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DOMINIOS DE DEFINICIÓNDOMINIOS DE DEFINICIÓN[3.1] Obtener el dominio de la funcióny ln( x 2 x)Solución:Para la existencia del logaritmo se debe cumplir: x x 0 .2Por tanto: x 0 x 1 0 x 1 x 2 x 0 x( x 1) 0 x 0 x 1 0 x 0 Por consiguiente:D ( , 0) (1, )Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao1
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL2xx 1[3.2] Obtener el dominio de la función y arcsen 2Solución:Para la existencia de la función se debe cumplir:2x 1 .x 12Por tanto:2x2x 1 1 2 1 x2 1 2 x x2 1 x 1x 12 x 2 1 2 x 0 x 2 1 2 x x 1 2 Cierto siempre 222 2 x x 1 0 x 1 2 x x 1 Cierto siempreEn definitiva:D [3.3] Obtener y representar el dominio de la función z 1 x2 y2 x y Solución:Para la existencia de la raíz cuadrada:2 1 x2 y2 x y 0.Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓNPor tanto: 1 x 2 y 2 0 x y 0 1 x2 y 2 x y 0 22 1 x y 0 x y 0 En definitiva:D x, y 2 / x 2 y 2 1 y x x, y 2 / x 2 y 2 1 y xEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao3
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL[3.4] Obtener y representar el dominio de la función z ln(sen( x))y 1Solución:Para la existencia del denominador: y 1 0 y 1Para la existencia del numerador: sen( x ) 0Por consiguiente: x 2k , (2k 1) x 2k , 2k 1 k 0,1, 2,3, sen( x) 0 x 2k , (2k 1) x 2k , (2k 1) k 1, 2,3, En definitiva:D x, y / y 1 2x 2k , 2k 1 k 0,1, 2,3, y 1 2k , (2k 1) k 1, 2,3, 4Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓN[3.5] Obtener y representar el dominio de la función z arg ch( xy )ex y 1Solución:Para la existencia del denominador debe serex y 1 0 x y 0.Es decir, el semiplano superior limitado por la bisectriz del 2º y 4º cuadrantes.La existencia del numerador requiere quexy 1 . Por consiguiente:D ( x, y ) 2 ( y 1/ x ) ( x 0 ) ( y 0 ) yy 1/xxy -xEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao5
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL 1exp ln x ln y [3.6] Obtener y representar el dominio de la función f ( x, y ) x2 y 2Solución:D ( x, y ) 2 ( x 2 y 2 0) (ln x ln y 0) ( x 0) ( y 0) y xx 2 y 2 0 ( x y )( x y ) 0 y xln x ln y 0 ln( xy ) 0 xy 1Luego el dominio está constituido por los puntos del primer cuadrante ( x 0 ,excluidos los de la rectacuadrante.y 0 ),y x y los de la hipérbola y 1/ x que pertenecen a dichoD ( x, y ) 2 ( x y 0 ) ( x y 0 ) ( xy 1) ( x 0 ) ( y 0 ) yy 1/xxy x6y -xEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓN[3.7] Obtener y representar el dominio de la función:f ( x, y ) ln 9 x 2 y 2 y 2 x 3 Solución: D ( x, y ) 2 9 x2 y 2 y 2 x 3 0 9 x 2 y 2 0 x 2 y 2 9[1] 2 2 y x 3 y x 3 0 9 x 2 y 2 y 2 x 3 0 2222 9 x y 0 x y 9 [2] 2 y 2 x 3 0 y x 3 Las condiciones [1] indican el interior de la circunferencia x y 9 (centrada en elorigen y de radio 3).22Las condiciones [2] expresan el interior de la parábola y x 3 .2 D ( x, y ) 2 ( x2 y 2 9 ) ( y 2 x 3 ) ( x 2 y 2 9 ) ( y 2 x 3 ) Luego el dominio de definición pedido es el indicado en la figura.yy2 x 3x2 y2 93Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbaox7
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL[3.8] Obtener y representar el dominio de la función:f ( x, y ) arcsen (1 x 2 2 y 2 )ln ( y 2 x)Solución:Para la existencia del arco seno: 1 1 x 2 2 y 2 1 0 x 2 2 y 2 2 x2 2 y2 22 x 2 y x2 2 y2 x2 2 y2 0 x y 0 0 ( x, y ) 2 2 2 x2 y2 a 2 1 elipse 21 b 1x2 y2 1 interior de la elipse21Para la existencia del logaritmo neperiano:y2 x 0 y 2 x (exterior de la parábola)Para que no se anule el denominador:y2 x 1 y 2 x 1 (los puntos de esa otra parábola con vértice en (-1,0) estánexcluidos).Por lo tanto:8Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓND ( x, y ) 2 / (0 x 2 2 y 2 2) ( y 2 x) ( y 2 x 1) y2 x 11 2- -1x2 y 2 121y2 x3 1-1[3.9] Obtener y representar el dominio de la función:f ( x, y ) 4x y2ln(1 x 2 y 2 )Solución:Las condiciones que deben cumplirse para que la función tome valores reales son:4x y 2 0 y2 4x1 x2 y2 0 x2 y2 1[interior o sobre la parábola][interior de la circunferencia]Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao9
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL1 x2 y 2 1 x2 y 2 0 x 0 y 0[se excluye el origen]Por lo tanto, la expresión analítica del dominio de definición es:D( f ) ( x, y ) 2 / ( y 2 4 x) ( x 2 y 2 1) ( x 0 y 0) yy2 4x122x y 1-11x[3.10] Obtener y representar el dominio de la función: 5 x2 y 2 4 y f ( x, y ) ln 2 x y 4 Solución: 5 x2 y 2 4 y2D ( x, y ) / 0 x2 y 4 10Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓN22 5 x 2 y 2 4 y 0 x ( y 2) 9 2 x 2 y 4 0 x 4 y225 x y 4y 0 2x y 4 2222 5 x y 4 y 0 x ( y 2) 9 x 2 y 4 0 2 x 4 y D ( x, y ) 2 / ( x 2 ( y 2) 2 9) ( x 2 4 y ) ( x 2 ( y 2) 2 9) ( x 2 4 y )Luego el dominio de definición pedido es el indicado en la figura:y1y x2 4xx 2 ( y 2) 2 9-5Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao11
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL12Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
DOMINIOS DE DEFINICIÓN Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 1. DOMINIOS DE DEFINICIÓN [3.1] Obtener el dominio de la función . yx ln( ) 2 x. Solución: Para la existencia del logaritmo se debe cumplir: xx. 2 0. Por tanto: 2 010 0(1)0 010 xx x xx xx xx x. 1 0
