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ALGEBRA BASICATexto-Gu aConvocatoria IDU-99Universidad de MurciaAngel del R o MateosJuan Jacobo Simon PineroAlberto del Valle RoblesSeptiembre de 2001
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A Ignacia, Angel,Presentaci on, Rafael, Diotila, Julia, Maruchi y Alvaro
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ContenidosIntroducci on1 El anillo de los n umeros enteros1.11.21.31.41.51.61.71.81.91.10Axiomas y propiedades b asicas . . . . . . . . . . . . . . .Divisibilidad e ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M aximo com un divisor y m nimo com un m ultiplo . . . . .Algoritmo de Euclides y ecuaciones diof anticas . . . . . .El Teorema Fundamental de la Aritm etica . . . . . . . . .Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ecuaciones de congruencias Teorema Chino de los RestosTeoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . .Ap endice: criptograf a de clave p ublica . . . . . . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Anillos2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.10Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Grupos abelianos y anillos . . . . . . . . . . . . .Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ideales y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . .Operaciones con subanillos e ideales . . . . . . .Homomor smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Isomor smos y Teoremas de Isomorf a . . . . . .Cuerpos y dominios ideales maximales y primosEl cuerpo de fracciones de un dominio . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .De niciones y propiedades b asicas . . . . . . . . . . . .Propiedad Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ra ces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Existencia de ra ces Teorema Fundamental del A lgebraFactorizaci on u nica en anillos de polinomios . . . . . . .Factorizaci on e irreducibilidad de polinomios . . . . . .Polinomios en varias indeterminadas . . . . . . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . .Dominios de ideales principales . . . .Dominios eucl deos . . . . . . . . . . .Dominios de factorizaci on u nica . . . .Aplicaciones de la factorizaci on u nica .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .4 Anillos de polinomios4.14.24.34.44.54.64.74.8.3 Divisibilidad y factorizaci on en 9104107
CONTENIDOS45 Grupos5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.10Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . .Operaciones con subgrupos . . . . . . . .Clases laterales y Teorema de Lagrange .Subgrupos normales y grupos cociente . .Homomor smos y Teoremas de Isomorf aO rdenes de elementos y grupos c clicos . .Conjugaci on y Ecuaci on de Clases . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Grupos de .1 Ciclos y trasposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577 Grupos abelianos nitamente generados7.17.27.37.47.57.67.7Sumas directas . . . . . . . . . . . . . . . .Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . .Grupos de torsi on y libres de torsi on . . . .Grupos indescomponibles y p-grupos . . . .Descomposiciones primarias e invariantes .Presentaciones por generadores y relacionesProblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Acci on de un grupo sobre un conjunto . . . .O rbitas y estabilizadores . . . . . . . . . . . .Teorema de Cauchy y p-grupos . . . . . . . .Los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . .Productos directo y semidirecto de subgruposGrupos de orden bajo . . . . . . . . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .El subgrupo derivado . . . . . . . . . . . . . . . .La serie derivada grupos resolubles . . . . . . . .Series de composici on grupos de longitud nita .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Estructura de los grupos nitos8.18.28.38.48.58.68.79 Series normales9.19.29.39.410 Formas can onicas de entaciones matriciales de endomor smosSubespacios invariantes . . . . . . . . . . . . .Endomor smos indescomponibles . . . . . . . .Descomposici on primaria . . . . . . . . . . . . .Forma Can onica de Jordan . . . . . . . . . . .C alculo efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matrices reales de Jordan . . . . . . . . . . . .Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bibliograf a Indice terminol ogicoS mbolos usados 43246250253254261
Introducci onPresentaci onEste texto-gu a corresponde con el curso de A lgebra B asica, una asignatura obligatoria dentro del plande estudios vigente de la Licenciatura en Matem aticas en la Facultad de Matem aticas de la Universidadde Murcia. Se trata de una asignatura anual de primer curso con una carga docente de 12 cr editos, 7'5te oricos y 4'5 pr acticos.En este contexto, el A lgebra B asica tiene una caracter stica que la hace muy particular. Con todaseguridad se trata de la asignatura del primer curso de la Licenciatura de Matem aticas que contieneconceptos m as novedosos para los alumnos. Lo normal es que el estudiante de este curso ni siquierahaya o do hablar de un alto porcentaje de los conceptos que aqu se introducen. Adem as, la intuici ongeom etrica no resulta tan u til como en otras asignaturas del primer curso.En muchas universidades espa nolas, una buena parte de los contenidos de esta asignatura son impartidos en el segundo curso de la licenciatura. Por esta causa, los libros de texto en castellano que abarcanlos temas de la asignatura suelen presuponer una destreza en el manejo de los conceptos abstractos queno podemos esperar en los alumnos reci en llegados a la universidad. Esto es lo que nos ha hecho creeren la utilidad de este texto-gu a, que hemos escrito pensando en alumnos de un primer curso de laLicenciatura en Matem aticas.ObjetivosEl objetivo gen erico de la asignatura es la adquisici on de capacidad de comprensi on y manejo deconceptos abstractos, as como el desarrollo de la capacidad de an alisis y el rigor en la comprensi on dedemostraciones y la resoluci on de problemas.M as concretamente, en esta asignatura se pretende que el alumno adquiera destreza en la manipulaci on de los objetos algebraicos m as b asicos: anillos, grupos, polinomios, etc. Estos objetos ser an unaherramienta fundamental en muchas de las asignaturas de la licenciatura, especialmente de las del a reade algebra. Los m etodos que se aprender an en este curso dejar an al alumno a las puertas de la Teor ade Galois y la Teor a de N umeros, entre otras.TemarioLa organizaci on en bloques tem aticos es la siguiente:Primera parte: Anillos (48 horas){ Enteros (12 horas) Cap tulo 1: El anillo de los n umeros enteros.{ Anillos (24 horas) Cap tulo 2: Anillos. Cap tulo 3: Divisibilidad y factorizaci on en dominios.{ Polinomios (12 horas) Cap tulo 4: Anillos de polinomios.5
CONTENIDOS6Segunda parte: Grupos (58 horas){ Grupos (22 horas) Cap tulo 5: Grupos. Cap tulo 6: Grupos de permutaciones.{ Estructura de los grupos (36 horas) Cap tulo 7: Grupos abelianos nitamente generados. Cap tulo 8: Estructura de los grupos nitos. Cap tulo 9: Series normales.Tercera parte: Formas can onicas (14 horas){ Formas can onicas (14 horas) Cap tulo 10: Formas can onicas de endomor smos.Estructura y uso del texto gu aEl texto-gu a est a dividido en tres partes. Las dos primeras, m as extensas, se dedican al estudio delos anillos y los grupos, y en una tercera se estudian las formas can onicas de matrices. Suponemosque el alumno est a familiarizado con el lenguaje y las propiedades elementales de L ogica y Teor a deConjuntos intuitiva, aunque no necesariamente de L ogica Formal y Teor a de Conjuntos avanzada. M asconcretamente, suponemos que el alumno conoce y maneja las operaciones conjuntistas elementales elconcepto de aplicaci on entre conjuntos los conceptos de relaci on binaria, de equivalencia y de ordenlos n umeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos y el Principio de Inducci on.Excepto por los prerrequisitos que acabamos de comentar, el texto es autocontenido es decir, losconceptos, m etodos y resultados necesarios son presentados siguiendo una secuencia l ogica completa.Por tanto, una lectura del principio al nal proporciona m etodos y resultados que pueden ser utilizadosposteriormente en el texto. Por supuesto, el orden elegido no es el u nico posible. De hecho, es habitualen muchos textos de algebra empezar por grupos y acabar con anillos. Una tal lectura del texto esposible aunque llevar a consigo problemas en la comprensi on de algunas demostraciones aunque nonecesariamente de los conceptos. El u ltimo cap tulo (sobre formas can onicas de endomor smos) podr aser le do despu es del cap tulo cuarto (sobre polinomios), y posiblemente esto ser a m as l ogico desdeun punto de vista conceptual. Sin embargo, hemos preferido dejarlo para el nal ya que los m etodosutilizados en el cap tulo siete (sobre grupos abelianos) son muy similares a los que se usan en el u ltimoy m as f aciles de asimilar en el contexto de grupos abelianos.Hay dos excepciones a la a rmaci on de que el texto es autocontenido. La primera se re ere a lademostraci on del Teorema Fundamental del A lgebra, en la que adelantamos resultados que el alumnover a, en este mismo curso, en las asignaturas de An alisis Matem atico y Topolog a. La segunda se re erea las propiedades elementales de las expresiones matriciales de aplicaciones lineales, que el alumno yaconocer a por la asignatura de A lgebra Lineal cuando estudie el u ltimo cap tulo.Es bien sabido que las matem aticas s olo se asimilancorrectamente comprendiendo las demostracionesde los resultados y resolviendo ejercicios. Por tanto, recomendamos al lector que lea el texto provistode papel y l apiz para ir realizando los c alculos y argumentos necesarios que le garanticen que est acomprendiendo todo lo que se a rma. Para incentivar esta actitud cr tica hemos incluido en lugaresclaves del texto preguntas o ejercicios. La mayor a de los ejercicios incluidos en el texto son utilizadosposteriormente en demostraciones es decir, estos ejercicios deber an ser considerados como lemas oproposiciones que se dejan al lector porque se consideran accesibles y ponen de mani esto el grado decomprensi on que en ese momento se tiene. Por tanto, recomendamos encarecidamente su resoluci on enel momento en que sean propuestos.Cada cap tulo termina con una amplia lista de problemas y ejercicios cuya resoluci on es la mejorgarant a de exito. Hemos procurado incluir problemas de \todos los niveles", con el n de que elestudiante se ejercite gradualmente sin frustrarse y que nalmente se alcance el nivel de di cultadhabitualmente requerido en los ex amenes. Algunos problemas especialmente dif ciles, o que desarrollanconceptos que no est an entre los contenidos fundamentales de la asignatura, han sido marcados conel s mbolo *]. No hay separaci on entre problemas te oricos y pr acticos, simplemente porque es dif cil
CONTENIDOS7 marcar la frontera entre unos y otros, al menos en el AlgebraB asica y, adem as, a nuestro entender, estaseparaci on resultar a in util. Hemos procurado presentarlos en orden de di cultad ascendente, pero porsupuesto, la di cultad es un concepto subjetivo, as que hay que tomarlo con reservas. En la secci ondedicada a la evaluaci on haremos m as comentarios.Evaluaci onEn general, en un examen de matem aticas los estudiantes se encuentran con dos grandes tipos depreguntas: aqu ellas donde se pide que el estudiante reproduzca o aplique directamente alg un resultadovisto en clase y aqu ellas donde se re eja el conocimiento operativo de los resultados vistos en clase ysus interconexiones. Las primeras se suelen llamar preguntas te oricas y las segundas pr acticas, aunquemuchas de estas tienen un componente te orico importante.Las preguntas te oricas esconden poco misterio. E
algebra emp ezar p or grup os y acabar con anillos Una tal lectura del texto es p osible aunque llev ar a consigo problemas en la comprensi on de algunas demostraciones aunque no necesariamen te de los conceptos El ultimo cap tulo sobre formas can onicas de endomor smos p o dr a ser le do despu es del cap tulo cuarto sobre p olinomios y p osiblemen te esto ser a m as l ogico desde un pun to de .File Size: 1MBPage Count: 264
