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Proyecto Edumat-MaestrosMatemáticas y su Didáctica para MaestrosManual para el EstudianteDirector: Juan D. GodinoEdición Octubre 2002SISTEMAS NUMÉRICOSY SU DIDÁCTICA PARAMAESTROSEva CidJuan D. GodinoCarmen stros/
Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. ros/SISTEMAS NUMÉRICOS Y SUDIDÁCTICA PARA MAESTROSEva CidJuan D. GodinoCarmen Batanero
Sistemas numéricos y su didácticaSISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARAMAESTROS Los autoresDepartamento de Didáctica de la MatemáticaFacultad de Ciencias de la EducaciónUniversidad de Granada18071 GranadaISBN: 84-932510-4-6Depósito Legal: GR-186-2003Impresión: ReproDigital. Facultad de CienciasAvda. Fuentenueva s/n. 18071 Granada.Distribución en estros/156Publicación realizada en el marco delProyecto de Investigación y Desarrollodel Ministerio de Ciencia yTecnología, BSO2002-02452.
ÍndiceÍndiceCAPÍTULO 1:NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓNA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas escolares sobre numeración en primaria .B: Conocimientos matemáticos1.Técnicas de recuento1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar .1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar .1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales .1.4. Técnicas de recuento para obtener ordinales .1.5. Orden de ordinales y cardinales .1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar .1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos .1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras .1.9. Técnicas abreviadas de contar .2. Los números naturales. Diferentes usos y formalizaciones2.1. La noción de número natural y sus usos .2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales .3. Tipos de sistemas de numeración y aspectos históricos3.1. situaciones introductorias .3.2. Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetosnuméricos .3.3. Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos .3.4. Tipos de sistemas de numeración .3.5. Cambios de base en los sistemas de numeración .3.6. Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito yoral .3.7. Sistemas de numeración orales: ejemplos .3.8. Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos3.9. Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: elorigen de algunas bases .3.10. Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos .4. Taller de matemáticas 183186187188190191193194196C: Conocimientos didácticos1. Orientaciones curriculares1.1. Diseño Curricular Base del MEC .1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) .2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje2.1. El sentido numérico y su desarrollo .2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas .157199200201202
Sistemas numéricos y su didácticaPágina2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número comocardinal y ordinal .2.4. El aprendizaje del orden numérico .2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración .2.6. Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de lascifras .3. Situaciones y recursos3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica .3.2. Situaciones de cardinalidad sin recuento .3.3. Situaciones de recuento: obtención de cardinales y ordinales .3.4. Situaciones de orden numérico .3.5. Situaciones de lectura y escritura de números de una cifra .3.6. Situaciones de lectura y escritura de números de varias cifras .3.7. Materiales para el estudio de la numeración .3.8. Recursos en Internet .4. Taller de didáctica4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .4.2. Diseño de actividades .4.3. Análisis didáctico de tareas escolares .4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal .Bibliografía . 25CAPÍTULO 2:ADICIÓN Y SUSTRACCIÓNA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas escolares sobre adición y substracción en primaria .B: Conocimientos matemáticos1. Estructura lógica de las situaciones aditivas de una etapa1.1. Situación introductoria .1.2. Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta denúmeros naturales .2. Formalización de la operación de adición y sustracción de númerosnaturales .2.1. La adición de números naturales .2.2. La sustracción de los números naturales .3. Técnicas de cálculo de sumas y restas3.1. Estrategias de obtención de sumas y restas básicas .3.2. Técnicas orales (o mentales) de suma y resta .3.3. Técnicas escritas de suma y resta .3.4. Justificación de las técnicas escritas de suma y resta .3.5. Otras técnicas escritas de suma y resta: ejemplos .158229231231235235236239239241242243
ÍndicePágina3.6. Uso de la calculadora en la solución de problemas aditivos .4. Taller de matemáticas .244246C. Conocimientos didácticos1. Orientaciones curriculares1.1.Diseño Curricular Base del MEC .1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) .2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje2.1.Desarrollo de la capacidad de recuento .2.2.Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas .3. Situaciones y recursos3.1. Secuencia didáctica de introducción de la suma y resta de númerosnaturales .3. 2.Situaciones aditivas concretas .3.3. Situaciones aditivas formales. Aprendizaje de algoritmos .3.4 Recursos en Internet .4. Taller de didáctica4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .4.2. Diseño de una evaluación .4.3. Análisis de problemas propuestos por niños .4.4. Análisis de estrategias aditivas de los alumnos .Bibliografía .249249252253256257259261262262262263264CAPÍTULO 3:MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas escolares sobre multiplicación y división en primaria .267B: Conocimientos matemáticos1. Estructura de los problemas multiplicativos de una operación1.1. Situación introductoria .1.2. Clasificación de los problemas multiplicativos .1.3. Construcción de las operaciones de multiplicación y división entera denúmeros naturales .2. Formalización de la multiplicación y división de números naturales .3.Técnicas de cálculo de la multiplicación y división entera3.1. Estrategias de obtención multiplicaciones y divisiones enteras básicas3.2. Técnicas orales y de cálculo mental de multiplicación y divisiónentera .3.3. Técnica escrita de multiplicación .3.4. Técnica escrita de división entera .3.5. Técnica auxiliar de estimación .159269269271274275276277279
Sistemas numéricos y su didácticaPágina3.6. Otras técnicas escritas de multiplicación y división entera .3.7. Diferencias entre las técnicas orales y escritas .3.8. Operaciones con calculadora .3.9. Potencias, raíces y logaritmos .4. Modelización aritmética de situaciones físicas o sociales .5. La estimación en el cálculo aritmético .6. Divisibilidad en el conjunto de los números naturales6.1. Definición de divisor y múltiplo. Notaciones y propiedades .6.2. Criterios de divisibilidad .6.3. Números primos y compuestos .6.4. Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos6.5 Técnica para obtener la sucesión de números primos menores que unodado .6.6. Técnica para comprobar si un número es primo .6.7. Técnica para obtener los divisores y múltiplos de un número .6.8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números7. Taller de matemáticas .280282282283284285287288290290291291292292294C: Conocimientos didácticos1. Orientaciones curriculares1.1.Diseño Curricular Base del MEC .1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) .2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división .2.2. Principales dificultades en el aprendizaje .3. Situaciones y recursos3. 1. Situaciones multiplicativas concretas .3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos .3.3 Recursos en Internet .4. Taller de didáctica4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .4.2.Análisis de una prueba de evaluación .4.3.Análisis de estrategias de cálculo mental /oral .4.4. Evaluación de resolución de problemas .Bibliografía .297299299300302303306307307307308309CAPÍTULO 4:FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOSA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas escolares sobre fracciones y números racionales enprimaria .160313
ÍndiceB: Conocimientos matemáticosPágina1. Fracciones y razones1.1. Situaciones de uso de fracciones y razones .1.2. Distinción entre fracciones y razones .2. Equivalencia de fracciones. Números racionales .3. Primeras propiedades del número racional positivo .4. Operaciones con fracciones y números racionales4.1. Suma y diferencia de fracciones y números racionales .4.2. Producto y cociente de fracciones y números racionales .4.3. Orden de fracciones y racionales .5. Técnicas para resolver problemas de fracciones .6. Taller de matemáticas .315318318321323324326327329C: Conocimientos didácticos1. Orientaciones curriculares1.1.Diseño Curricular Base del MEC .1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) .2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje .3. Situaciones y recursos3.1. Situaciones concretas .3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos .3.3. Modelos gráficos y recursos para el estudio de las fracciones .3.4 Recursos en Internet .4. Taller de didáctica4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .4.2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación .4.3. Análisis de experiencias didácticas .Bibliografía .333334335339340341343344344345347CAPÍTULO 5:NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALESA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas sobre decimales en primaria .351B: Conocimientos matemáticos1. Fracciones decimales. Números decimales .2. Los números decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales2.1. Distinción entre expresión decimal y número decimal .2.2. Caracterización de los números decimales .3. Técnica de obtención de expresiones decimales3.1. Caso de los números racionales decimales .3.2. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresionesdecimales periódicas .161353354355356357
Sistemas numéricos y su didácticaPágina3.3. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Fracción generatrizde los racionales representados por estas expresiones .4. La introducción de los decimales a partir de la medida .5. Operaciones con números decimales5.1. Adición y sustracción .5.2. Multiplicación .5.3. División .6. La aproximación decimal de racionales. Números reales .7. Notación científica. Representación decimal en las calculadoras .8. Taller matemático .358360362362363363365366C: Conocimientos didácticos1.Orientaciones curriculares1.1. Diseño Curricular Base del MEC .1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) .2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje .3. Situaciones y recursos3.1. Introducción del uso de la coma decimal en el contexto de la medidade longitudes .3.2. Modelos gráficos y concretos para representar fracciones decimales .3.3. Conexión entre fracciones y decimales .3.3. Ordenación de decimales .3.4. Operaciones aritméticas con decimales .3.5. Recursos en Internet .4. Taller de didáctica4.1. Respuestas de estudiantes a una prueba de evaluación .4.2. Análisis de una experiencia de enseñanza 3CAPÍTULO 6:NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOSA: Contextualización profesionalAnálisis de problemas escolares sobre números positivos y negativos enprimaria .387B: Conocimientos matemáticos1. Introducción .2. Otra manera de resolver los problemas aritméticos: el método algebraico2.1. Características del método algebraico de resolución de problemasaritméticos .162391391
ÍndicePágina2.2. Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas .3. Situaciones que motivan el uso de los números con signo .4. Las reglas de cálculo de los números con signo4.1. Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias ynúmeros .4.2. Adición y sustracción de números con signo .4.3. Valencias y usos de los signos y – .4.4. Ordenación de números con signo .4.5. Multiplicación y división de números con signo .5. La condición de números de los números con signo5.1. ¿Son números los números con signo? .5.2. Definición axiomática de Q .6. Taller matemático .393394395396397398398399401402C: Conocimientos didácticos1. Orientaciones curriculares .2. Desarrollo cognitivo. Conflictos en el aprendizaje2.1 dificultades para “dar sentido” a los números positivos y negativos ysus operaciones .2.2 dificultades de manipulación de los signos y – en las expresionesalgebraicas .3. Situaciones y recursos3.1. Situaciones con números naturales que anticipan los números enteros3.2 Situación introductoria de la estructura aditiva de los números enteros3.3. Recursos en internet .4. Taller de didáctica4.1. Análisis de textos escolares .4.2. Diseño de unidades didácticas .405Bibliografía .412163406407408409410411412
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Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. ros/SISTEMAS NUMÉRICOS Y SUDIDÁCTICA PARA MAESTROSCapítulo 1:NÚMEROS NATURALES.SISTEMAS DE NUMERACIÓN165
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Números naturales. Sistemas de numeraciónA: Contextualización ProfesionalANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NUMERACIÓN EN PRIMARIAConsigna:A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sidotomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:a) Resuelve los problemas propuestos.b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en lasolución.c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de latarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para losalumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que note parezcan suficientemente claros para los alumnos.f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos deproblemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:1. ¿Qué números faltan en cada serie? Escríbelos:5 4 3 264224 542 12. Marca estos números en la recta numérica: 6, 12, 5, 3, 9, 7, �¾¾Æ¾¾Æ¾¾Æ¾¾Æ¾¾01234567891011123. Continua la serie:4. Completa con el signo adecuado: Mayor que 13 55 1822 2813 13menor que igual que 27 1616726 1420 2018 21
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero5. Ordena estos números de mayor a menor: 23, 7, 18, 4, 2, 28, 376. Continúa las series:0, 5, 10,.60, 63, 66,.99, 97, 95,.90, 80,.7. Une los números y colorea:8. Completa:9. Representa en un ábaco el número 275. ¿Cuál es la cifra de las unidades? ¿Cuál es la cifrade las decenas? ¿Cuántas unidades vale? ¿Cuál es la cifra de las centenas? ¿Cuántas unidadesvale?10. Escribe cinco números mayores que 240 y menores que 250. Escribe tres números entre7600 y 8000.11 ¿Entre qué decenas se encuentran estos números? 138, 73, 47, 219, 444, 576.12. Haz la descomposición polinómica de estos números: a) 37.248; b) 35.724; c) 12.743; d)5.869.168
Números naturales. Sistemas de numeración13. Haz la descomposición de 12 en dos sumandos que sean números naturales de todas lasformas posibles. Para cada descomposición haz el producto de los sumandos. ¿Quédescomposición de 12 da el producto máximo?14. Una máquina automática de despacho de billetes de tren admite monedas de 1, 5, 25, y100 pts. Calcula el número mínimo de monedas necesario para pagar 3.242 pts; 1.587 pts;4.287 pts.15. Escribe con números romanos: 13, 27, 18, 70, 223, 617, 45, 3000.16. Aproxima estos números a la decena de millar más próxima: 31794, 48076, 9.340, 20.250.17. Escribe qué número indica cada una de estas tablas:18. Escribe con símbolos egipcios los siguientes números:2006251250169
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero170
Números naturales. Sistemas de numeraciónB: Conocimientos Matemáticos1.TÉCNICAS DE RECUENTO1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contarToma un folio y divídelo en dos partes iguales. Escribe tu nombre en cada mitad. En unade ella simula la caída de una "granizada" durante unos 30 segundos, marcando con puntosgruesos la posición en la que caen los granizos. Obtendrás un dibujo parecido al quemostramos en este cuadro:*********** ***************** *********** ***a) ¿Cuántos puntos hay en tu dibujo? ¿Qué has hecho para contestar a esta pregunta?b) En la otra mitad del folio escribe un mensaje para que otro compañero reproduzcaexactamente la misma cantidad de granizos que tú has producido, aunque no en la mismaposición. No puedes utilizar las palabras uno, dos, tres,.; ni los símbolos 1, 2, 3,.c) Intercambia el mensaje con el de otro compañero; cada uno de vosotros ha de interpretarel mensaje del compañero y reproducir su granizada.d) Comprueba que la reproducción ha sido correcta.e) Describe el procedimiento que habéis utilizado en la realización de la tarea.1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contarLas técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las sociedadesestudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de número y a laAritmética. Surgen ligadas a la necesidad de: comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos(cardinal de la colección). indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada deobjetos (ordinal del objeto).En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectores- se plantea ya, aunque sea apequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son?.También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?,¿quién interviene en segundo lugar?, etc.A partir de esas necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que171
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanerohan ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utilizapredominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigiosde otras varias técnicas.Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o sistema derepresentación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables seexpresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetoscomo pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. Endefinitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las quereflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamospara esas actividades.1.3. Técnica de recuento para obtener cardinalesLas técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas)que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien ordenado(hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de unconjunto se realizan las siguientes acciones: Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólouna en el orden habitual: uno, dos, tres,., treinta.Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjuntocontado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y designandoel número de elementos o cardinal del conjunto.Observamos que podemos contar (hallar el cardinal de un conjunto) porque nos sabemosde memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre enel mismo orden. La tarea más complicada de los recuentos consiste en adjudicar a cada objetodel conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Ello requiere definir un orden total enel conjunto contado, orden que podemos definir a voluntad, sin que se modifique el resultadofinal. Para contar se requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista, y a veces,se usan técnicas auxiliares, marcando, por ejemplo, cada punto contado. Al terminar decontar, la última palabra, hace referencia, no sólo al último objeto señalado, sino también atodo el conjunto, esto es, se trata de una "propiedad" que se predica de todo el conjunto. Portanto, cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble significado: es el ordinal delelemento correspondiente en la ordenación que se va construyendo, y es el cardinal delconjunto formado por los objetos ya contados hasta ese momento.Hay que tener en cuenta también el uso intransitivo del recuento, esto es, el recitado de laserie de palabras numéricas en sí mismas, sin mención alguna a cardinales u ordinales.Aprender las palabras numéricas y cómo repetirlas en el orden correcto es aprender elrecuento intransitivo, mientras que aprender su uso como medidas de conjuntos es elaprendizaje del recuento transitivo. "Si aprendemos un tipo de recuento antes que otro notiene importancia cuando nos interesan los primeros números. Pero lo que es seguro, y nocarente de importancia, es que tenemos que aprender algún procedimiento recursivo paragenerar la notación en el orden adecuado antes que hayamos aprendido a contartransitivamente, ya que hacer esto con
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