersecciones y en las vías con tráfico continuo donde puedan formarse colas en movimiento.Para un análisis apropiado de los efectos de las colas, es esencial una comprensión de los procesosque conducen a la formación de este tipo de colas y de las consiguientes demoras en las carreteras.Por tanto, la teoría de colas se ocupa del uso de algoritmos matemáticos para describir losprocesos que resultan en la formación de las colas, de modo que pueda realizarse un análisisdetallado de los efectos de las colas. Estos algoritmos matemáticos pueden usarse para determinarla probabilidad de que una llegada se retrase, el tiempo esperado de aguardar para todas lasllegadas, el tiempo esperado de aguardar de una llegada que espera, etc.Se han desarrollado varios modelos que pueden aplicarse a las situaciones del tránsito, tales como,la incorporación del tránsito en la rampa de los caminos de acceso controlado, las interacciones enlos cruces de peatones y la reducción repentina de la capacidad en un camino de accesocontrolado. Esta sección dará solamente las relaciones elementales de la teoría de colas para untipo específico, es decir la cola de un solo carril.Una cola se forma cuando los arribos esperan un servicio o una oportunidad, como la llegada deuna brecha aceptada en un flujo principal de tránsito, el cobro en una caseta de peaje o en unaentrada a un estacionamiento. El servicio puede ofrecerse para un solo carril o para varios carriles.El análisis apropiado de los efectos de una cola de este tipo puede desarrollarse solamente si lacola está plenamente especificada. Esto requiere que se cuente con las siguientes características dela cola:1. La distribución característica de las llegadas, por ejemplo, si es uniforme, si es Poisson,etc.2. el método de servicio, tal como se atiende al primero que lega, aleatorio o prioritario3. La longitud de la fila, es decir, si es finita o infinita4. la distribución de los tipos de servicio5. la distribución de los carriles, es decir, si los carriles son individuales o múltiples, y en elcaso de carriles múltiples, si son en serie o en paralelo.25

Se han utilizado varios métodos para la clasificación de las colas con base en las característicasanteriores, algunos de ellos se mencionan a continuación:Distribución de las llegadas. Las llegadas pueden describirse como una distribucióndeterminística o una distribución aleatoria. En general, el tránsito que va de ligero amediano se puede describir mediante una distribución Poisson, y comúnmente se utiliza enlas teorías de colas relacionadas con el flujo de tránsito.Método de servicio. Las colas también pueden clasificarse por el método que se usa paraprestar un servicio en las llegadas. Estos incluyen que se atienda al primero que llega, en elcual las unidades son servidas en el orden de llegada, y al último que llega es al primeroque se atiende, en el cual el servicio está invertido respecto del orden de llegada. Elmétodo por tipo de servicio también puede basarse en la prioridad, para lo cual las llegadasse canalizan a las filas específicas de los niveles apropiados de prioridad, por ejemplo, seda prioridad a los buses. Entonces se presta servicio a las colas de acuerdo con el nivel deprioridad.Características de la longitud de la cola. Se especifica la longitud máxima de la cola, esdecir, el número máximo de unidades en la cola, en cuyo caso la cola puede ser finita otruncada, o puede no haber restricción a la longitud de la cola. Algunas veces sonnecesarias las colas finitas cuando el área de espera está limitada.Distribución de servicios. Generalmente también se considera a esta distribución comoaleatoria, y se han utilizado las distribuciones de Poisson y la exponencial negativa.Números de carriles. Corresponde al número de colas de espera, por tanto se usa parahacer su clasificación, por ejemplo, como una cola de un solo carril o una cola de varioscarriles.Colas sobresaturadas y por debajo de la saturación. Las colas sobresaturadas son aquellasen que la tasa de llegadas es mayor que la tasa de servicio, y las colas por debajo de lasaturación son aquellas en que la tasa de llegadas es menor que la tasa de servicio. Lalongitud de una cola por debajo de la saturación puede variar, pero alcanzará un estado26

estacionario con la llegada de las unidades. Sin embargo, la longitud de una colasobresaturada nunca alcanzará el estado estacionario sino que seguirá aumentando con lallegada de las unidades.Fuente: Garber y Hoel, 2005Figura 2.5. Una cola de un solo carril2.7.1.Filas infinitas por debajo de la saturación y de un solo carrilEn la figura 2.5 se muestra un esquema de una cola de un solo carril para la cual la tasa dellegadas es de q vehículos/hora y la tasa de servicio es de Q vehículos/hora. Para una cola pordebajo de la saturación, Q q, suponiendo que tanto la tasa de llegadas como la tasa de servicioson aleatorias, y pueden desarrollarse las siguientes relaciones:1.La probabilidad de n unidades en el sistema, P(n) q P(n) Q n q 1 Q donde n es el número de unidades en el sistema, incluyendo la unidad que está siendoservida.2.El número esperado de unidades en el sistema, E(n)E ( n) 3.qQ qEl número esperado de unidades que esperan por el servicio (es decir, la longitud media dela cola) en el sistema, E(m)E ( m) q2Q(Q q )Observe que E(m) no es exactamente igual a E(n)-1, esto se explica porque existe unaprobabilidad definida de que cero unidades estén en el sistema, P(0).27

4.El tiempo promedio de espera en la cola, E(w)E ( w) 5.qQ(Q q )El tiempo promedio de espera de una llegada, incluyendo la cola y el servicio, E(v)E (v ) 6.1Q qLa probabilidad de pasar un tiempo t o menor en el sistemaP (v t ) 1 e7.La probabilidad de esperar un tiempo t o menor en la colaP( w t ) 1 8. q qt 1 Q qeQqtLa probabilidad de que estén en el sistema más de N vehículos, es decir P(n N) q P(n〉 N ) Q 2.7.2. q 1 Q N 1Filas finitas por debajo de la saturación y de un solo carrilEn el caso de una cola finita, se especifica el número máximo de unidades (N) en el sistema. Sea qla tasa de llegada y Q la tasa de servicio. Si también se supone que tanto la tasa de llegadas comola tasa de servicio son aleatorias, pueden desarrollarse las siguientes relaciones para la cola finita:1.Probabilidad de n unidades en el sistemaP ( n) 1 ρρnN 11 ρdonde ρ q/Q2.El número esperado de unidades en el sistemaρ 1 (N 1)ρ N Nρ N 1E ( n) 1 ρ1 ρ N 128

La velocidad (v) es la distancia recorrida por un vehículo durante una unidad de tiempo.Puede expresarse en kilómetros por hora (km/h). La velocidad de un vehículo para un instante , es la t pendiente del diagrama espacio-tiempo para ese vehículo en el instante Por ejemplo, los t. vehículos 1 y 2 en la figura 2.1 se mueven a velocidad constante porque las pendientes de los