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MATEMATICA IVFunciones VectorialesDefinición: Una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto denúmeros reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Esto quiere decir quepodemos definir la función como:( )Ejemplo: Si( ( ) ( ) ( ))( )((( )⃗( )⃗( ) ⃗⃗) )entonces las funciones componentes son()()()( ) De acuerdo con la convención usual, el dominio deconsta de todos losvalores depara los cuales la expresión ( ) está definida, por tanto todasexpresiones() están definidas para cuandoPor tanto el dominio es [ ⟩.Observación:( ) ( ( ) ( ) ( ))( )⃗( )⃗( ) ⃗⃗1. Sientonces las ecuaciones paramétricas de esta curva están dadas por:()2. El segmento de línea devectorial( ) (Lic. Ysela Mariell Alva Ventura( )( )se determina mediante la ecuación)
MATEMATICA IVEjemplo: Trace la curva cuya ecuación vectorial es( )⃗⃗⃗⃗Solución:Las ecuaciones paramétricas para estacurvasonPuesto quelacurva debe estar en el cilindro circular. El punto (del punto () se ubica directamente arriba) el cual se desplaza en el sentidocontrario al de las manecillas del reloj alrededordel círculoen el plano. Como, la curva se dirige en espiral hacia arribasiguiendo la forma del cilindro a medida quese incrementa. La curva sellama hélice.La hélice es conocida porque se parece a los resortes. También se encuentra enel modelo del ADN, la estructura de la molécula del ADN es como un par dehélices paralelas pero conectadas.Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
MATEMATICA IVEjemplo: Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas delsegmento rectilíneo que une el punto() con el punto ()Solución:La ecuación vectorial para el segmento rectilíneo viene dado por( )donde(une los puntos( )() yresulta()()()) luego la ecuación vectorial que()()de modo que las ecuaciones paramétricas correspondientes sonSi ( ) ( ( ) ( ) ( ))funciones derivables entonces( )( ( )( )⃗( )( )⃗( )⃗( ))( ) ⃗⃗ donde( ) ⃗⃗( )⃗Ejemplo: Calcule la derivada de( )()⃗Solución:Se deriva cada componente de( )Lic. Ysela Mariell Alva Ventura⃗⃗⃗:⃗()⃗⃗⃗son
MATEMATICA IVObservación:1. Al vectorla curva( ) se le denomina vector tangente a la curva descrita por( ) en el punto siempre que ( ) exista y ( )( ) en el punto2. La recta tangente ase define como la rectaque pasa por y que es paralela al vector tangente ( ) .3. El vector unitario tangente es:( )( ) ( ) 4. Al igual que las funciones de valores reales la segunda derivada de una( )función vectorial es la derivada de es decirEjemplo: Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a lahélice de ecuaciones paramétricasen el punto ()Solución:La ecuación vectorial de la hélice es( )()de modo que( )()El valor del parámetro que corresponde al punto (modo que el vector tangente es () ().) esdeLa recta tangente es la recta que pasa por () y es paralela al vector() de modo que sus ecuaciones paramétricas sonLic. Ysela Mariell Alva Ventura
MATEMATICA IVReglas de Derivación: Suponga queson funciones vectorialesderivables, es un escalar y es una función de valores reales. Entonces:1.[ ( )2.[3.[ ( ) ( )]4.[ ( ) ( )]5.[ ( )6.[ ( ( ))]( )( )]( ))]( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )]( )( )( )( )( )( ) ( ( ))Si ( ) ( ( ) ( ) ( ))funciones integrables entonces( )⃗ ( )⃗ ( )( )⃗( ) ( ) ⃗⃗ donde⃗ ( )son⃗⃗Ejemplo: Calcule la integral de( )(Lic. Ysela Mariell Alva Ventura)⃗⃗⃗⃗en el intervalo []
MATEMATICA IVSolución:Se integra cada componente de( ) ⃗( ) : ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AUTOEVALUACIONI. Calcule la derivada de las funciones vectoriales1.2.3.4.II.(((())))(() ⃗)) ⃗⃗⃗(⃗⃗Encuentre el vector unitario tangente⃗⃗( ) en el punto con el valordado del parámetro1.2.3.4.III.(((())))Si ( )(( ))⃗⃗⃗(Lic. Ysela Mariell Alva Ventura⃗⃗⃗) determine⃗⃗( ) ( )( )( )( )
MATEMATICA IVIV.Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curvade ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificadoV.( 1.2.3.4.()( )())Evalué las integrales⃗1. 3. ⃗⃗⃗⃗2. ⃗4. Lic. Ysela Mariell Alva Ventura⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Definición: Una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Esto quiere decir que podemos definir la función como: ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ Ejemplo: Si ( ) ( ( ) ) entonces las funciones componentes son
