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“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”“ INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LASMATEMÁTICAS FINANCIERAS I : CAPITALIZACIÓN YRENTAS”Autor: Dr. D. Roberto Gómez LópezProfesor de la Universidad de Granada (Dpto. Economía Financiera y Contabilidad)Profesor Tutor del Centro Asociado de Málaga y RondaDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl1
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Prólogo:Nuevamente ante la finalización de este manual, me encuentro cansado por el esfuerzo de estosúltimos momentos, pero ilusionado porque creo que ayudaré a muchos alumnos a tener un instrumento deestudio y aprendizaje de la materia. Llegó a ustedes ante la convicción de que estimo haber realizado untrabajo que aportará contenidos educativos que permitirán conocer mejor el mundo de la matemáticasfinancieras, que de habitual, tanta dificultad crea al que se adentra por primera vez al mismo, quizáporque hay que conocer su lenguaje e instrumentación, para poder entenderlo.La razón que justifica la realización de estos manuales o trabajos, ambos frutos de la docenciaque estoy desarrollando en la Universidad de Granada, en particular en el Departamento de EconomíaFinanciera y Contabilidad así como en la UNED de los centros asociados de Málaga y Ronda(Departamento de Economía y Administración de Empresas), queda justificada por el interés comodocente de dotar al alumno con el que trabajo de un elemento a través del cual se pueda desarrollar elcurso académico, y por tanto el aprendizaje de la presente materia, desde una perspectiva deplanteamientos teóricos que se van reforzando con desarrollos prácticos.Tanto los contenidos teóricos, así como los ejercicios prácticos, en lo que toca principalmente ala resolución y planteamiento de los mismos, ha sido trabajado y planteado por el docente que presentaeste manual, indicando en particular que la parte práctica, en algunos casos, han sido enunciados que seutilizan y se han desarrollado por el equipo de trabajo del área de matemáticas financieras al quepertenezco en los indicados departamentos. Especial mención en tal sentido, quizá por su calidadpedagógica y por el especial conocimiento de las personas que han trabajado en la realización de algunosde ellos, se determina en lo que respecta al departamento de la Universidad de Granada.No he querido perder mis raíces docentes de la UNED, por lo que he indicado algunasreferencias en donde docentes de la sede central de Madrid muestran un trabajo interesantes también yenriquecedor a estos manuales, donde se ponen a disposición del alumno diversidad de problemas con susrespectivas soluciones, así como interesantes cuestionarios, también resueltos.Finalizadas estas precisiones, entiendo que necesarias, para poder comprender el sentido ytrabajo desarrollado, me es necesario recordar algunos detalles importantes sin los cuales este material nohabría llegado a tomar forma. En primer lugar nombrar a mi familia, en donde mis padres Manuel yAntonia, así como mis hermanos Víctor y Antonio, mi cuñada María José y mis sobrinas Maria José yPatricia Gómez López, han sido y son permanentemente los que me apoyan en todo momento,respectando y asumiendo la gran cantidad de ausencias y aislamiento que produce el tener una actividadsolitaria y constante cuyo fruto está más a favor de una causa de amor hacia la docencia, por la privaciónde tiempo libre y disfrute en general que se plantea en cualquiera de estas misiones, en la mayoría de loscasos poco valorada por la sociedad en general.Hay amigos y compañeros que han sido apoyos morales, sin los que el talante de hombrealtruista y generoso con los demás no habría sido posible, en tal sentido tengo que nombrar a mis amigosy compañeros de los Guindos, en particular a la Escuela de Baloncesto de Málaga, en donde siempre seme ha entendido, apreciado y querido, con una especial mención, a mi amigo Nicolás García Chinchilla,y a Enrique Moyano Carballo, quien con mucha paciencia y colaboración ha creado la web donde seencuentran las diversas investigaciones y publicaciones, solventando los numeroso y continuadosproblemas informáticosEn la parte docente, no puedo olvidar, puntualmente a mis jefes del departamento de EconomíaFinanciera y Contabilidad que me han dado apoyo y comprensión en mi relación docente con laUniversidad de Granada, especial mención he de realizar al profesor y Director del Departamento DonAntonio María López Hernández, quién desde el inicio ha apostado por mí, al permitirme asumirdocencia en este departamento.En definitiva, agradecer a todo el que me apoya y confía en mi. Gracias de corazón. Roberto.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl2
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Programa SintéticoLEYES DE CAPITALIZACIÓNConceptos básicosLeyes financieras simples de capitalización y descuentoLeyes financieras compuestas de capitalización y descuentocapitalización simplecapitalización compuestade ambas capitalizacionesprimeraRENTAS FINANCIERASIntroducción al estudio de rentasRentas constantes en capitalización compuestasRentas variables en capitalización compuestaRentas continuasde rentassegundaDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl3
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Programa analíticoConceptos l financieroOperaciones financierasLeyes financieras: propiedadesSistema financierosEquivalencia entre capitales financierosOperaciones con capitales financierosFactores financieros, réditos y tantos.Reserva matemática en una operación financieraCaracterísticas comerciales, tanto efectivos y TAE en unaoperación financieraLeyes financieras simples de capitalización y �n simple o tanto vencidoDescuento simple racionalDescuento simple comercialCapitalización simple a tanto anticipadoComparación entre las distintas leyesCambio en las unidades de medida: tantos equivalentesOperaciones que se suelen realizar utilizando las leyessimplesLeyes financieras compuestas de capitalización y ación compuesta a tanto vencidoDescuento compuesto a tanto por vencidoCapitalización y descuento compuesto a tanto anticipadoComparación entre las leyes simples y las leyescompuestasCambio en las unidades de medida: tantos equivalentesTanto nominal y tanto efectivoCapitalización y descuento continuosOperaciones que se suelen realizar utilizando las leyescompuestasIntroducción al estudio de rentas4.1.4.2.4.3.Definición y clasificación de rentasValoración de rentas con las leyes simplesValoración de rentas con las leyes compuestasDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl4
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Rentas constantes en capitalización compuestas5.1.5.2.5.3.Rentas constantes temporalesRentas constantes perpetuasRentas constantes fraccionadasRentas variables en capitalización sRentasRentasRentasgeométricas temporalesgeométricas perpetuageométricas fraccionadaaritméticas temporalesaritmética perpetuaaritmética fraccionadaRentas Continuas7.1.7.2.7.3.Definición de renta continuaValoración de rentas continuas en capitalizacióncompuestaRentas continuas como límite de rentas fraccionadaDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl5
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”TEMA 1: CONCEPTOSBÁSICOS1.0. Aspectos PreliminaresCuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puededestinar, o bien a gastarlo –satisfaciendo alguna necesidad–, o bien ainvertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, segúnse acuerde.De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo parasatisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre ycuando la compensación económica nos resulte suficiente. En estesentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece quea igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo sonpreferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es elsacrificio del consumo.Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinerole asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que sellama interés. El interés se puede definir como la retribución por elaplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por elalquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.Esta compensación económica se exige, entre otras, por tresrazones básicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capitaldurante un tiempo. Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.La cuantificación de esa compensaciónintereses, depende de tres variables, a saber:económica,delos La cuantía del capital invertido, El tiempo que dura la operación, y El tanto de interés al que se acuerda la operación.Por otra parte, cuando se habla de capital financiero nos referimosa una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momentodeterminado de tiempo (n).Finalmente, en una operación financiera no tiene sentido hablar decapitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías yvencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitalesequivalentes, se dice que hay equivalencia entre dos capitales cuandoDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl6
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, sia usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050euros dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales sonequivalentes.Para que una operación financiera se realice es necesario que a lossujetos intervinientes las cuantías que dan y reciben les resultenequivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan deacuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los quefinalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático quepermita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera sedefine como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar losintereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en eltiempo.Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómofuncionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndoseformalizar las diferentes operaciones financieras.1.1. CAPITAL FINANCIERO.El capital financiero es la medida de un bien económico referida almomento de su disponibilidad, vencimiento o entrega.En el mercado financiero se negocian operaciones, consistentes enun intercambio de:-CuantíasVencimientosRepresentación: ( C , t )C: Cuantía de k en u.m : Cobro-: Pago (Reintegro) : Vto. Posteriorn: Momento del vencimiento- : Vto. AnteriorDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl7
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”1.2. OPERACIONES FINANCIERAS.1.2.1.Concepto.Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o máscapitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos detiempo, mediante la aplicación de una ley financiera.En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a unconjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto ydistintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, laconcesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a uncliente supone para este último un cobro inicial (el importe delpréstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo quedure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pagoinicial único y unos cobros periódicos.La realización de una operación financiera implica, que se cumplantres puntos:1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os)capital(es) por otro(s).2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir,debe resultar de la aplicación de una ley financiera.3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre laforma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitalesque compongan la operación, resultado de la consideración de losintereses generados.1.2.2.Elementos.1.2.2.1. Personales.En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor)que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y queposteriormente recuperará, incrementados en el importe de losintereses.La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar alacreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambaspartes se le denomina la contraprestación de la operación financiera.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl8
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidaspor cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (oadelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción deintereses que formarán parte de la operación y que habrá queconsiderar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestaciónnunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una leyfinanciera que haga que resulten financieramente equivalentes, esdecir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismomomento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí seproduciría la igualdad numérica entre ambas.Acreedor: Sujeto que entrega un capital (K) financiero:Prestación.Deudor: Sujeto que recibe el capital (K) financiero y que lo va adevolver en otro momento del tiempo: Contraprestación.1.2.2.2. Temporales.Al momento de tiempo donde comienza la prestación de laoperación financiera se le denomina origen de la operación financiera.Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se lellama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempo quetranscurre entre ambas fechas se le denomina duración de laoperación financiera, durante el cual se generan los intereses.Origen: Vencimiento del primer capital financiero.Final: Vencimiento del capital financiero.Duración: Tiempo que media entre origen y final.Si comparamos:1C1 C 2t1 t2Se prefiere ( C1 , t1)2C1 C 2t1 t2Se prefiere ( C2 , t2)3C1 C 2t1 t2Indiferente4C1 C 2t1 t2Coordinar al concepto de Ley frª:Hace posible referir al mismo momento.1.2.2.3. Objetivos.La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobreaspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la leyfinanciera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interésunitario acordado.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl9
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”1.2.3.Clasificación.1. Según la duración: A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.2. Según la ley financiera que opera:Según la generación de intereses: En régimen de simple: los intereses generados en el pasadono se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en elfuturo. En régimen de compuesta: los intereses generados en elpasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez,intereses en el futuro.Según el sentido en el que se aplica la ley financiera: De capitalización: sustituye un capital presente por otrocapital futuro. De actualización o descuento: sustituye un capital futuro porotro capital presente. Mixtas.3. Según el número de capitales de que consta: Simples: constan de un solo capital en la prestación y en lacontraprestación. Complejas (o compuestas): cuando constan de más de uncapital en la prestación y/o en la contraprestación.4. Según la naturaleza de los capitales: Ciertas: cuando tenemos certeza de las cuantías a entregar yrecibir durante la duración de la operación. Así mismo, conocemosque las mismas se mantendrán constantes o si, en cambio, muestranuna variabilidad es conocida de antemano. Ejemplo: préstamos. Aleatorias: tenemos conocimiento de que las cuantíascambiarán a lo largo de la duración de la operación financiera. Así,puede cambiar el tipo de interés aplicable, entre otras variables. Unejemplo que nos puede ayudar a comprender mejor la situación es elde los mercados bursátiles cambiantes en la que la volatilidad tiendea cambiar.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl10
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”5. Según el sentido de la operación: Unilateral.Recíproca.Ciertas.Aleatorias.1. Naturaleza de los capitales.2. Duración de operación3. Nº capitalesc/p : 1 añol/p : 1 añoSimples: prestación de un capital.Compuesta: Prestación de varios capitales.4. Sentido de la operación5. Según la Ley que scuento.Mixtas.1.3. Leyes financieras.Es una función F a través de la cual, dado un capital financiero(C , t) se puede calcular su capital financiero equivalente en unmomento del tiempo “p” llamado punto de aplicación o de referencia.V F( C, t ; p )Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl11
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”V(C , t )tpPropiedades:1. Positividad: La ley debe ser siempre positiva:F ( 1, t ; p ) F (t ; p ) 02. Subestimación:V C si p t Ley de capitalización.V C si p t Ley de descuento.3. Proporcionalidad: F ( C , t ; p) C · F ( 1 , t ; p) C · F( t ; p )4. Continuidad: Para todo valor de “t” , existe un valor de Ct5. Creciente: con respecto al punto “p” y decreciente al “t”.Ejemplo 1:Dada una función G(t,p) 1 K(p t)1. Positividad: G(t,p) 0; t p ; (p-t) 0K 02. Subestimación : V C ; G(t,p) 1(p-t) 0G(t,p) 1 K(p-t)si k 0G(t,p) 12. Proporcionalidad : G(c,t,p) C G(1,t,p) C G(t,p) C 13. Continuidad : para todo valor que damos a t existe un referentedenominado Ct4. Creciente/decreciente: V ›pC ›tDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl12
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Ejemplo 2:Dada una función G(t,p) (1 i )p t1. Positividad G(t,p) 0i 0 op t(1 i)2. Subestimación V C G (t , p ) 1p tp t(1 i ) p t 13. Proporcionalidad G(c,t,p) C G(1,t,p) C G(t,p) C 14. Continuidad t ct5. Creciente/decrecienteEjemplo 3:Dada la siguiente ley financiera 1 ( p t )i Dado dos capitales distintos, analizarsu equivalencia financiera utilizando la ley.(C1 , t1 ) (C2 , t2 )C1 [1 ( p t )i ] C 2 [1 ( p t 2 )i ]1 ( p t1 )iC 2 C11 ( p t 2 )iDados los siguientes valores simplificar la función al máximo:t1 1 t 2 4C 2 C1p 51 (5 1)i1 4i C11 (5 3)i1 2iCalcular C1C 2 C11 ( p t1 )i1 2i; C1 C 21 ( p t 2 )i1 4i1.4. Sistemas financieros.1.5. Equivalencias entre capitales financieros.Dados dos capitales ( C1 , t1 ) y ( C2 , t2 ) cuyas proyecciones son(V1, p ) y ( V2 , p) respectivamente, se dirá que lo capitales (C1, t1) y( C2 , t2 ) son equivalentes y por tanto ínter cambiantes si V1 V2, yno equivalentes si V1 V2 .Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl13
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”1.6. Operaciones con capitales financieros.Es posible sumar capitales financieros. El caso más sencillo sería elde dos capitales, con el mismo vencimiento donde se podría constatarque su suma sería el valor aritmético de sus cuantías cuando t1 t 2( C1 , t1) ( C2 , t2) ( C1 C2 , t1)(C1, t1) (C2, t1) (C1 C2, t1)En la situación en la que los vencimientos son distintos el criteriode proyección permitirá homogeneizar vencimientos en un punto deproyección p y por tanto, podamos, analíticamente, sumar así:( C1 , t1) ( C2 , t2) (V1 V2 , p)1.7. Factores financieros, réditos y tantos.El factor financiero es un instrumento a través del cual, dado uncapital financiero en t1, podremos calcular su capital financieroequivalente en t2, aún cuando las magnitudes p y t2 son distintas(p t2).Gráficamente la expresión que se está determinando será de lasiguiente manera:(C2 , t2)(C1 , t1)V1 V2t1t2pSuponemos : ( C1 , t1)pf(C2 , t2) V1 V2A tenor de lo indicado van a suceder dos posibilidades osituaciones analíticas que son:Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl14
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”1. Conocido el capital ( C1 , t1) , ¿Cómo calcularíamos(C2 , t2) ?( C1 , t1) (C2 , t2) V1 V2C1 · F(1 , t1 ; p) C2 · F(1 , t2 ; p)C1 · F(t1 ; p) C2 · F( t2 ; p)C 2 F (t1 , p ): factor frª . desplazamiento a la derecha C1 F (t 2 , p )F(t1,t2;p) Si se trabaja con la ley de capitalización:u (t1 , t 2 ; p ) (t1 , p ) C 2 (t 2 , p ) C1Si se trabaja con la ley de descuento:u (t1 , t 2 ; p ) A(t1 , p )A(t 2 , p )2. Conocido (C2, t2), ¿Cómo calcularíamos su equivalenteen t1?C1 ·F(t1 ,p) C2 ·F(t2 ,p)C1 C 2 · *(t1 , t 2 , p ) F (t 2 , p )F (t1 , p )C1 F (t 2 , p ): factor frª desplazamiento a la izquierda C 2 F (t1 , p )Si se trabaja con factor de contracapitalización:u * (t1 , t 2 ; p ) (t1 , p ) C1 (t 2 , p ) C 2Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl15
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Si se trabaja con la ley de descuento:υ (t1 , t 2 ; p) A(t1 , p )A(t 2 , p )Matemáticamente , el “rédito” de capitalización se definecomo: i (t1 , t 2 , p ) u (t1 , t 2 , p ) 1C2C C1I 1 2C1C1C1Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital.Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno. Si en elmomento t1 disponemos de un capital C1 y éste se convierte en uncapital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operaciónserá: C2C C1I 1 2C1C1C1Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitalesinicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, encuánto tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidadde una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i).Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad detiempo, es decir:C2 C1C1ri t 2 t1t 2 t1Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es launidad.Ejemplo 4:Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro deun año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl16
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”Rédito r 1.100 1.000 0'1 10%1.0001.100 1.0001.000 0'1 10%Tipo de in i 1 0Pero si la operación dura 2 años :1.100 1.000Rédito r 0'1 10%1.0001.100 1.0001.000Tipo de in i 0'05 5%2 0Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizontetemporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendoinvariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de laoperación.El tanto de capitalización es:p(t1 , t 2 , p ) i (t1 , t 2 , p )t 2 t1 II(t2 t1 )C1C1 ·(t 2 t1 )IC1 (t 2 t1 )Si el tanto se refiere a un instante del tiempo, aparece el conceptode “tanto instantáneo”, definido como:lim t2 t1p (t1 , t 2 , p ) iprecio de una u.m. en un momento concreto de tiempoDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl17
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”1.8. Reservamatemáticafinanciera.enunaoperaciónEn cualquier operación financiera se puedeplantear sucancelación anticipadamente, hecho que ocurre en la práctica diaria.La cancelación anticipada consiste en saldar la deuda pendiente de laoperación por el deudor en un momento T anterior al final de laoperación y posterior al origen de la misma.El saldocancelaciónmomento T.operación ycondiciones.de una operaciónen T que indica el valor de lanos lo da el cálculo de la reserva matemática en eseUnas veces este saldo responde al hecho de finalizar laotras veces para renegociar la operación bajo nuevasPara su determinación matemática, supongamos la siguienteoperación financiera.S1C1Prestación:To t1S2C2C3Cnt2t3 . . .tnS 1Contraprestación:C 1T o t 1S 2C 2 C 3t 2t 3 . . TC nt nVamos a analizar el estado de la operación en este punto.Como en toda operación financiera en la que intervienen dossujetos económicos, la suma financiera(S) de los capitales que elprimer sujeto entrega al segundo debe ser igual a la suma financiera(S ) de los capitales que el segundo le devuelve al primero.Analíticamente se podrá representar de la siguiente forma:Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl18
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”S S S1 S2 S 1 S 2 i 1 C I ·F (t i , p )F (t k , p ) k 1 C k ·F (T , p )F (T , p )Método retrospectivo se basa enel estudio de los compromisospasadosS1 S '1 S ' 2 S 2 RT12Método prospectivo se basa en elestudio de los compromisosfuturos.S1 S '1 S ' 2 S 2 RTEl diferencial de cada una de las operaciones determinará el valorde las reservas en T.Existen distintos métodos de cálculo:Método retrosprectivo: (S1-S’1), se basa en el estudio de loscompromisos que ya han sucedido o pasado.Método prosprectivo: (S2-S’2), se basa en el estudio de loscompromisos futuros.Método recurrente: se determina la reserva en momentosdistintos.-Reserva por la derecha RReserva por la izquierda R T T [t1,T ]; ]T1, t ' m ] [t1,T [; [T , t ' n ]Interpretaciones atendiendo a la Reservatanto:a)SiRR γ 0 S 1 S 1 0 S 1 S 1 :Reserva tsi fuese y poracreedora.Estadesigualdad implica que el primersujeto financieramente haentregado más capitales que el segundo, luego en caso decancelación debe ser el segundo sujeto quien entregue al primero elvalor de la diferencia , esto es el valor de la reserva.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl19
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”b) Si R γ 0 S 1 S 1 0 S 1 S 1 : Reserva deudora. Aquí el deudorhasta T ha devuelto más capital que el acreedor le ha entregado. Encaso de cancelación anticipada será, por tanto, el acreedor quienentregue al deudor el valor de la reserva en valor absoluto.c) Si R γ 0 : La operación esta saldada.1.9. Características comerciales, tantos efectivos yTAE en una operación financiera.Características complementarias o adicionalesa al operaciónfinanciera en sí, que modifican sustancialmente el conjunto decapitalesa entregar o recibir, alternando el equilibrio de laoperación.Si altera el precio de la operación (prestación-contraprestación) alconjunto de capitales de la prestación y de la contraprestación unavez incorporadas dichas características comerciales, se les denominaprestación real y contraprestación real.Tanto efectivo real: valor que iguala la prestación real de lacontraprestación real ie.TAE: el cálculo del coste de una operación financiera realizadaentre particulares puede realizarse por cualquier procedimiento oacuerdo que los interesados consideren oportuno. Pero cuando unade las partes que intervienen es una entidad de crédito, en este casoque existe una regulación específica establecida por el Banco deEspaña.El Banco de España ha regulado el cálculo de la TAE (TasaAnual Equivalente).La tasa anual equivalente queda regulada por elBanco de España y en función de su valoración indicar que este valorno coincide casi nunca con el verdadero coste o rentabilidad de laoperación.Por lo tanto, como norma general , para la determinación de laTAE no se incluyen las características que afectan a terceras personas(no se tiene en cuenta las características unilaterales). No obstante,aún existiendo sólo características bilaterales ie TAE .Características comercialesEn las operaciones financieras, en la práctica cotidiana, surgenciertas características complementarias o adicionales a la operaciónen sí, que modifican sustancialmente el conjunto de capitales aDr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl20
“INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICASFINANCIERAS I: CAPITALIZACIÓN Y RENTAS”entregar o recibir, alterando el equilibrio de la operación, dado por laecuación:Prestación Q ContraprestaciónA estas condiciones o características complementarias se lasdenomina características comerciales y al conjunto de capitales de laprestación y de la contraprestación una vez incorporadas dichascaracterísticas se las denomina prestación real y contraprestaciónreal.Hablaremos de operaciones pura como aquella en la que no seconsideran las características complementarias, esto prácticamentesólo ocurre en la teoría, y operación con características comercialescuando éstas se incorporan a la operación.Las características comerciales se pueden clasificar en dos grupos: Características bilaterales o recíprocas.Características unilaterales.Características comerciales bilateralesSon aquellas que afectan por igual tanto al sujeto de la prestacióncomo al de la contraprestación. Así pues, si el sujeto de la prestacióntiene un gasto inicial, este repercutirá directamente sobre el sujetode la contraprestación. Esto es, la prestación real entrega por elprestamista coincide con la recibida por el prestatario u viceversa.Por tanto, a mayores gastos para el sujeto de la prestación,mayores ingresos para el de la contraprestación. Se puede decir quees un juego de suma nula: todo lo que el primero gana lo pierde elsegundo.Entre las características comerciales bilaterales sepuedendestacar las que modifican la cuantía de los capitales comobonificaciones, primeras, lotes, recargos, etc.Características comerciales unilateralesEstas características afectan a uno de los dos sujetos queintervienen en la operación modificando las cuantías o vencimientos.Dr. D. Roberto Gómez Lópezhttp: www.ugr.es/local/rgomezl21 pag
Leyes financieras compuestas de capitalización y descuento 3.1. Capitalización compuesta a tanto vencido 3.2. Descuento compuesto a tanto por vencido . razones básicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital
