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CORPORACION UNIF ICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUNDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASASIGNATURA CALCULO DIFERENCIALDOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHAUNIDAD Nº 1: FUNCIONES REALES1. CONCEPTO DE FUNC ION.El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas y es útil en la explicación,descripción y predicción del comportamiento de los fenómenos delmundo real,En términos generales una función es una correspondencia entre objetos; esta correspondencia sepuede expresar a través de una gráfica, un enunciado verbal, una tabla de valores o una expresiónalgebraicaOtra manera de definir una función es a través de una correspondencia que se establece entre dosconjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto o dominio, le asigna un único elemento en elsegundo conjunto o codominio.Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmentecuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entreun conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamenteo dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio condos elementos del codominioEs una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio)de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.2. FUNC IÓN REAL DE VARIABLE REALSe llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto de los númerosreales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de R le corresponde uno ysólo un elemento y de R:f :RRy en cuanto a los elementosxf ( x)yIm portante: Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:El conjunto inicial o dominio de la función.El conjunto final conocido como rango o imagen de la función.La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento delconjunto imagenEn una función real se pueden identificar plenamente dos variables: la variable independiente (x) y ladependiente (y), estableciéndose la afirmación de que y depende de x o simplemente y es función de xa través de la expresión matemática yf (x) ; con base a ellas se definen el dominio y el rango.En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo:Oferta - DemandaImpuesto - Valor de la MercancíaHoras trabajadas – salarioDistancia – TiempoDedicación – RendimientoMantenimiento – Tiempo de vida3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNC ION.Dom inio de una función: son todos los posibles valores que puede tomar la variableindependiente (x). se simboliza Dom fRango o conjunto de im ágenes: son todos los posibles valores que puede alcanzar la variabledependiente (y). se simboliza Rnf.Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de AlimentosPágina 1

3. 1 COMO ENCONTRAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓNPara encontrar el dominio se despeja la variable dependiente (y) y se analizan laslimitantes que pueda presentar la variable independiente xPara encontrar el conjunto de imágenes se despeja la variable independiente (x) y seanalizan las limitantes que pueda presentar la variable dependiente y.Se presentan tres situaciones al momento de efectuar los despejes1. Si al despejar las variables se obtienen funciones polinómicas no existe ningún tipode restricciones para el dominio o el rango2. Si al despejar las variables se obtienen variables en el denominador, se hace esteigual a cero para y se resuelve la ecuación con el fin de determinar los valoresque restringen al dominio o al rango3. Si al despejar las variables se obtienen expresiones radicales, se hace la cantidad subradical mayorque cero y resuelve la inecuación para encontrar los valores restringidosEJEMPLOS: encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones realesa. y2xb. y13x2x141c. y4xSolución.a. y2x1Dom inioComo la función corresponde a la función linealy 2x 1 , ya la variable dependiente y estádespejada y si se analiza x, puede tomar cualquiervalor en el conjunto de los reales, luegoDomfx RRangoPara encontrar rango se despeja la variableindependiente x de y2x 1x2x3x2x12yR14Dom iniopara encontrar el dominio ya se encuentradespejada la variable y, pero se observa que e esuna función racional, porque hay variables en eldenominador, por lo que se hace este igual a cero,esdecir2x4x42, con lo que DomfxR/x22xyx1Como se observa y puede tomar cualquier valorreal y no se presentan restricciones, luegoRnfb. yy40xRangoPara encontrar el rango se despeja la variable x apartir de yy( 2 x4)2 xy23x 12x 43x 13x1transponiendo términos2 xy4y4y3xx ( 2y3)114y1 4y2y 3xComo se observa hay variablesendenominador y se hace este igual a cero, o sea2y2y3que el rango Rnfy30yR/y32con lo321c. y4xCompilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de AlimentoselPágina 2

Dom iniopara encontrar el dominio se observa que existeuna expresión radical en el denominador, con loque se hace este mayor que cero, es decir-4x 4Luego el dominio Domfx R/x4x0-xRangoPara hallar el rango se despeja la variable x apartir de1y444y 4xx1xxy214x1y,14y2como se observa y no puede ser igual a cero porlo que Rnfy R/y 0ACTIVIDAD DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N 1Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones1. y5. yx22. y32x26. y42123x12919. yx3x10. yx3. y2x4.11yx97. y4 x 155x 5y8.x32x11x244. CLASIFICACION DE FUNCIONES4.1 FUNCION CONSTANTE:4321-4 -3 -2 -1-1Una función constante esuna relación que asigna a todos loselementos del dominio una misma imagen, matemáticamente se definecomo f(x) k, don de k es un número real. La gráfica descrita por lafunción lineal es una línea recta paralela al eje de las x; así por ejemploal graficar a la función y 3, se obtiene la recta mostrada en la gráficaLa tabla de valores seríayy 3x1 2 3 4 5-2-3-4-5xf(x)-13032343El dominio de la funciónconstante son todos los números reales y el rango es un conjuntounitario conformado por el elemento imagen de todos los elementos deldominio, es decir, el elemento k.4.2. FUNCION LINEAL:4321Una función es lineal es aquella cuya gráfica es una línea recta, surepresentación matemática es y mx b , donde m es la pendiente de larecta y b es el intercepto con el eje de las y si la grafica pasa por el origen, sedice que la función lineal es afínAl graficar la función y 2x 1, se obtiene una línea recta que no pasa por elorigen. Los valores serían-1023x-1157f(x)-4 -3 -2 -1-1Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos-2-3-4Página 3-5y 2x 11 2 3 4 5

Tanto el dominio como el rango de la función lineal son los números realesLa ecuación general de la recta es de la forma AxLa ecuación explícita o canónica es ymxByC0bEjem plo: La ecuación y 4x 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica queinterceptará al eje y en el punto (0,7).Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x 1 ,y1) y (x2,y2 ), la pendiente queda determinada por elcuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisasde los mismos puntos, o sea my2x2y1x1También puede expresarse m tanθ, donde θ es el ángulo de inclinación de la rectaEn la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:ABmy bCBEjemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y 3 0?Soluciónm462336b124.3. FUNCION CUADRATICAUna función definida def (x)ax 2bxR en R , cuyos valores están dados por un polinomio de la formac donde a, b, c є R y a 0, toma el nombre de función polinomial de segundo grado osimplemente función cuadrática.FORMAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICAForm as incom pletas: f ( x )ax 2f (x)ax 2bxf (x)ax 2cForm a com pleta: f ( x )ax2bxcANALISIS DE LA FUNCION CUADRATICAUn análisis gráfico de cada una de las formas de la funcióncuadrática, permite apreciar las características especiales quetienen. Recuérdese que para graficar funciones se elabora una tablade valores que satisfaga la función dada y luego se ubican dichosvalores en un sistema de coordenadas para trazar el gráficocorrespondiente.GRAFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMAf (x)ax 2bxcLas gráficas de las funciones f ( x )ax 2bxc , es siempreuna parábola que cumple con las siguientes características.Su eje de simetría es paralelo al eje yCompilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de AlimentosPágina 4

La abertura de sus ramas la determinará el coeficiente a, Si a 0, la curva abre haciaarriba, si a 0, la curva abre hacia abajoEl vértice de la parábola es un punto de la forma (h,k)Ejem plo: graficar f ( x )2x 23x3 y g( x )2x 23x3SoluciónSe elabora la tabla de valores para cada función y se dibujan sus respectivas gráficas en un sistema decoordenadas cartesianasf (x)xf(x)2x 2-217g( x )Xg(x)-2-173x-18303122x 2-1-83x0-32531-22-54.4. FUNCIONES POLINÓMICASUna función polinómica es aquella de la formaf (x)an x nan 1 x n 1.a1 xa0 , conan0y las a son constantes reales. El dominio de una función polinómica es el conjunto de los reales y el rangoserá un intervalo de R. La gráfica de un polinomio es una curva suave y continua543214321-4 -3 -2 -1-11 2 3 4 5-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5-2-3-4-5 34y x43211 2 3 4 5-4 -3 -2 -1-11 2 3 4 5-2-3-4-53y x -2x -3x 152y x -3x4.5. FUNCIONES RACIONALES4321-4 -3 -2 -1-1-2-3-4-54.6Una función f es una función racional sif (x)P( x ), donde P(x) yQ( x )Q(x) son polinomios y Q(x) es diferente de cero. El dominio de f(x) sontodos los números reales excepto los números que hacen cero aldenominador.1 2 3 4 5 Lasfunciones polinómicas presentan asíntotas, que son rectascorrespondientes a valores en los cuales la función se aproxima, pero noestá definida, observemos por ejemplo al graficar la funciónf (x)xx22x, se observan varias6asíntotasFUNCION EXPONENC IALCompilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de AlimentosPágina 5

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace correspon der la potenciase llama función exponencial de base a y exponente x. Se representa f ( x )Ejem plo: graficar f ( x )axax2x ySoluciónxf(x)-3-2-111184201122438FUNCION EXPONENC IAL DE BASEeLa función exponente natural es la función definida por: f ( x )exEn donde e es un número irracional (llamado así en honor al matemático y físico suizo Leonhard Euler)que puede expresarse con cualquier grado de exactitud usando unaserie infinita. Con siete cifras decimales, el valor de e puedeaproximarse a 2,7182818.la función es siempre creciente y el eje x es una asíntota hacíala izquierdaLa tabla siguiente muestra algunos valores para la función 2-0,50,6PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIALxLos valores de f ( x ) a son todos positivos, ya que la gráfica siempre se encuentra situada porencima del eje xLos puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.Es inyectivaa 1 (ninguna imagen tiene más de un original).Creciente si a 1 ( es decir la curva sube de izquierda a derecha)Decreciente si a 1.Las curvas y4.7axy1xason simétricas respecto del eje Y.FUNCIONES LOGARITMICASLa función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Se define comoy f ( x ) log a x , a 0 y a 1.yDonde loga x indica el único exponente y, tal que aEjem plo: Graficar f ( x )xlog2 xSoluciónSe elabora una tabla de valoresCompilado por Rosmiro Fuentes Rocha; Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de AlimentosPágina 6