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PresentaciónTema 5: Filtros activos.El tema 5 está dedicado al análisis y diseño de filtros activos.Inicialmente se realiza una clasificación de los filtros.Posteriormente se propone el uso de filtros prototipos y el escalado comotécnicas de diseño para los filtros de primer y segundo orden.Finalmente se tratan los filtros normalizados de Butterworth para el diseño defiltros de orden superior a dos.CUESTIONES DEL TEMA - V1. Introducción .T12. Clasificación de los filtros T43. Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden T94. Filtros prototipos reales paso alto de primer orden.Transformación RC-CR .T135. Escalados .T176. Filtro prototipo de segundo orden T277. Filtro de segundo orden Sallen-Key .T308. Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada .T399. Filtros de orden “n”. Filtros de Butterworth . T46Gerardo MaestreUniversidad de Huelva0
1.- Introducción.Tema 5: Filtros activos.FILTRO ACTIVOVI ( jω)V0 ( jω)Avf ( jω)Un filtro es un circuito electrónico selectivo de frecuencias. En sentido ideal: Transmite desde su entrada hasta su salida todas las señales cuyas frecuenciasestén comprendidas dentro de una o más bandas de frecuencias. Rechaza las señales cuyas frecuencias no estén comprendidas en dichas bandas.Avf ( jω)Respuesta en frecuencia ideal de un filtro paso bajo.1BANDABANDADEPASODERECHAZO0ω (rad/seg)ωCGerardo Maestre Universidad de Huelva1
Tema 5: Filtros activos.1.- Introducción.En la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo ideal observamos: Existe una banda de frecuencia, banda de paso, en la cual el módulo de laganancia vale la unidad, y por tanto la salida del filtro es igual a la entrada (Laseñal de entrada del filtro pasa sin modificación hacia su salida). Existe una banda de frecuencia, banda de rechazo, en la cual el módulo de laganancia vale la cero, y por tanto la salida del filtro es igual a cero (La señal deentrada del filtro no pasa hacia su salida). La trecuencia ωC es la frecuencia de cruce que separa la banda de paso de labanda de rechazo.Es imposible conseguir filtros con respuestas en frecuencia ideales. Las respuestas en frecuencia de los filtros reales presentan una banda detransición entre las bandas de paso y las bandas de rechazo. Tanto las bandas de paso como la bandas de rechazo pueden presentar unrizado.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva2
1.- Introducción.Tema 5: Filtros activos.Plantilla de la respuesta en frecuencia real de un filtro paso bajo.Avf ( jω)BANDABANDADE PASODE RECHAZO1ACAs0ωcωsωBANDA DETRANSICIÓNGerardo MaestreUniversidad de Huelva3
2.- Clasificación de filtros.Tema 5: Filtros activos.ORDEN DE UN FILTRO:Avf (s) 105 ( s 2 )s 2 5s 1El orden del filtro cuya función compleja se representa es dos, puesto que el mayorexponente de la variable compleja “s” del polinomio denominador es dos.CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS SEGÚN SUS COMPONENTES.a) Filtros pasivosEstán formados por autoinducciones, capacidades y resistencias. No tienen ganancia. Trabajan con frecuencias superiores al Megahercio. Son voluminosos y caros debido a las autoinduciones.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva4
2.- Clasificación de filtros.Tema 5: Filtros activos.b) Filtros activos.Están formados por capacidades, resistencias y un elemento activo tal como unamplificador operacional. Pueden tener ganancia. No son voluminosos y se pueden integrar en un Chip. Trabajan con frecuencias inferiores al Megahercio.CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS SEGÚN SU RESPUESTA EN FRECUENCIA.1) Filtro paso bajo.Avf ( jω)1BANDADEBANDAPASORECHAZODE0ωC Frecuencia de cruce.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva ω (rad/seg)5
2.- Clasificación de filtros.Tema 5: Filtros activos.La banda de paso está comprendida entre cero y la frecuencia de cruce, y labanda de rechazo comprende todas las frecuencias superiores a la de cruce.2) Filtro paso alto.Avf ( jω)1BANDADEPASOBANDADERECHAZO0 ω (rad/seg)ωCLa banda de rechazo está comprendida entre cero y la frecuencia de cruce, yla banda de paso comprende todas las frecuencias superiores a la de cruce.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva6
2.- Clasificación de filtros.Tema 5: Filtros activos.3) Filtro pasa banda.Avf ( jω)BW1BANDADEBANDADEBANDADERECHAZOPASORECHAZO0 ω (rad/seg)ωLωCωHωL frecuencia de cruce inferior.ωH frecuencia de cruce superior.ωC frecuencia central.BW (ωH - ωL ) ancho de banda.log(ωC ) log(ωH ) log(ωL ) log(ωH ωL ) log ωH ωL22Gerardo MaestreUniversidad de HuelvaωC ωH ωL7
2.- Clasificación de filtros.Tema 5: Filtros activos.La banda de paso está comprendida entre las frecuencias de cruce inferior ysuperior. Las bandas de rechazo están comprendidas entre cero y la frecuenciade cruce inferior, y entre la frecuencia de cruce superior e infinito.3) Filtro de banda eliminada.Avf ( jω)1BANDABANDABANDADEPASODERECHAZODEPASO0 ω (rad/seg)ωLωCωHLa banda de rechazo está comprendida entre las frecuencias de cruce inferior ysuperior. Las bandas de paso están comprendidas entre cero y la frecuencia decruce inferior, y entre la frecuencia de cruce superior e infinito.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva8
3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.Tema 5: Filtros activos.Para diseñar filtros activos reales utilizaremos la técnica que consiste en partir deun filtro prototipo, el cual tiene todas las capacidades de 1 F y todas las resistenciasde 1 Ω, y después transformarlo en el filtro diseñado.a) Análisis de un filtro prototipo paso bajo sin ganancia.1 OhmViVx Vo1F0En este circuito VO VX, y la función de transferencia compleja es:1Vo(s)1 s Avf (s) Vi(s) 1 1 s 1sGerardo MaestreUniversidad de HuelvaFiltro de primer orden.9
3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.Tema 5: Filtros activos.La función de transferencia en alta frecuencia es:Avf ( jω) 11 ω 1 jω j 1 1 Un polo con frecuenciaωC 1 rad/seg.b) Análisis de un filtro prototipo paso bajo con ganancia.1 OhmViVx Vo1FFunción de transferenciadel amplificador en bajafrecuencia KR2R100 R2 1 R R2 R2 11 VO (s) 1 Vi(s) VI (s) VX (s) 1 R1 R1 ( s 1)( s 1) Gerardo MaestreUniversidad de Huelva10
3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.Tema 5: Filtros activos.Función de transferencia compleja:A vf (s) V0 (s)K Vs(( s 1)iPara un filtro lo importante son los valores de las bandas y es irrelevante el valor dela ganancia K en baja frecuencia. Por este motivo, las funciones de transferenciacomplejas de los filtros se normalizan dividiendo dicha función por la ganancia K.A vf ( N) (s) A vf (s)1 K( s 1)La función de transferencia normalizada en alta frecuencia es:A vf ( N) ( jω) Gerardo Maestre1ω 1 j 1 Universidad de Huelva11
Tema 5: Filtros activos.3.- Filtros prototipos reales paso bajo de primer orden.Podemos afirmar que las respuestas en frecuencia de los filtros prototipos pasobajo de primer orden con ganancia y sin ganancia son equivalentes.Trazado de la respuesta en frecuencia de un filtro prototipo normalizado paso bajo deprimer orden.dB0 3-20 dB/decωC 1Gerardo MaestreUniversidad de Huelvarad / seg.12
4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CRTema 5: Filtros activos.Cualquier tipo de filtro prototipo paso bajo con frecuencia de cruce ωC 1 rad/seg sepuede convertir en un filtro prototipo paso alto con ωC 1 rad/seg, utilizando latransformación RC-CR, que consiste en intercambiar las capacidades de 1F porresistencias de 1Ώ y las resistencias de 1Ώ por capacidades de 1F.a) Análisis de un filtro prototipo paso alto sin ganancia.1FVxVi Vo1 Ohm0Función de transferencia compleja:Avf (s) s1 1 1 ssGerardo Maestre1Función de transferencia en alta frecuencia. Avf ( jω) Universidad de Huelvajωω 1j 1 13
4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CRTema 5: Filtros activos.a) Análisis de un filtro prototipo paso alto con ganancia.1FVxVi VoR21 OhmR10 R K 1 2 R1 0Función de transferencia compleja. R2 R2 ssKVo(s) 1 Vi(s) Vi(s) Vx(s) 1 RR1 s1 s 1 1 Vo(s) sK A vf (s) Vi(s) 1 sGerardo MaestreUniversidad de Huelva14
4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CRTema 5: Filtros activos.Función de transferencia complejanormalizada.Función de transferencia en alta frecuencianormalizada.Avf N ( jω) sAvf N (s) 1 sjωω 1j 1 Trazado de la respuesta en frecuencia de un filtro prototipo paso alto de primer orden.dB0 3 20 dB/decωC 1Gerardo MaestreUniversidad de Huelvarad / seg.15
Tema 5: Filtros activos.4.- Filtros prototipos reales paso alto de primer orden. Transformación RC-CRHay que resaltar que la transformación RC-CR sobre el circuito de un filtro equivale asustituir en su función de transferencia compleja “s” por “1/s”.Ejercicio 1.La función de transferencia compleja de un filtro prototipo paso bajo de primerorden es:Avf (s) 11 sAl sustituir s por:1sObtenemos la función de transferencia de un filtro prototipo paso alto de primerorden.1s 1 Avf s 1 1 s 1sGerardo MaestreUniversidad de Huelva16
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Los escalados son métodos que nos permite diseñar cualquier filtro a partir deun filtro prototipo. Sobre la función de t ransferencia. De frecuencia ESCALADOS Sobre el circuito del filtro. De impedancia sobre el circuito del filtro. a) Escalado de frecuencia sobre la función de transferencia.Escalar en frecuencia la función de transferencia compleja de cualquier filtroconsiste en sustituir en dicha función s por s/α siendo α 0 el factor de escalado enfrecuencia.Sea un filtro paso bajo de primer orden sin escalar cuya función de transferenciacompleja es:A vf (s) Gerardo Maestre1Respuesta en frecuencia en s 1 ωC línea gruesa rojaUniversidad de Huelva17
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Al escalar en frecuencia la función de transferencia anterior obtenemos:111 s A vf s s s α 11 ααωω'C C 1 ωC Filtro sinescalardBRespuesta en frecuencia enlínea gruesa azulFiltro escaladoen frecuencia0 3xωCωXω 'C αωCω 'X αωXGerardo MaestreUniversidad de Huelva18
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.El escalado en frecuencia produce un desplazamiento hacia la derecha de larespuesta en frecuencia del filtro sin escalar, de modo que todas las frecuenciasquedan multiplicadas por el factor de escalado en frecuencia α.b) Escalado de frecuencia sobre el circuito del filtro.Si tenemos en cuenta que en el dominio de la variable compleja s:1sCR (s) RC (s) Al escalar en frecuencia:11 s C α s C s C α α s R R α Gerardo MaestreUniversidad de Huelva19
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Realizar un escalado en frecuencia α sobre los componentes de un filtro consisteen dividir las capacidades por α sin modificar las resistencias.Ejercicio 2.Diseñar un filtro activo paso bajo de primer orden que tenga un ancho de banda(frecuencia de cruce) de 10 K Hz.dBFiltro prototioposin escalarFiltro diseñoescalado0 3 20 dB/decωC 1Gerardo Maestreω 'C αωC α 2π10Universidad de Huelva4Rad / seg20
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.La frecuencia a -3 dB del filtro diseñado es:ω 'C α 2πf C 2π104 rad/seg.Realizando un escalado en frecuencia sobre los componentes del filtro prototipoobtenemos los valores de los componentes del filtro diseño:R' 1 Ω111C' 1,59 10 5 F 15,9 uF4α 2πf C 2π101ΏVi Vo-15.9 uFFiltro diseñado.0Gerardo MaestreUniversidad de Huelva21
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.La resistencia del filtro de 1 Ω es de valor muy pequeña y es necesario elevarla.Ello se consigue con el escalado en impedancia.c) Escalado de impedancia sobre el circuito del filtro.El escalado de impedancia de un circuito consiste en reemplazar en un filtro R por βRy C por C/β siendo β 0 el factor de escalado de impedancia. El escalado deimpedancia no modifica la respuesta en frecuencia del filtro.Ejercicio 3.RVi Vo-C0Gerardo MaestreUniversidad de Huelva22
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Dado el circuito de la figura anterior, comprobar que un escalado en impedanciano modifica la respuesta en frecuencia del filtro.A vf (s) 1sCV0 (s)11 1Vi (s) R (1 sRC ) 1 s sC ωC ωC Realizando el escalado en impedancia:A 'vf (s) 1Csβ1 βRCsβ 1 C 1sR β β 1RC11 (1 sRC ) 1 s ωC Se obtiene la misma función de transferencia, luego el filtro no cambia.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva23
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Lo normal es realizar primeramente un escalado en frecuencia y después realizarune escalado en impedancia.Ejercicio 4.Diseñar un filtro activo paso alto de primer orden con una ganancia en alta frecuenciade 0 dB y una atenuación de 30 dB (una ganancia de – 30 dB) a 40 Hz. Utilizarcondensadores de 5 nFFiltro prototioposin escalardBFiltro diseñoescalado0 20 dB/dec 30ωGerardo Maestreω ' αω 2π40Universidad de HuelvaRad / seg24
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.ω' Necesitamos conocer α ωfiltro prototipo.2π40pero desconocemos el valor de la ω delωSabemos que la función de transferencia del filtro prototipo paso alto de primer orden es:s1 sjωA vf ( jω) 1 jωA vf (s) Sustituyendo s jω obtenemos.Cuyo módulo en decibelios es:A vf ( jω) dB ω 20log 302 1 ω Operando:ω 30 log 1 0.031622 20 1 ωω2 3 3223 222 10 ω 101 ω 10ω 1 ω 999ω 1()21 ωω Gerardo Maestre1 0.03164999Universidad de Huelva25
5.- Escalados.Tema 5: Filtros activos.Substituyendo ω:α ω'2π40 7943.69ω 0.03164Los valores de los componentes del filtro diseñado son:R ' 1ΩC' 11 0.0001259F 125.9μFα 7943.69Realizamos un escalado en impedancia con C 5x10-9 F:C'C' 125.9 10 63 β C 25.1810βC5 10 9R βR ' 25.18 103 1 Ω 25.18 K5 nFViDibujamos el esquema del filtro: Vo25,18 K0Gerardo MaestreUniversidad de Huelva26
6.- Filtro prototipo de segundo orden.Tema 5: Filtros activos.El denominador de su función de transferencia es un polinomio de segundo orden.a) La función de transferencia de un filtro prototipo paso bajo de segundo orden es:A vf (s) K 1 s2 s 1 Q Dividimos por la ganancia K para normalizar la función de transferencia:A vf ( N) (s) 1 1 s2 s 1 Q Resolviendo el polinomio denominador:1111 4Q 2 4 2QQQQ211 js 4Q 2 1222Q2Q4Q 2 1 0Gerardo MaestreQ 0.5Q es un factor de diseño.Universidad de Huelva27
6.- Filtro prototipo de segundo orden.Tema 5: Filtros activos.La respuesta en frecuencia de un filtro prototipo paso bajo de segundo orden es:dB0 3Q 1Q 4Q 0.5 40 dB / decωC 1rad / seg A medida que aumenta el factor Q aparece un pico de amplitud creciente en larespuesta en frecuencia del filtro de segundo orden. La respuesta en frecuencia de un filtro de segundo orden se aproxima más ala de un filtro ideal que la respuesta de un filtro de primer orden.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva28
6.- Filtro prototipo de segundo orden.Tema 5: Filtros activos.a) Función de transferencia de un filtro prototipo paso alto de segundo orden:La obtenemos a partir de la función de transferencia del filtro prototipo paso bajo desegundo orden realizando la transformación RC-CR (Sustituyendo s por 1/s).s21 A vf ( N (s) A vf ( N) (s) 1 1 1 1 2 ss 11 2 s Q s Q La respuesta en frecuencia de un filtro prototipo paso alto de segundo orden es:Q 4Q 1dB0 3Q 0.5 40 dB / decωC 1Gerardo MaestreUniversidad de Huelvarad / seg29
7.- Filtro de segundo orden Sallen-Key.Tema 5: Filtros activos.Los Filtros Sallen-Key son circuitos que proporcionan la función de transferencia delos filtros de segundo orden.A) Filtro prototipo Sallen-Key paso bajo.Arquitectura del filtro prototipo Sallen-Key paso bajo de segundo orden1FI31 Ohm1 OhmVxViI1Vz I2VoI4R21FR100Gerardo MaestreUniversidad de Huelva R2 K 1 R1 30
7.- Filtro de segundo orden Sallen-Key.Tema 5: Filtros activos.I1 I 2 I3Vi Vz Vz Vx sVz sVo Vi ( s 2 ) Vz Vx sVoI2 I4Vz Vx sVx Vz ( s 1) VxSustituyendo:Vi ( s 2 )( s 1) Vx Vx sVoVi ( s 2 3s 2 ) Vx Vx sVo ( s 2 3s 1) Vx sVoLa ganancia del amplificador no inversor del filtro es:V R 1K 0 1 2 VX V0VX R1 KGerardo MaestreUniversidad de HuelvaSustituyendo:31
7.- Filtro de segundo orden Sallen-Key.Tema 5: Filtros activos.Vi ( s 2 3s 1)Vo sVoKKVi ( s 2 3s 1) Vo sKVo s 2 ( 3 K ) s 1 VoFunción de transferencia del filtro prototipo paso bajo Sallen Key:Avf (s) VoK 2Vi s ( 3 K ) s 1A vf ( N) (s) 1s2 ( 3 K ) s 1Siendo:(3 K ) 1Q R K 1 2 R1 Gerardo MaestreUniversidad de Huelva32
7.- Filtro de segundo orden Sallen-Key.Tema 5: Filtros activos.B) Filtro prototipo Sallen-Key paso alto.Para obtener el circuito y la función de transferencia del filtro prototipo Sallen-Key pasoalto aplicamos la transformación RC-CR al filtro prototipo Sallen-Key paso bajo :1 Ohm1F1FVi Vo1 OhmR2R100A vf ( N) (s) Gerardo Maestre121 1 3 K 1() ss s2 2s (3 K ) 1Universidad de Huelva33
Tema 5: Filtros activos.Ejercicio 5.Diseñar un filtro Sallen-Key paso bajo con un parámetro de diseño Q 2y quetenga una ganancia de – 18.36 dB (una atenuación de 18,36 dB) a la frecuencia de37,7x103 rad/seg. Usar todas las capacidades del filtro igual a 2 nF.Respuesta en frecuencia del filtro prototipo y del filtro diseño(escalado en frecuencia)dBPr ototipoDiseño37,7 103α ω 18,36¿ ω?Gerardo Maestreω ' 37,7 10 αωUniversidad de Huelva3ω34
Tema 5: Filtros activos.Para hallar el factor de escalado en frecuencia α necesitamos conocer el valor de lafrecuencia ω del filtro prototipo para la cual la ganancia vale – 18.36 dB. La función detransferencia compleja del filtro prototipo es:Avf (s) 11 1 1 s2 s 1 s2 s 1 2 Q Función de transferencia en alta frecuencia del filtro prototipo:Avf ( jω) 11 1 1 2 ω2 jω 11 ω jω() 2 2 El módulo, en dB, de la función de transferencia en alta frecuencia del filtro prototipo:Avf ( jω) dB 18.36 20logGerardo Maestre(1 ω )2 2ω2 2Universidad de Huelva35
Tema 5: Filtros activos.Operando: 18.36 422log 1 8.279 1 ω 2ω 0.5ω 20 68.55 ω4 1.5ω2 1ω4 1.5ω2 67.55 0ω2 1.5 2.25 274.19 1.5 16.62 9.0622ω 9.06 3 rad/segSustituyendo ω en α:37.7 103α 12.566 103 rad/seg3Gerardo MaestreUniversidad de Huelva36
Tema 5: Filtros activos.Los valores de los componentes del filtro diseñado son:R' 1 ΩC' 1 79.58 10 6 F312.566 10Para reducir la capacidad desde 79.58x10-6 F hasta 2 x10-9 F se deberá realizarun escalado en impedancia con un factor de escalado:C'C' 79,58 10 6 β 39,79 103C 9βC2 10R βR ' 39,79 103 Ω 39,79KPor otro lado en el filtro Sallen-Key:3 K 11R2 0.707 3 0.707 2.292 K 1 QR12Gerardo MaestreUniversidad de Huelva37
Tema 5: Filtros activos.R2 1.292R1Elegimos R1 10 K y R2 12,92 K.2nVi39,79K39,79K Vo2n12,92K10k0Gerardo Maestre0Universidad de Huelva38
8.- Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada.Tema 5: Filtros activos.a) Filtros pasa banda.Respuesta en frecuenciade un filtro pasa banda:dBBW0 3ωLωCωHωParámetros:ωL frecuencia de cruce inferior.ωH frecuencia de cruce superior.ωC ωH ωL frecuencia central.BW (ωH - ωL ) ancho de banda.Q' ωC factor de calidad.BWGerardo MaestreUniversidad de Huelva39
8.- Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada.Tema 5: Filtros activos.Cuanto mayor sea Q’, más selectivo será el filtro o más estrecho será su anchode banda BW.Existen dos tipos de filtros pasa banda, que se identifican mediante el factor de calidad: Filtro pasa banda de banda ancha (Q’ 10). Filtro pasa banda de banda estrecha (Q’ 10).Una solución para diseñar un filtro pasa banda de banda ancha consiste en utilizardos filtros; un filtro paso alto con una frecuencia de cruce fL en serie con un filtro pasobajo con una frecuencia de corte fH.ωLViωHFiltroFiltropaso altopaso bajoK2Gerardo MaestreVoK2Universidad de Huelva40
8.- Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada.Tema 5: Filtros activos.Estos filtros pueden ser de primer orden, de segundo orden o superior.Nota: Los filtros pasa banda de banda estrecha hay que diseñarlos con circuitosespecíficos, y por tanto no los trataremos en este curso.a) Filtros de banda eliminada.Todo lo analizado para un filtro pasa banda es valido para un filtro de banda eliminada.dBBW0 3ωLGerardo MaestreωCUniversidad de HuelvaωHω41
8.- Filtro pasa banda. Filtro de banda eliminada.Tema 5: Filtros activos.Un filtro de banda eliminada de banda ancha se puede diseñar colocando un filtropaso bajo con una frecuencia de cruce fL en paralelo con un filtro paso alto con unafrecuencia de corte fH.ωHFiltropaso altoKViωLVoSumadorFiltropaso bajoEjercicio 6.KDiseñar un filtro pasa banda con frecuencias de cruce de 10 K Hz y 1 M Hz, con unaganancia en la banda de paso de K 16, y con una pendiente en las bandas derechazo de 20 dB/dec.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva42
Tema 5: Filtros activos.La frecuencia central es:f C 104106 105 HzEl ancho de banda es:BW 106 104 99 104 HzEl factor de calidad es:105 0.101 10Q' 499 10Es un filtro de banda ancha y podemos diseñarlo con dos filtros, uno paso bajo y otropaso alto, colocados en serie.Utilizaremos filtros de primer orden, con ganancia K 4 cada uno. Por lo tanto:4 1 R2 R2 3R1R1Elegimos R1 10 K y R2 30 K.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva43
Tema 5: Filtros activos.Para la sección de paso alto la frecuencia de cruce es 104 Hz, con lo cual:α PA R 'PA 1 Ω 2π104 1 6C' 15.915 10FPA 42π10Para la sección de paso bajo la frecuencia de cruce es 106 Hz,con lo cual: R 'PB 1 Ω α 2π106 1 9C' 159,154 10F PB 2π106Elegimos β 103.R PA R PB 1 β 103 Ω 1 KGerardo MaestreUniversidad de Huelva44
Tema 5: Filtros activos.C PAC'PA 15,915 10 6 15,915 10 9 F 15,915 nF3β10CPBC'PB 159,154 10 9 12159,15410F 15,915 pF 310βFiltro diseñado.15,915 nVs1K -Vo-30 K1K30 K159,154 p10 K10 K000Gerardo MaestreUniversidad de Huelva045
Tema 5: Filtros activos.9.- Filtros normalizados de orden “n”. Filtros Butterworth .Para diseñar filtros de orden superior a dos, se utilizan filtros normalizados cuyasfunciones de transferencia están compuestas a base de funciones de primer ordeny de segundo orden.En este curso solo analizaremos los filtros normalizados de Butterworth.dB0 312n 75ω'C3ωRespuesta en frecuencia de una familia de filtros normalizados Butterworth.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva46
9.- Filtros normalizados de orden “n”. Filtros Butterworth .Tema 5: Filtros activos.Características: No presentan rizado en la banda de paso. Todas las curvas pasan por el punto de coordenadas (ω’C, -3 dB). A medida que aumenta el orden del filtro aumenta la pendiente de su respuestaen frecencia, y por tanto esta se aproxima más a la respuesta de un filtro ideal. La función de transferencia compleja de cualquier filtro Butterworth es:Avf (s) 1D(s) El polinomio denominador D(s) está tabulado en forma de polinomios de primery segundo grado.Se especifican a continuación una tabla que contiene polinomios Buttreworthnormalizados hasta el orden 8.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva47
Tema 5: Filtros activos.n9.- Filtros normalizados de orden “n”. Filtros Butterworth .Polinomio D(s)1(s 1)2(s2 1,414s 1)3(s 1)(s2 s 1)4(s2 0.765s 1)(s2 1,848s 1)5(s 1)(s2 0,618s 1)(s2 1,618s 1)6(s2 0,518s 1)(s2 1,414s 1)(s2 1,932s 1)7(s 1)(s2 0,445s 1)(s2 1,247s 1)(s2 1,802s 1)8(s2 0,390s 1)(s2 1,111s 1)(s2 1,663s 1)(s2 1,962s 1)Pasos para diseñar un filtro Butterworth: Deducir el orden del filtro. (Si se obtiene un número decimal seaproxima al entero superior.) Utilizar la tabla anterior para diseñar el filtro a base de filtros deprimer y segundo orden colocados en cascada.Gerardo MaestreUniversidad de Huelva48
9.- Filtros normalizados de orden “n”. Filtros Butterworth .Tema 5: Filtros activos.El orden del filtro se obtiene a partir del módulo de la ganancia del filtro:a) El módulo de la ganancia de un filtro prototipo paso bajo Buterrworth es:Avf ( jω) 11 ω2n Avf ( jω) dB 20log 1 ω2nSiendo:n el orden del filtro.ω la frecuencia correspondiente a la ganancia Avf(jω) dBOperando:Avf ( jω) dB 20 Avf ( jω) dB 2n log 1 ω2n log 1 1 ω 20 2 1 Avf ( jω) dB 2n log 1 ω n 20 Gerardo Maestre2 Avf(j) ω 1dBlog log 1 20 Universidad de Huelva2log ( ω)49
Tema 5: Filtros activos.9.- Filtros normalizados de orden “n”. Filtros Butterworth .b) El módulo de la ganancia de un filtro prototipo paso alto Buterrworth es:Avf ( jω) dB 1 1 1 ω 2nSe observa que la ecuación del módulo de la ganacia del filtro paso alto sediferencia de la de paso bajo en que en lugar de (ω) aparece 1 ω Por tanto, para el filtro prototipo paso alto Buterrworth:2 Avf(j) ω 1 dBlog log 1 20 n 1 2log ω Gerardo MaestreUniversidad de Huelva50
Tema 5: Filtros activos.Ejercicio 6.Diseñar un filtro activo paso bajo de orden n con un ancho de banda de 3 K Hz yuna atenuación de al menos 60 dB a 15 K Hz.Utilizaremos un filtro Buterrworth de orden “n”, cuyarespuesta en frecuencia es:dBPr ototipoDiseño0 3 60ωC 1¿ ω?ω ' αω 2π15 103ωω 'C α 2π3 103Gerardo MaestreUniversidad de Huelva51
Tema 5: Filtros activos.El primer paso es determinar el valor del orden del filtro prototipo, mediante la ecuación:n 2 ω Avf(j)1 dBlog log 1 20 2log ( ω)Para ello es necesario calcular elvalor de la frecuencia ω del filtroprototipo para – 60 dB.ω ' 2π15 103ω 5 rad/seg3α2π3 10Sustituyendo valores: 1 60 2 log log 1 2 20 1) 5,99999log1000 ( n 4, 2922log ( 5 )1,397941,39794Elegimos n 5Gerardo MaestreUniversidad de Huelva52
Tema 5: Filtros activos.De la tabla anterior obtenemos el siguiente polinomio:D(s) (s 1)(s2 0,618s 1)(s2 1,618s 1)Con lo que la función de transferencia del filtro es:Avf (s) 1111 2 2D(s) s 1 s 0.681s 1 s 1,618s 1Esta función de transferencia la generaremos con tres filtros en serie, uno de primerorden y dos de segundo orden:Cálculo de las capacidades y resistencias de los tres filtros:R' 1 ΩC' 116 53,1 10F3α 2π3 10Gerardo MaestreUniversidad de Huelva53
Tema 5: Filtros activos.Con un escalado de impedancia con β 103:R βR ' 1 KC' 53,1 10 6C 53.1 10 9 F 53,1nF3β10Calculo de las resistencias de los amplificadores de dos los filtros de segundoorden: R *2 3 - K 0,618 K 2,382 1 * R *2 1,382R1* R1 **Tomamos : R1* 10 K y R *2 13,82 K R **2 **3 - K 1,615 K 2,382 1 ** R **2 0,328R 1 R1 ****Tomamos : R1** 10 K y R **2 3, 28 KGerardo MaestreUniversidad de Huelva54
Tema 5: Filtros activos.El filtro diseñado es:1KVs -53,1 nF053,1 nF53,1 nF1K1K1K 1K 53,1 nFVo-13,82 K53,1 nF010 K3,82 K010 K00Gerardo MaestreUniversidad de Huelva55
técnicas de diseño para los filtros de primer y segundo orden. Finalmente se tratan los filtros normalizados de Butterworth para el diseño de filtros de orden superior a dos. Gerardo Maestre Universidad de Huelva 1 Tema 5: Filtros activos. 1.- Introducción.
