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Unidad 6: Funciones algebraicas.6.1 Función, regla de correspondencia, valor, dominio, contradominio y rango.6.1.1 Función.Es el conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥, 𝑦) en los que el primer elemento esdiferente en todos y cada uno de los pares ordenados.Ejemplos:1) 𝐴 {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)} representa una función, ya que el primer elemento decada ordenado es diferente a los otros.2) 𝐵 {(1,1), (1, 1), (4,2), (4, 2)} no representa una función, ya que se repite elprimer elemento en ciertos pares ordenados.6.1.2 Regla de correspondencia.Es la expresión que relaciona la variable dependiente con la variable independiente y se denotapor:𝑦 𝑓(𝑥), se lee (𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥)Donde:𝑥: variable independiente𝑦: variable dependiente𝑓(𝑥): regla de correspondenciaEjemplos:1) 𝑓(𝑥) 2𝑥 113) 𝑦 1 𝑥 22) 𝑓(𝑥) 𝑥6.1.3 Valor de una función.Se obtiene al sustituir un cierto valor de 𝑥 en la función 𝑓(𝑥).Ejemplos:14) 𝑦 𝑥 1

1.- Si 𝑓(𝑥) 𝑥 2 3, el valor de f(3) es igual a:a) 3b) 0c) 9d) 6Solución:𝑓(3) (3)2 3 9 3 62.- Si 𝑓(𝑥) 𝑥 1𝑥 1, el valor de 𝑓( 2) es:a) 3b)c) 3131d) 3Solución:𝑓( 2) 2 1 1 1 2 1 3 36.1.4 Dominio de una función.Es el conjunto de todos los valores de 𝑥 admisibles para una función.6.1.5 Contradominio.Es el conjunto de todos los valores de 𝑦 admisibles para una función.6.1.6 Rango o imagen.Es el conjunto de todos los valores resultantes de 𝑦 al sustituir cada uno de los elementos deldominio en la función.Ejemplo:1.- Si 𝑓: 𝐷 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝐷 {1,3} 𝑦 𝐶 {2, 4, 6}, 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑥 1. ¿Qué conjunto representa elrango de la función?a) 𝑅 {2,4}b) 𝑅 {2}c) 𝑅 {2, 4, 6}2d) 𝑅 {4}

Solución: El dominio de la función es el conjunto 𝐷 y el contradominio es el conjunto 𝐶.El rango se conforma de los elementos del contradominio, que se obtienen al sustituirlos elementos del dominio en la función: 𝑓(𝑥) 𝑥 1𝑓(1) 1 1 2;𝑓(3) 3 1 46.2 Función algebraica.Es aquella función formada por operaciones algebraicas sobre la variable 𝑥. Estas operacionesson adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radiación.6.2.1 Clasificación de las funciones algebraicas.6.2.1.1 Función constante.Es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑐, y representa todos los puntos (𝑥, 𝑐), su dominio son los reales y surango es {𝑐}.Gráfica:YDominio (- , )f(x) cRango {c}X6.2.1.2 Función lineal.Es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏, su gráfica es una línea recta inclinada, el exponente de 𝑥 es launidad.3

Gráfica:YDominio (- , )f(x) ax bRango {- , }X6.2.1.3 Función cuadrática.Si a 0Si a 0YkV (h, k)V (h, k)h YkhXDominio RDominio RRango {k, }Rango {- , k}Para obtener los valores de (ℎ, 𝑘) se aplican las siguientes fórmulas:ℎ 𝑏,2𝑎𝑘 6.2.1.3 Función cuadrática.Es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 3 𝑏𝑥 2 𝑐𝑥 𝑑44𝑎𝑐 𝑏 24𝑎X

Gráfica:Dominio (- , ) RYRango {- , } RXEjemplos:1.- Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) 3, son:a) {(3, 2), (3, 3), (3, 4)}c) {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}b) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}d) {( 3, 1), ( 2, 3), ( 1, 4)}Solución: Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) 3, son todos aquellos cuya ordenada es3, significa que son la forma (𝑥, 3) para cualquier valor de 𝑥, entonces, el conjunto es:{(1, 3), (2, 3), (3, 3)}2.- Representa una función constante:a) 𝑓(𝑥) 𝜋b) 𝑓(𝑥) 𝑥 2c) 𝑓(𝑥) 𝑥 21d) 𝑓(𝑥) 𝑥Solución: Una función constante es aquella regla de correspondencia que a cualquier valor de 𝑥 leasigna el mismo valor:𝑓(𝑥) 𝜋2.- Representa una función lineal:a) 𝑓(𝑥) 𝑥b) 𝑓(𝑥) 4c) 𝑓(𝑥) 5𝑥 1𝑥d) 𝑓(𝑥) 3𝑥

Solución: Una función lineal es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏, donde el exponente de 𝑥 es la unidady sólo se encuentra como numerador:𝑓(𝑥) 𝑥4.- El vértice de una parábola 𝑓(𝑥) 𝑥 2 4𝑥 8 es:a) 𝑉(2, 4)b) 𝑉( 2, 4)c) 𝑉(4, 2)d) 𝑉(4, 2)Solución:𝑏 El vértice de la parábola se define 𝑉 ( 2𝑎 , 8.Por tanto:𝑉 ( 4𝑎𝑐 𝑏 2)4𝑎y los valores son: 𝑎 1, 𝑏 4 𝑦 𝑐 𝑏 4𝑎𝑐 𝑏 24 4(1)(8) (4)24 32 16,,) 𝑉 ( 2, 4)) 𝑉 ( ) 𝑉 ( ,2𝑎4𝑎2(1)4(1)245.- El rango de la función 𝑓(𝑥) 𝑥 2 𝑥 6 es:a) [ 23, )4b) ( , )c) ( , 23)4d) ( , 23]4Solución: El coeficiente de 𝑥 2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y su rango está dado por:( , 𝑘] 𝑘 4𝑎𝑐 𝑏 24𝑎Se obtiene el valor de 𝑘:𝑘 con4𝑎𝑐 𝑏 2 4( 1)( 6) (1)2 24 1 2323 4𝑎4( 1) 4 44Por consiguiente, el rango es el intervalo:( , 𝑘] ( , 623]4

6.2.1.4 Función racional.ℎ(𝑥)Es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) con 𝑔(𝑥) 0, si 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥𝑛 son los valores para los cuales𝑔(𝑥1 ) 𝑔(𝑥2 ) . . . 𝑔(𝑥𝑛 ) 0, entonces el dominio de 𝑓(𝑥) se define como:𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥𝑛 }Donde a 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥n se les denomina asíntotas verticales.Asíntota:Es una recta o curva cuya distancia a la función 𝑦 𝑓(𝑥) se aproxima a cero, esto es, la asíntotase acerca a la función, pero nunca la toca.Gráfica:As. verticalYQ (x, y)As. horizontaldy bLy f(x)x aXEjemplos:𝑥 21.- La asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥) 𝑥 1 es:a) 𝑥 2b) 𝑥 1c) 𝑥 1d) 𝑥 2Solución: Se iguala el denominador con cero y se despeja a la variable 𝑥 para obtener lasecuaciones de las asíntotas verticales:𝑥 1 0 𝑥 1La función sólo tiene una asíntota vertical en 𝑥 1.7

12.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) 𝑥 2 5𝑥 6 es:a) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 3, 2}c) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 3, 2}b) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 6, 1}d) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 1, 6}Solución: El dominio de la función se obtiene a partir de sus asíntotas verticales, entonces:𝑥 2 5𝑥 6 0 (𝑥 3)(𝑥 2) 0𝑥 3 0, 𝑥 2 0𝑥 3,𝑥 2 Por consiguiente, el dominio es:𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 3, 2}6.2.1.5 Función raíz cuadrada.Es de la forma 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , y su dominio es 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 0}. Nota: la resolución de una desigualdad se desarrolla en la unidad 4.Ejemplos:1.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) 𝑥 2 es:a) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 2}c) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 2}b) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 2}d) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 2}Solución: Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad 𝑥 2 0𝑥 2 0 𝑥 2Por consiguiente:𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑔(𝑥) 2}8

2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) 𝑥 2 3𝑥 10 es:a) [ 5, 2]b) ( , 2] [5, )c) ( 5, 2)d) ( , 5] [2, )Solución: Se resuelve la desigualdad 𝑥 2 3𝑥 10 0, obteniendo las soluciones de la ecuación𝑥 2 3𝑥 10 0:𝑥 2 3𝑥 10 0(𝑥 5)(𝑥 2) 0 𝑥 5,𝑥 2La solución es:𝑥 5o𝑥 2 es equivalente a ( , 5] [2, )3.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) 9 4𝑥 2 es:33a) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 2 𝑥3b) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 2 𝑥}o 𝑥 2}33c) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 𝑥 2 }3d) 𝐷𝑓 {𝑥 𝑅 / 2 𝑥 2 }Solución: Se resuelve la desigualdad 9 4𝑥 2 0, la cual se multiplica por ( 1) para convertir enpositivo el término cuadrático:9 4𝑥 2 0 Se obtienen las raíces de 9 4𝑥 2 04𝑥 2 9 0 3 4𝑥 2 9 𝑥2 943 Que son 𝑥 2 𝑦 𝑥 2 , por consiguiente, el dominio es:33 𝑥 22o93 3[ , ]2 2𝑥 32

6.2.1.5 Funciones implícitas y explícitas. En una función explícita una variable se escribe en términos de la otra.Ejemplos:1) 𝑦 3𝑥 5 𝑥 12) 𝑦 𝑥 13) 𝑥 𝑦 2 3𝑦En una función implícita la relación se expresa en términos de 𝑥 y 𝑦.Ejemplos:1) 𝑥 2 𝑦 2 12) 𝑥𝑦 43) 𝑥 2 𝑥𝑦 2𝑦 2 06.2.1.6 Función creciente. Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo, si y sólo si para todo𝑥2 𝑥1 se cumple que 𝑓(𝑥2 ) 𝑓(𝑥1 ); esto es, una función es creciente si al aumentar𝑥 también 𝑓(𝑥) aumenta.Ejemplo:Determinar si la función 𝑓(𝑥) 2𝑥 5 es creciente.Solución: Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 2 y 𝑥 4:Si 𝑥 2, 𝑓(2) 2(2) 5 9Si 𝑥 4, 𝑓(4) 2(4) 5 1310

Se observa que al aumentar los valores de 𝑥 también aumentan los valores de 𝑓(𝑥), portanto, la función 𝑓(𝑥) 2𝑥 5 es creciente.6.2.1.7 Función decreciente. Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, paratodo 𝑥1 𝑥2 se cumple que 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ); esto es, una función es decreciente si alaumentar 𝑥 𝑓(𝑥) disminuye.Ejemplo:Determinar si la función 𝑓(𝑥) 1𝑥es decreciente.Solución: Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 1 y 𝑥 2, entonces:Si 𝑥 1, 𝑓(1) 1 11Si 𝑥 2, 𝑓(2) 12Se observa que mientras los valores de 𝑥 aumentan, los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen, porconsiguiente, la función es decreciente.6.2.1.8 Funciones continuas y discontinuas. Una función 𝑦 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 𝑥0 , si 𝑓(𝑥0 ) está definida.11

Una función 𝑦 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 𝑥0 , si 𝑓(𝑥0 ) no está definida; esto es, se𝑐0obtiene una expresión de la forma 0 o 0.YYy f(x)y f(x)x0Xx0XEjemplos:41.- ¿Para qué valor de 𝑥 es discontinua la función 𝑓(𝑥) 𝑥 3?a) 𝑥 3b) 𝑥 2c) 𝑥 3d) 𝑥 2Solución: La función es discontinua en un valor de 𝑥 si al sustituirlo en la función se obtienen𝑐0expresiones como: 0 o 0.Si 𝑥 3, 𝑓(3) 44 2 , en este punto es continua 𝑓(𝑥).3 3 6 3Si 𝑥 2, 𝑓( 2) 44 4, en este punto es continua 𝑓(𝑥). 2 3 1Si 𝑥 3, 𝑓( 3) 44 , en este punto es discontinua 𝑓(𝑥). 3 3 0Si 𝑥 2, 𝑓(2) 44 2, en este punto es continua 𝑓(𝑥).2 3 212

𝑥 22.- La función 𝑓(𝑥) 𝑥 2 4 es discontinua en:a) 𝑥 4b) 𝑥 2c) 𝑥 1d) 𝑥 3Solución:Si 𝑥 4, 𝑓(2) 4 2221 , en este punto es continua 𝑓(𝑥).2(4) 4 16 4 12 6Si 𝑥 2, 𝑓(2) Si 𝑥 1, 𝑓( 1) 2 200 , en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).2(2) 4 4 4 0 1 2 3 3 1, en este punto es continua 𝑓(𝑥).2( 1) 4 1 4 3Si 𝑥 3, 𝑓(3) 3 211 , en este punto es continua 𝑓(𝑥).2(3) 4 9 4 53.- ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en 𝑥 1?11a) 𝑓(𝑥) 𝑥 2 1𝑥 1b) 𝑔(𝑥) 𝑥 2 5𝑥 4c) ℎ(𝑥) 𝑥 11d) 𝑤(𝑥) 𝑥 2 4Solución: Se sustituye 𝑥 1 en cada una de las funciones:𝑓( 1) 𝑔( 1) 11 0, la función es discontinua en 𝑥 1.2( 1) 1 1111 , la función es discontinua en 𝑥 1.( 1)2 5( 1) 4 1 5 4 0ℎ( 1) 1 12 , la función es discontinua en 𝑥 1. 1 10𝑤( 1) 11 , la función es continua en 𝑥 1.2( 1) 4 36.2.1.9 Identificación de una función mediante su gráfica.Para identificar gráficamente a una función de una relación, se traza una recta vertical sobre lagráfica. Si interseca en un punto a la gráfica, entonces representa una función.13

Ejemplo:La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca 2puntos a la curva. Si interseca en más de un punto a la gráfica, entonces representa una relación.Ejemplo:La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca en 2puntos a la curva.6.2 Álgebra de funciones.Sean las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), entonces:Suma de funciones: Se denota 𝑓 𝑔 y se define por:(𝑓 𝑔)(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)14