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Análisis y Síntesis de CircuitosFILTROS DE ALTO ORDENASCbilidad. Además se necesita normalmente un número de componentes pasi-Labels E: 11geLabels F: 11LabelsLabelsL: T:1112Labels T: 11vos muy grande.En este Capítulo veremos tres métodos de realización: cascada, realimentación de lazo múltiple y simulación de escaleras LC doblemente terminadas.TEMA 6FILTROS DE ALTO ORDEN6.2 Simulación de estructuras escalera LCLas escaleras LC se ha visto que son circuitos de muy baja sensibilidaden la banda pasante. Por tanto, se ha realizado un esfuerzo importante paradesarrollar circuitos activos que de alguna forma simulan el comportamiento6.1 Introducciónde las escaleras LC. Vamos a ver dos técnicas diferenciadas: simulaciónDespués de estudiar cómo realizar funciones de transferencia de segundo orden tratamos ahora de revisar métodos de diseño para la reali-operacional en la que el circuito activo trata de imitar el comportamiento dela escalera LC mediante la simulación de las ecuaciones que describen suzación de funciones de transferencia de orden mayor que 2:comportamiento interno; y simulación de inductores, que trata de sustituirmm–1Voam s am – 1 s a1 s a0H ( s ) ------ -----------------------------------nn–1Vi b1 s b 0s bn – 1 s(6.1)cada inductor por un circuito activo cuyo comportamiento es inductivo en elrango de frecuencias de interés.6.2.1 Simulación de escaleras LC mediante grafos de flujo dedonde n m y n 2.señalSupondremos que n y m son pares de forma que numerador y denominador se puedan factorizar en funciones de transferencia de segundoorden. Esto no supone ninguna pérdida de generalidad porque una fun-La simulación operacional de los inductores trata de simular la operación de una escalera LC mediante la representación de las ecuaciones queción impar se puede factorizar en el producto de una función par y unafunción de primer orden que se puede realizar fácilmente mediante unadescriben el comportamiento del circuito. Consideremos la escalera genérica de la Fig. 6.1. Las ecuaciones que describen su comportamiento (Leyesred pasiva.de Kirchoff y ecuaciones constitutivas) son:La forma básica de realizar una función de alto orden es la formadirecta, es decir, la utilización de uno o dos A.O. con una red pasiva demuy alto orden. Esto suele conducir a malos comportamientos en sensi- Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-1Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-2
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDEN V n – 2 Zn – 2 I n – 2 Z n – 2 ( I n – 3 – In – 1 )In – 1 Y n – 1 Vn – 1 Y n – 1 ( Vn – 2 – Vn )In I n – 1 – I n 1Vn Z n In Z n ( In – 1 – In 1 )Vn 1 Vn – Vn 2I n 1 Y n 1 Vn 1 Y n 1 ( Vn – Vn 2 )In 2 In 1 – I n 3Vn 2 Z n 2 I n 2 Z n 2 ( I n 1 – In 3 )v n – 2 zn – 2 i n – 2 zn – 2 ( in – 3 – in – 1 )in – 1 y n – 1 v n – 1 y n – 1 ( v n – 2 – v n )in in – 1 – in 1v n z n in z n ( i n – 1 – i n 1 )vn 1 vn – vn 2in 1 yn 1 vn 1 yn 1 ( v n – vn 2 )in 2 i n 1 – in 3v n 2 zn 2 i n 2 z n 2 ( i n 1 – in 3 )I n – 2 In – 3 – In – 1Vn – 1 V n – 2 – Vnin – 2 in – 3 – in – 1vn – 1 vn – 2 – v n(6.2) (6.5) Para implementar estas ecuaciones es necesario realizar sumadores y transmitancias zk o yk tal como se muestra en el diagrama de flujo de la Fig. 6.2a.Se suele poner las señales de tensión en la fila inferior y las intensidades enla superior. Esta realización tiene el problema de implementar la diferenciaFig.6.11 Schaumande dos señales. Para solucionarlo efectuamos las inversiones de signo de lasseñales necesarias para que se produzcan únicamente sumas tal como semuestra en la Fig. 6.2b.Figura 6.1: Sección de un circuito en escalera.En la simulación activa todas las señales son tensiones por lo que setransforman las intensidades en tensiones multiplicando por una resistenciade escalado R:I n R I n – 1 R – In 1 RZnZnV n ------ I n R ------ ( I n – 1 R – I n 1 R ) (6.3)RRFig.6.12 Schaumane introduciendo la notación:Ik R ikVk vkZk----- z kRYk R yk(6.4)y la ecuación (6.2) queda:Figura 6.2: (a) Representación en forma de diagrama de bloquesdel grafo de flujo de señal de la sección escalera de laFig. 6.1; (b) Transformación para obtener úncamentesumadores de entradas positivas.Esta topología se denomina salto de rana o LF lo que aparece justificadosi se redibuja el circuito de la Fig. 6.2b en la forma de la Fig. 6.3.6-3Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-4
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENEl grafo de flujo de señal correspondiente se muestra en la Fig. 6.5. Dichografo ha de implementarse utilizando circuitos RC activos. Por ello, se requiere integradores inversores y no inversores con y sin pérdidas. Los sumadores siempre preceden a los integradores por lo que se pueden realizar enFig.6.13 SchaumanFigura 6.3:El diagrama de la Fig. 6.2b redibujado para visualizarla estructura leap-frog.Vamos a ilustrar el proceso sobre un filtro paso de baja todo polo decuarto orden. Este filtro se puede implementar mediante una escalera LCcomo la que muestra la Fig. 6.4.el nudo de suma del integrador. La simulación de la escalera consiste de unaserie de lazos de dos integradores, uno inversor y otro no inversor. Esto puede producir problemas si los integradores tienen factores de calidad finitos(tienen errores de fase) ya que los factores de calidad del lazo pueden aumentar drásticamente.Fig.6.15 SchaumanFig.6.14 SchaumanFigura 6.5: Diagrama de flujo de la escalera de la Fig. 6.4.Figura 6.4: Escalera paso de baja de cuarto orden.Se soluciona utilizando un integrador Miller con pérdidas con fase reVamos a escalar los distintos elementos por una resistencia R y convertimos la intensidad a una señal de tensión:Ci R ciLi---- l iRRi----- r iRIi R iiK vamos a multiplicar la señal de entrada por K. Las ecuaciones que describen las ecuaciones constitutivas y las leyes de Kirchoff de la escalera son:1– i 3 ------- ( – v 2 v 4 )sl 36-51– v 2 – -------- ( i 1 – i 3 )sc 21v 4 – -------------------- ( – i 3 )sc 4 g Lfase se hace aproximadamente cero. Estos integradores se muestran en laFig. 6.6.V i v i (6.6)Asimismo para realizar una función de transferencia genérica con gananciaKv in – v 2i 1 ---------------------sl 1 r strasada junto con otro no inversor con fase adelantada con lo que el error de(6.7)Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESIFig.6.16 SchaumanFigura 6.6: (a) Integrador inversor Miller con pérdidas; (b)Integrador no inversor con pérdidas de adelanto de fase.Los integradores implementan la función:Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-6
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCG1 V1 G2 V2V o --------------------------------sC G 3(6.8) para el integrador no inversor y para el inversor. Puede observarse en laFig. 6.5 que las ramas internas han de implementarse con integradores sinpérdidas mientras que las ramas de los extremos requieren integradores conpérdidas. Por tanto sólo queda conectar los integradores apropiados obteniéndose el circuito de la Fig. 6.7.Fig.6.17 SchaumanASCFILTROS DE ALTO ORDENG 1 V in G 2 ( – v 2 )Kv in – v 2Kv in – v 2i 1 ------------------------------------------ ---------------------- -----------------------------------sC G 3sl 1 r ssL 1 R R s Ri 1 – i3G4 i1 G5 ( –i 3 )i 1 – i3– v 2 – ------------------------------------- – -------------- – -------------sCsc 2sC 2 RG6 ( –v2 ) G7 v4– v2 v4– v2 v4– i 3 --------------------------------------- --------------------- --------------------sCsl 3sL 3 RG8 ( –i3 )–i3–i3v 4 – -------------------- – -------------------- – ---------------------------------sC G 9sc 4 g LsC 4 R R R L(6.9)Identificando miembros se puede obtener los parámetros de la implementación activa en función de los elementos de la escalera. Los parámetros R yC quedan como parámetros arbitrarios pudiendo elegirse para obtener valores convenientes.La máxima amplitud de señal que un filtro puede procesar con baja dis-Figura 6.7: Realización activa de la escalera LC de la Fig. 6.4.Los condensadores se han escogido iguales por conveniencia. Las resistencias se obtienen a partir de los elementos originales de la escalera sin másque comparar las ecuaciones que implementa la Fig. 6.7 con las ecuacionesque describían la escalera original:torsión está limitada por las fuentes de alimentación o por el slew-rate de losamplificadores operacionales. En el otro extremo el límite inferior viene determinado por el nivel de ruido. Si llamamos Vop a la tensión máxima sin quehaya distorsión ha de cumplirse que la tensión máxima, a cualquier frecuencia, a la salida de un A.O. ha de ser:max V oi ( jω ) V op(6.10)Nuestra tarea ahora consiste en escalar los niveles de tensión para maximizar el rango dinámico. Se trata de igualar los máximos de tensión a la salida de cada amplificador operacional para cualquier valor de la frecuencia.Para ello puede insertarse un factor de escala en cada señal mientras que lasganancias de lazo no cambien. Esto no cambia la función de transferenciaexcepto por un factor constante. El procedimiento se ilustra en la Fig. 6.8para el mismo circuito de la Fig. 6.5.6-7Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-8
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENK1---------- v in – v̂ 2 --G 1 V in G 2 ( – v 2 )αβγγi 1 ------------------------------------------ -----------------------------------sC G 3sL 1 R R s R1î 1 γ – î 3 --G4 i1 G5 ( –i3 )β– v 2 – ------------------------------------- – --------------------sCsC 2 RFig.6.18 Schauman1– v̂ 2 β v̂ 4 --G 6 ( –v2 ) G7 v4α– i 3 --------------------------------------- ----------------------------sCsL 3 RFigura 6.8: Ilustrando el escalado de rango dinámico para lasimulación mediante grafos de flujo de señal de un filtropaso de baja.G 8 ( –i3 )– î 3 αv 4 – -------------------- – ---------------------------------sC G 9sC 4 R R R LSi el máximo de la tensión v3 es α veces mayor que el máximo de v4multiplicando la ganancia del integrador por α iguala ambos máximos. Paramantener constante la ganancia del bucle se multiplica v4 por 1/α antes desumarla con v2. Así sucesivamente. Este proceso multiplica la función detransferencia total por αβγ pero esto puede solucionarse escalando adecuadamente K. Las tensiones cuyos máximos se han de detectar corresponden aintensidades en las ramas serie de la escalera y tensiones en las ramas en paralelo por lo que se pueden obtener con cualquier programa de análisis. Laecuación (6.9) puede transformarse fácilmente para ver cómo afecta el escalado a los valores de los elementos de la realización activa:(6.11)De nuevo comparando ambos términos se obtienen los valores de los elementos de la realización activa. Este método de maximización del rango dinámico es general, no únicamente para cualquier realización con grafo deflujo de señal.Supongamos que en lugar de tratarse de un filtro paso de baja todo polose trata de un filtro paso de banda. Podemos interpretar que el filtro paso debaja anterior y su grafo de flujo de señal no es más que el filtro paso de bajaprototipo. El filtro paso de baja se obtiene mediante la transformación pasode baja a paso de banda:2ωo p2 1p 1s Q --------------- ------ --------------B pp(6.12)donde se ha puesto la transformación de un filtro paso de banda normalizado. Las ramas del integrador paso de baja se realizan mediante integradoresde la forma: a iT i ( s ) ------------s qi(6.13)Se puede aplicar la transformación paso de baja a paso de banda directamen6-9Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-10
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENte al diagrama del grafo de flujo y por cada integrador se obtiene una funciónLC con ceros finitos de transmisión donde cada rama de la escalera puedebicuadrática de segundo orden:contener inmitancias LC arbitrarias. La forma más general de ramas en serie1 a i ---- pQT i ( p ) ------------------------------------2p pq i Q 1y en paralelo que nos podemos encontrar es la que aparece en la Fig. 6.10.En ella se escogen los signos algebraicos de tensiones e intensidades de for(6.14)ma que únicamente se produzcan sumas. Los condensadores se han nombra-La aplicación al ejemplo anterior del filtro paso de baja de cuarto orden con-do con un "gorrito" para distinguirlos de los condensadores del circuito activo.duce de forma inmediata a los cuatro biquads necesarios. Debido a la formade los integradores aparece claro que los biquads deben realizar tanto factores de calidad finitos como idealmente infinitos. Dos circuitos adecuadosFig.6.26 Schaumanpara cumplir este papel son los filtros ENF y EPF de la Fig. 6.9.Figura 6.10:Ramas genéricas serie y paralelo de una escalera.Para la rama en serie se obtiene:Fig.6.23 SchaumanFigura 6.9: Biquads de un sólo A.O. adecuados para implementar(6.14).El análisis de estas estructuras y la comparación con las ecuaciones quehan de implementar permite obtener los valores necesarios de los elementos.Finalmente se conectan todos los biquads de la forma adecuada.Hasta ahora hemos visto cómo obtener una realización activa de escaleras LC paso de baja simulando mediante integradores inductores en serie ycondensadores en paralelo. Asimismo se ha extendido este procedimiento afiltros paso de banda mediante la transformación paso de baja a paso de banda. Vamos ahora a extender la técnica de grafos de flujo de señal a escaleras6-11Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI1I o Y ( s ) ( V 1 V 2 ) ------------------ ( V 1 V 2 )11R k sL 1 --------- -----------------------1sĈ 2 sĈ ------3sL4(6.15)Como se ha hecho anteriormente nos interesa convertirlo en una tensiónmultiplicando por una resistencia de escalado. Además ya se ha visto anteriormente que las señales de entrada en cada rama se multiplican en generalpor una constante para optimizar el rango dinámico. Por tanto, multiplicamos las señales de entrada también por una constante:I o R p Y ( s )R p ( aV 1 bV 2 ) ------------------------------------------- ( aV 1 bV 2 )R k sL 111------ -------- ---------------- ----------------------------------------R p R p sĈ 2 R1p sĈ 3 R p ------------------sL 4 R p(6.16)y utilizando la misma nomenclatura anterior para las variables normalizaCurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-12
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENdas:1i o y ( s ) ( av 1 bv 2 ) ----------- ( av1 bv 2 )11r k sl 1 -------- --------------------1sc 2sc 3 ------sl 4(6.17)Fig.6.29 SchaumanDe forma totalmente análoga se obtiene para la asociación de ramas en paralelo:1v o – z ( s ) ( ai 1 bi 2 ) – ----------- ( ai 1 bi 2 ) (6.18)11g k sc 1 ------- --------------------1sl 2sl 3 -------sc 4Figura 6.12: Realización conceptual de las transmitancias z(s) ey(s) de las ecuaciones (6.17) y (6.18).Para realizar las transmitancias z(s) y y(s) con circuitos RC activos consideremos los circuitos genéricos de la Fig. 6.11. El análisis de dichos circui-Gi ViV o ------------------------------------G 3 G c3Y 0 T 0 Y 1 T 1 Y 2 T 2 ------------------------------Y3 T3 Y 4 T4tos conduce a:Vo1------ – -------------------------ViY ( s )RT ( s )Vo1------ -------------------------ViY ( s )RT ( s )(6.19)Para obtener las dos entradas requeridas se añade una segunda tensión de entrada a través de una resistencia Ri2 de forma que en el numerador quede:G i1 V i1 G i2 V i2Fig.6.28 Schauman(6.20)(6.21)Sin más que comparar la ecuación (6.20) con las ecuaciones (6.17) y (6.18)se obtienen los valores de las admitancias y las funciones de transferencia:Figura 6.11: Realización conceptual de una función detransferencia en tensión inversamente proporcional aT(s)Y(s) con un circuito activo.Este mismo concepto puede extenderse a más de una rama utilizando la propiedad de suma del nudo de entrada del A.O. para tratar de implementar lostérminos de las ecuaciones (6.17) y (6.18) tal como se muestra en laY0 G 0T0 1Y 1 sC 1T1 1Y 3 sC 3T3 1Y4 G4Y2 G 21T 4 -------sτ 4(6.22)Todas las funciones de transferencia son bien conexiones directas ( 1),inversores ( 1) o integradores inversores o no inversores ( 1/sτ) y sabemoscomo implementar cada uno de esos bloques. El resultado se muestra en laFig. 6.12.Suponiendo A.O. ideales dichos circuitos implementan:Fig. 6.13.6-13Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI1T 2 -------sτ 26-14
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENR a G i1 V i1 R a G i2 V i2V o ------------G 3 G c3 R aG2 RaR a G 0 sC 1 R a ------------------ --------------------------------------------sC 2 R c2 sC 3 G 4 sC 4 R c4(6.23)e igualando por ejemplo para el caso de una rama en serie con la ecuación(6.16) se obtienen las ecuaciones para los valores de los componentes (suponiendo condensadores iguales):RaR i1 -----aRaR i2 -----bĈ 2R c2 R 2 ------R a R pCFig.6.30 SchaumanRa RpR 0 ------------RkĈ 3R c3 R 3 ------R a R pCL1C 1 ------------Ra RpL 4 Ĉ 3R c4 R 4 ------------2C(6.24)Ra y Rp son parámetros libres y se escogen para obtener valores adecuadosde los elementos. Las tres últimas ecuaciones corresponden a 6 resistenciaspor lo que aún tenemos tres grados de libertad que se pueden utilizar paramaximizar el rango dinámico igualando los niveles de tensión a la salida delos A.O. Recuerda que ya se realizó escalado del SFG para igualar los niveles de tensión a las salidas de las transmitancias z(s) e y(s). Tal como se harealizado anteriormente la tarea a realizar consiste en igualar los máximosde la tensiones de salida de los tres amplificadores operacionales integradores. En ambos circuitos se cumple:G c2V' ----------- V oωC 2Figura 6.13:Realización activa de las ramas (a) serie y (b)paralelo de la escalera. Para referencia debajo de cada unase incluyen las ramas pasivas.El resultado del análisis de este circuito multiplicando además numerador y denominador por una resistencia de escalado Ra es:G c3VoV'' -------ωC 3 – [ G 4 G c4 ( ωC 4 ) ](6.25)G c4G c3 G c4V''' ----------- V'' ------------------------------------------ VoωC 42ω C 3 C 4 – G 4 G c4Si suponemos que los niveles máximos de tensión de cada señal son:6-15Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-16
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCmax V'm' -------------------max V omax V''m'' -------------------max V omax V'''m''' -------------------max V o(6.26)la máxima tensión de Vo, V’ y V’’ se obtiene multiplicando Rc2 y Rc3 por m’y m’’. El escalado de Rc3 hace que V’’’ disminuya por m’’. Por tanto, parahacer igual el máximo de V’’’ es necesario multiplicar Rc4 por m’’’/m’’.ASCFILTROS DE ALTO ORDEN2)Calcular para todo valor de la frecuencia los valores máximos de lasintensidades en los inductores y las tensiones en los condensadores.Esto se utilizará posteriormente para escalar los niveles de tensión.3)Si la escalera empieza por una rama en paralelo realizar una transformación de fuente tal como la que se indica en la Fig. 6.15.También hay que multiplicar R4 por m’’/m’’’ para no desplazar el cero detransmisión. Para mantener la ecuación (6.23) inalterada en este proceso seescalan adecuadamente también R2 y R3:G i1 V i1 G i2 V i2V o ---------------------m'G 2( m''G 3 ) ( G c3 m'' )G 0 sC 1 ----------------------------- ------sC 2 ( m'R c2 )G 4 m''' m''sC 3 ----------------------------------------sC 4 ( R c4 m''' m'' )Fig.6.31 Schauman(6.27)Las ecuaciones anteriores para las resistencias son válidas sin más que incluir los factores de escala en las resistencias.De forma totalmente análoga se obtienen las ecuaciones para una ramaFigura 6.15: La escalera de la Fig. 6.14 después de realizar latransformación de fuente.4)Escalar la escalera pasiva por Rp (por ejemplo 1Ω) para preparar latransformación activa con sólo señales de tensión.5)Construir el grafo de flujo de señal con una transmitancia para cadaen paralelo.rama de la escalera. Utilizar transmitancias inversoras para ramas enparalelo y transmitancias no inversoras para ramas en serie. Esto garan-Procedimiento de diseñotiza que las ganancias de bucle sean negativas y que los errores de faseVamos a resumir los pasos para realizar una simulación mediante grafode flujo de señal de una escalera LC como la de la Fig. 6.14.Fig.6.25 SchaumanFigura 6.14: Ejemplo de escalera LC doblemente terminada enresistencias.1)Utilizar los procedimientos conocidos para obtener la escalera LC apartir de las especificaciones.6-17Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESIse cancelen. Incluir en el SFG los factores de escalado globales computados a través del cociente de dos máximos consecutivos de intensidades de ramas en serie y tensiones de ramas en paralelo. Incluir laganancia global K de la implementación.6)Por inspección de la escalera obtener las expresiones de las transmitancias y escribir las ecuaciones del grafo de flujo de señal escalado.7)Construir los circuitos activos necesarios para realizar cada una de lasramas.8)Escribir por inspección las ecuaciones de las funciones de transferencia de los circuitos activos utilizando una resistencia de normalizaciónRai. Rai puede ser diferente para cada rama y eso permite por ejemploCurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-18
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCutilizar condensadores idénticos en todo el diseño.9)Comparar las ecuaciones de los circuitos activos con las ramas pasivasASCFILTROS DE ALTO ORDENtor resulta más conveniente un GIC de tipo II que no requiere tal apareamiento. Dicho GIC se muestra en la Fig. 6.17.para obtener expresiones de los valores de los elementos.10)Optimizar el rango dinámico igualando los niveles de tensión a laVoA1salida de los A.O. integradores con los niveles igualados anteriormenteVide los circuitos activos que simulan las ramas.11)Realizar la interconexión final de todos los elementos.6.2.2 Sustitución de inductoresC4R3R1R2A2R5Figura 6.17: GIC de tipo II para simulación de inductores.Veamos el diseño óptimo de este GIC. El análisis del circuito de la Fig.Sustitución directaLa segunda posibilidad consiste en partir de una escalera LC y sustituirlos inductores por simulaciones activas tales como giradores o GICs. Tratándose de amplificadores operacionales vimos que los GIC, cuya estructurageneral se muestra en la Fig. 6.16, proporcionaban inductores de alta calidad.6.16 considerando una ganancia genérica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitancia de entrada:Y 4 1 Y 2 Y 4 Y 2 Y 4 1 1 1 ------ 1 ------ ------ ------ 1 ------ ------------- 1 ------ 1 ------ Y 5 A 1 Y 3 Y 5 A 1 A 2 Y 3 Y 5 A2 Y1 Y 3 Y 5Y L ( s ) ------------------- ----------------------------------------Y2Y4Y 5 1 Y 3 Y 5 Y 3 Y 5 1 1 1 ------ 1 ------ ------ ------ 1 ------ ------------- 1 ------ 1 ------ Y 4 A 2 Y 2 Y 4 A 1 A 2 Y 2 Y 4 A1 (6.28)Vamos a utilizar el modelo de un polo:GBA ( s ) -------sFig.4.33 Schauman(6.29)y sustituimos los valores de las admitancias:Figura 6.16: Estructura general de un convertidor de inmitanciasde Antoniou.El GIC de tipo I ya se ha analizado en profundidad en relación con larealización de biquads basados en GICs y se vio que el diseño óptimo dependía de una relación entre resistencias habiendo de estar apareados ambosY1 G1Y2 G 2Y3 G 3Y 4 sC 4Y5 G5El inductor realizado tenía como valor:G2 C4L 0 --------------------G1 G3 G5operacionales (igual GB). Para la simulación de la impedancia de un induc-y la admitancia despreciando los factores de segundo orden:6-19Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI(6.30)(6.31)6-20
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCG2 G2 12 C4 11 s ----------- ------------------ s ------- ----------- ------------------ G 5 GB 2 G 3 GB 1 GB 2 G 3 GB 1 1Y L ( s ) -------- -------------sL 0G3 G3 G5 1 11 ------- ----------- ------------------ s ----------- ------------------ C 4 GB 1 G 2 GB 2 GB 1 G 2 GB 2 (6.32)Haciendo s jω :G2 2 C4 1G2 11 jω ----------- ------------------ – ω ------- ----------- ------------------ G 5 GB 2 G 3 GB 1 GB 2 G 3 GB 1 1Y L ( jω ) ------------ ----------------jωL 0G3 G3 G5 1 11 ------- ----------- ------------------ jω ----------- ------------------ C 4 GB 1 G 2 GB 2 GB 1 G 2 GB 2 ASCFILTROS DE ALTO ORDENωC 4 G 5----------- ----------G 5 ωC 4(6.36)G 5 ωC 4(6.37)que es mínimo paraObviamente esto es función de la frecuencia por lo que sólo se puede igualarpara un valor concreto, por lo que se escoge una frecuencia adecuada ω c .Por ejemplo, para la escalera LC paso de alta de quinto orden de la(6.33)Fig. 6.18a la sustitución resulta en el filtro activo de la Fig. 6.18b. La fre-Si x«1 se puede hacer la aproximación:1------------ 1 – x1 x(6.34)por lo que aplicándolo a (6.33) se obtiene:Fig.6.39 SchaumanG2 G2 12 C4 11Y L ( jω ) ------------ 1 – ω ------- ----------- ------------------ jω ----------- ------------------ G 5 GB 2 G 3 GB 1 GjωL 0GB 23 GB 1 G3 G3 G5 1 11 – ------- ----------- ------------------ – j ω ----------- ------------------ C 4 GB 1 G 2 GB 2 GGB 12 GB 2 G2 G 5 1G3 2 C4 11 ------------ 1 – ω ------- ----------- ------------------ – ------- ----------- ------------------ –G 5 GB 2 G 3 GB 1 C 4 GB 1 G 2 GB 2 jωL 0(6.35)G3G2 11 1– ------ ----------- ------------------ – ----------- ------------------ L 0 GB 1 G 2 GB 2 GB 2 G 3 GB1 Las pérdidas se anulan si hacemos R 2 R 3 . La desviación del valor del inductor se minimizan cuando se hace mínimo(b)Figura 6.18:(a) Escalera LC paso de alta; (b) Simulación activa.cuencia ω c se suele escoger como la frecuencia límite de la banda pasante ola frecuencia a la que resuena la rama correspondiente en el caso que sea finita.6-21Curso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESICurso 2003/04 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI6-22
ASC6.2 Simulación de estructuras escalera LCASCFILTROS DE ALTO ORDENYa que la simulación es de inductores a tierra esta técnica funciona bienSi hacemos Y1 Y5 sC se obtendrá la impedancia necesaria de un FDNR. Elpara filtros paso de alta y para algunos filtros paso de banda que no tienenhecho de utilizar Y1 e Y5 en lugar de otras posibilidades se debe a la minimi-inductores flotantes. Para filtros en que haya inductores flotantes se aplicantransformaciones que los transformen en elementos más fáciles de realizar.zación de desviaciones debido a no idealidades de los amplificadores operacionales. El FDNR está a tierra, de ahí que sea particularmente útil para circuitos con condensadores a tierra ya que la transformación de Bruton con-Transformación de BrutonLa transformación de Bruton es adecuada para filtros LC que tienen únicamente condensadores a tierra. Consiste en escalar las impedancias por 1/ks. Esta transformación no altera la función de transferencia ya que al ser uncociente de tensiones es adimensional y por tanto independiente del escalado de impedancias. Como se indica en la Fig. 6.19 dicha transformacióntransforma resistencias en condensadores, inductores en resistencias y condensadores en resistencias negativas dependientes de la frecuencia (FDNR),también llamados supercondensadores:111Z c ( jω ) ---------- Ẑ c ( jω ) Z c ( jω ) --------- – -------------2jωCjwkω Ckvierte cada condensador en un FDNR.También es necesario diseñar adecuadamente el FDNR de forma que seproduzcan las desviaciones mínimas. El desarrollo es totalmente análogo alanterior para el GIC y se detalla a continuación.Recordemos la expresión para la admitancia de entrada del GIC:Y 4 1 Y 2 Y 4 Y 2 Y 4 1 1 1 ------ 1 ------ ------ ------ 1 ------ -------------
FILTROS DE ALTO ORDEN 6.1 Introducción Después de estudiar cómo realizar funciones de transferencia de se-gundo orden tratamos ahora de revisar métodos de diseño para la reali-zación de funciones de transferencia de orden mayor que 2: (6.1) donde n m y n 2. Supondremos que n y m son pares de forma que numerador y deno-
![C9-armonicos-filtros [Modo de compatibilidad]](/img/51/c9-armonicos-filtros.jpg)
