Transcription
KALKULUS VISUAL BAGIAN IIDIKTAT PENDUKUNG KULIAHMA1201 MATEMATIKA 2APublic domain, tidak untuk komersialPenyusun:Drs. Warsoma Djohan M.Si.Warsoma DjohanIrisan Kerucut, property of WD2011Program Studi Matematika, Fakultas MIPAInstitut Teknologi BandungJanuari 2015
Kata PengantarMatematika merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua Program Studi dan Sekolah di Institut Teknologi Bandung. Berdasarkan kebutuhan yangberbeda pada berbagai Program Studi yang ada, mulai tahun ajaran 2004 perkuliahan Matematika dibagi menjadi dua macam yaitu Matematika A (4 kredit) danMatematika B (3 kredit). Perlu diperhatikan, materi Matematika 2B bukan merupakan subset dari materi Matematika 2A. Untuk itu, penulis mengembangakn diktatuntuk masing-masing Matematika 2A dan 2B secara terpisah.Diktat ini mulai disusun sejak tahun 2004. Pada awalnya materi disusun dalam bentukbeningan/transparency. Tujuannya adalah untuk meningkatkan proses pembelajaran,dengan cara menyediakan bahan kuliah yang berisi ringkasan teori dan soal-soal latihanterpilih. Dengan adanya beningan ini diharapkan proses pencatatan yang banyak dilakukan pada perkuliahan konvensional bisa dikurangi. Dengan demikian, waktu yangtersedia dapat digunakan dengan lebih efektif untuk kegiatan ceramah dan diskusi.Diktat ini selalu direvisi secara kontinu dan disesuaikan dengan kebutuhan yang ada.Perkembangan peralatan multimedia saat ini memungkinkan konstruksi tampilan konsepkonsep matematika secara visual melalui bantuan komputer. Hal ini akan sangat membantu proses belajar mahasiswa, karena konsep-konsep yang rumit dan abstrak dapatdiperlihatkan secara kongkrit melalui program animasi. Sejalan dengan perubahan ini,mulai tahun ajaran 2011 judul diktat ini diubah menjadi ”Kalkulus Visual”. Melaluimekanisme ini diharapkan para mahasiswa dapat memahami konsep-konsep yang adadengan lebih cepat dan lebih mudah. Pada diktat ini, bagian yang memuat animasiditandai dengan ikon berbentuk atau Animation . Cara menampilkan animasinyaadalah dengan meng-klik tombol mouse pada ikon tersebut.Untuk dapat memanfaatkan diktat ini secara efektif diperlukan beberapa perangkatlunak pendukung, yaitu: Adobe Acrobat Reader versi 9 atau lebih baru dan QuickTime player. Semua perangkat lunak tersebut bersifat public domain/free dan dapatdiunduh/didownload via internet. Untuk memudahkan, penulis telah menempatkandiktat kuliah beserta perangkat lunak pendukung tersebut pada ftp server denganalamat ftp://167.205.6.17 atau ftp://ftp2.math.itb.ac.id . Gunakan username: anonymous, password: anonymous. Diktat Matematika 2A dan Matematika2B, masing-masing tersimpan di dalam folder BahanKuliah/Warsoma/2015 MA1201Matematika 2A dan BahanKuliah/Warsoma/2015 MA1202 KMatematika 2B , sedangkan perangkat pendukungnya berada dalam folderi
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB1BahanKuliah/Warsoma/Software Pendukung . Tatacara instalasi dan penggunaandiktat ini pada komputer anda dijelaskan pada file —readme1st.doc.Catatan: Sesuai dengan kebijakan dari pihak pengelola internet di ITB, semua ftp-server diITB hanya dapat diakses dari dalam kampus ITB. Akses dari luar kampus ITB masih dimungkinkan melalui fasilitas Virtual PrivateNetwork (VPN). Akses ini hanya dapat digunakan oleh mereka yang mempunyaiaccount internet di ITB. Untuk dapat memastikan tampilan animasi yang ada berjalan dengan benar, semua file PDF yang ada harap dibuka menggunakan Adobe Acrobat Reader. Sejauhini kelengkapan yang ada di PDF reader yang lain belum sepenuhnya mendukungfasilitas yang diperlukan oleh diktat ini.Sebagai penutup, Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan Dosen yangtelah memberikan masukan terhadap pengembangan diktat ini, diantaranya kepadaDr. Wono Setya Budhi, Prof. Dr. Hendra Gunawan, Prof. Dr. Edy Tri Baskoro,Dr. Sri Redjeki, serta Drs Koko Martono M.S. Semoga diktat ini dapat berguna untuk meningkatkan kualitas pembelajaran Matematika khusunya bidang Kalkulus.Januari 2015,Penyusun,Warsoma DjohanURL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB2Teknik PengintegralanSejauh ini, kita telah membahas fungsi-fungsi elementer dengan cukuplengkap. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari fungsi aljabar, bentuk akardan harga mutlak, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri,fungsi invers trigonometri, fungsi hiperbol dengan inversnya, dan kombinasi antara fungsi-fungsi tersebut.Proses untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi tersebut ’relatif mudah’karena telah ada aturan yang lengkap untuk mengevaluasinya. Berlainandengan menghitung turunan, proses sebaliknya, yaitu mencari anti turunan/ integral dari sebuah fungsi merupakan proses yang jauh lebih sukar. Be2berapa fungsi seperti f (x) ex bahkan tidak memiliki anti turunan.Pada pembahasan sebelumnya telah diperkenalkan teknik substitusi untukmencari anti turunan. Teknik ini hanya dapat diterapkan pada sekelompokfungsi tertentu. Pada bagian ini akan dikembangkan beberapa teknik baruuntuk menentukan anti turunan dari suatu fungsi.Berikut ini disajikan rumus-rumus dasar anti turunan yang diperoleh langsung dari pembahasan konsep turunan pada bab-bab sebelumnya.1.Z3.Z5.Z7.Z9.Zk du ku ceu du eu csin u du cos u csec2 u du tan u csec u tan u du sec u cURL:ftp2.math.itb.ac.idur 1r 12.Zu du 4.Zau du au cln a6.Zcos u du sin u c8.Zcsc2 u du cot u c10.rZ cln u cr 6 1r 1a 6 1, a 0csc u cot u du csc u cWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB11.Ztan u du ln cos u c3 du 1 u 13. c sinaa2 u2 Zdu1 u 15. sec 1 caau u2 a2Z12.Zcot u du ln sin u c14.Z du1 1 u tan cu2 a2aaPengintegralan dengan Metode SubstitusiPada metode ini, sebagian suku dari integran (fungsi yang diintegralkan)disubstitusikan menjadi variabel baru. Substitusi ini diatur agar bentuk integral semula berubah menjadi salah satu dari 15 bentuk integral di atas.Selanjutnya setelah diperoleh hasil integralnya, kita kembalikan variabelbaru tersebut ke variabel semula.Contoh-Contoh:Zxdx 1.cos2(x2)Z22. dx 5 9x23.Z6e1/xdx x24.Zexdx 4 9e2x5.Z 3x x4 11 dx URL:ftp2.math.itb.ac.id6.Zatan xdx cos2 x7.Z7dx x2 6x 258.Zx2 1dx x 29.Zsec x dx 10.Zcsc x dx Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB4Pengintegralan Fungsi TrigonometriPada pasal ini akan dibahas integral dari sinn x dan cosn x, n 2. Untukmendapatkan metodenya secara umum, perhatikanlah ilustrasi berikut ini:ZZTentukan (a.) sin2 x dx (b.) sin3 x dx Dari dua ilustrasi di atas, terlihat bahwa penyelesaian integral tersebutuntuk pangkat genap dan ganjil caranya berbeda. Berikut ini disajikanprosedurnya secara umum:ZZBentuk sinn x dx dancosn x dx dengan n genapPangkat n direduksi melalui hubungan sebagai berikut: n2n 1 1 sinn x sin2 x 2 cos(2x)2 2 n2n 11 cosn x cos2 x 2 cos(2x)2 2ZZBentuk sinn x dx dancosn x dx dengan n ganjilZZZ sinn x dx sinn 1 x sin x dx sinn 1 x d(cos x) n 1 n 1lalu tuliskan sinn 1 x sin2 x 2 1 cos2 x 2ZZZ cosn x dx cosn 1 x cos x dx cosn 1 x d(sin x)lalu tuliskan cosn 12x cos x n 12 1 sin xContoh: Tentukanintegral-integralZberikutZ(a.) sin4 x dx (b.) cos5 x dx URL:ftp2.math.itb.ac.id2 n 12(c.)Zcos6 x dx Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBBentukZ5sinm x cosn x dxZ Bila m ganjil, lakukan substitusi seperti pada pengintegralan sinm x dxZdengan m ganjil, sedangkan faktor cosn x dx tidak dubah.Z Bila n ganjil, lakukan substitusi seperti pada pengintegralan cosn x dxZdengan n ganjil, sedangkan faktor sinm x dx tidak dubah. Bila m dan n keduanya genap,reduksilahZ kedua pangkat tersebutZseperti pada pengintegralan sinn x dx dan cosm x dx untuk pangkatgenap.ZZContoh: Tentukan (a) sin4 x cos3 x dx (b) sin2 x cos4 x dx BentukZtann x dx danZcotn x dxUntuk n 1 hasilnya sudah dicantumkan pada tabel di awal bab ini. Saatini akan dibahas untuk n N dengan n 2. Secara umum, metodepenyelesaiannya adalah sebagai berikut:nn 22n 22 x sec x 1 Tuliskan cotn x cotn 2 x cot2 x cotn 2 x csc2 x 1ZZContoh: Tentukan (a.) tan4 x dx (b.) cot3 x dx Tuliskan tan x tanURL:ftp2.math.itb.ac.idx tan x tanWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBBentukZ6tanm x secn x dx danZcotm x cscn x dx,n genap Tuliskan tanm x secn x tanm x secn 2 x sec2 x danubah secn 2 x menjadi tann 2 x lewat hubungan 1 tan2 x sec2 x. Tuliskan cotm x cscn x cotm x cscn 2 x csc2 x danubah cscn 2 x menjadi cotn 2 x lewat hubungan 1 cot2 x csc2 x.ZContoh: Tentukan tan3/2 x sec4 x dx BentukZtanm x secn x dx danZcotm x cscn x dx,m ganjil Tuliskan tanm x secn x tanm 1 x secn 1 x sec x tan x Tuliskan cotm x cscn x cotm 1 x cscn 1 x csc x cot xZContoh: Tentukan (a.) tan3 x sec 1/2 x dx Zsin(mx) cos(nx) dx,ZZsin(mx) sin(nx) dx,cos(mx) cos(nx) dxKetiga bentuk di atas diselesaikan dengan memanfaatkan identitas berikut: sin(mx) cos(nx) 21 [ sin(m n)x sin(m n)x ] sin(mx) sin(nx) 21 [ cos(m n)x cos(m n)x ] cos(mx) cos(nx) 21 [ cos(m n)x cos(m n)x ]ZContoh: Tentukan (a.) sin(2x) cos(3x) dx (b.)Zπsin(mx) sin(nx) dx πURL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB7Substitusi yang MerasionalkanMetode ini membahas integran yang memuat tanda akar. Sustitusi rasionaladalah substitusi yang dilakukan dengan tujuan menghilangkan tanda akartersebut. Pada pasal ini fungsi yang berada di bawah tanda akar dibatasipada fungsi linear dan fungsi kuadrat.BentukpnBentukp(ax b)m, gunakan substitusi (ax b) unZZZ p dx (b) x 3 x 4 dx (c) x 5 (x 1)2 dx Contoh: (a)x xa2 x2 , a2 x2 ,danpx2 a2Pada ketiga bentuk tersebut, masing-masing gunakan substitusi: x a sin t π2 t x a sec t0 t π, t 6 x a tan t π2 tπ2 π2π2Dengan substitusi tersebut diperoleh: a2 x2 a cos t a2 x2 a sec t a tan t 0 t π222 x a a tan t π2 t πContoh: Tentukan integral-integral berikut(a)Z p(d)Za2 x2 dx 1 dxx2 2x 26URL:ftp2.math.itb.ac.idZ 4 x2(b)dx x2 (e)Z2x dx x2 2x 26(c)Z(f)Z 1 2 dxdx9 x2 x2 1dx x3Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB8Pengintegralan ParsialPengintegralan parsial merupakan sebuah teknik di mana fungsi yang akandiintegralkan berasal dari perkalian dua buah fungsi. Untuk memperolehrumus integral parsial, perhatikanlah proses berikut. Misalkan u u(x)dan v v(x) dua buah fungsi.d(uv) u′ v uv ′dxd(uv) u′ v dx uv ′ dxZZuv u′v dx uv ′ dxZuv ′ dx uv ZZu′ v dx atauu dv uv Zv duContoh: Tentukan integral-integral berikut(a)Z(d)Zx2 sin x dx (e)(g)Ztan2 x sec3 x dxx cos x dx(i)(b)(c)Zsin 1 x dx ex sin x dx (f)Zsec3 x dxln x dx 1(h) Tunjukkan:Z Z2Z sinn 1 x cos x n 1nsin x dx nnx cos2 x sin x dx URL:ftp2.math.itb.ac.idZ(j)ZZsinn 2 x dx x sin3 x dx (tulis sin3 x 1 cos2 x sin x)Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB9Pengintegralan Fungsi RasionalPada pasal ini akan dibahas integral berbentukZP (x)dx dengan P (x), Q(x) polinom.Q(x)Z 5x 2x3 x 1Contoh: Tentukandxx3 5xSebelum kita lakukan proses integrasi, hal pertama yang harus diperhatikanadalah derajat dari pembilang dan penyebut. Bila derajat pembilang ’lebihbesar atau sama dengan’ derajat penyebut, lakukan dahulu proses pembagian polinom. Untuk contoh di atas, bila dilakukan pembagian polinommaka diperoleh:x5 2x3 x 114x 12 x 3 x3 5xx3 5xZ 5ZZx 2x3 x 114x 12Jadi,dx (x 3)dx dxx3 5xx3 5xSuku pertama pada ruas kanan mudah untuk diintegralkan karena berupapolinom. Permasalahan tinggal pada suku kedua yang berupa fungsi rasional. Dengan demikian, untuk selanjutnya pembahasan cukup kita batasipada masalah integral fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecildari derajat penyebut.Pada beberapa soal, integral fungsi rasional dapat diselesaikan denganZ3x2 5xdx dapat kita selesaikansubstitusi sederhana. Misalnya2x3 5x2 6dengan mudah memakai substitusi u 2x3 5x2 6.Untuk selanjutnya kita akan membahas integral fungsi rasional secarabertahap serta teknik-teknik penyelesaiannya.URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB10Bentuk 1: Pembilang konstanta, penyebut terdiri dari satu faktor lineardengan multiplisitas m 1.Z1dxgunakan substitusi u ax b(ax b)mZZ22Contoh: (a)dx (b)dx (2x 1)33x 5Bentuk 2: Pembilang polinom derajat 1, penyebut terdiri dari satufaktor linear dengan multiplisitas m. Integran tersebut kita uraikan atassuku-suku sebagai berikut:A1A2Amp(x) ··· (ax b)m (ax b) (ax b)2(ax b)mPerhatikan bahwa setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1.Zx 3Contoh:dx (x 1)2Bentuk 3: Penyebut terdiri dari beberapa faktor linear dengan multiplisitas satu. Pada bentuk ini Kita lakukan penguraian sebagai berikut,S(x)A1A2An ··· (x x1) (x x2) · · · (x xn ) x x1 x x2x x2Setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1.ZZ75x 3Contoh: (a)dx (b)dx (2x 1)(x 3)x3 2x2 3xURL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB11Bentuk 4: Penyebut terdiri dari faktor-faktor linear dengan multiplisitasboleh lebih dari satu. Masing-masing faktor kita uraikan mengikuti aturanpada bentuk 2 dan bentuk 3. Hasilnya adalah integran dengan suku-sukuseperti bentuk 1.x2 11x 15ABC (x 2)2 (x 1)(x 2) (x 2)2 x 1x2 11x 15A(x 2)(x 1) B(x 1) C(x 2)2 (x 2)2 (x 1)(x 2)2(x 1)x2 11x 15 A(x 2)(x 1) B(x 1) C(x 2)2Substitusikan secara beruntun nilai-nilai x 2, x 1 dan x 0 padapersamaan di atas, maka diperoleh B 1, C 3 dan A 2. Jadix2 11x 15 2 13 (x 2)2 (x 1) x 2 (x 2)2 x 1Contoh: (a)Z8x2 5x 8dx(2x 1)2(x 3) (b)Z3x5 17x4 9x3 64x2 30x 1dx (x 1)2(x 2)(x 3)3Bentuk 5: Pembilang konstanta dan penyebut polinom kuadrat definitdengan multiplisitas 1. Penyebut kita susun agar terbentuk suku dengankuadrat sempurna. Hasil integralnya merupakan fungsi invers tangen (lihatitem nomor 14 pada awal bab ini).Z1Contoh:dx. x2 4x 8URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB12Bentuk 6: Pembilang polinom derajat satu dan penyebut polinom kuadratdefinit dengan multiplisitas 1. Lakukan pengubahan sebagai berikut,p(2x b)q p2 bpx q2 x2 bx c x2 bx c x2 bx cSuku pertama pada ruas kanan diselesaikan dengan substitusi u x2 bx csedangkan suku kedua diselesaikan seperti pada bentuk 5.Z3x 10Contoh:dx x2 4x 8Bentuk 7: Penyebut terdiri dari beberapa faktor dan memuat faktorkuadrat definit bermultiplisitas 1. Setiap faktor pada penyebut diuraikanmasing-masing seperti pada bentuk-bentuk sebelumnya.S(x)(x t)(x2 bx c)Contoh:Z Ax t xBx C2 bx c7x2 2x 7dx(4x 1)(x2 4x 8) Bentuk 8: Penyebut memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 2.Integran kita uraikan sebagai berikut,S(x)(x t)(x2 bx c)2Contoh:Z A1x tx A32 x A3 (xA2 bx c) xA22 bx c216x4 11x3 46x2 17x 6dx(4x 1)(x2 1)2URL:ftp2.math.itb.ac.id Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB1Bentuk Tak tentu LimitPerhatikan tiga buah limit berikut:sin xx2 9f (x) f (a)(a) lim(b) lim 2(c) limx ax 0 xx 3 x x 6x aBila masing-masing titik limitnya disubstitusikan, semuanya menghasilkanbentuk 00 . Namun demikian, bila dihitung, nilai limit dari ketiga contohtersebut berbeda-beda. Bentuk seperti ini dinamakan bentuk tak tentu.Pada beberapa bab sebelumnya kita telah mempelajari berbagai metodeyang dapat diterapkan untuk menghitung bentuk tak tentu di atas. Padapasal ini, akan disajikan metode lain yang relatif mudah untuk mengevaluasi limit tersebut.Aturan L’Hopital 1: Misalkan lim f (x) lim g(x) 0.x aBila limf ′ (x)′x a g (x)x af (x)x a g(x)ada (boleh tak hingga) maka limf ′ (x)′x a g (x) limContoh: Tentukan limit-limit berikut:sin xx 0 x(a) limtan(2x)x 0 ln(1 x) (d) lime x 1x xx2 3x 102x 2 x 4x 41 cos xxx 0 (c) limsin x x3x 0 x (f) lim(b) lim (e) lim1 cos x2x 0 x 3x (h) limAturan L’Hopital 2: Misalkan lim f (x) lim g(x) .x aBila limf ′ (x)′x a g (x)ada (boleh takhingga) makax a(x)lim fg(x)x aContoh: Tentukan limit-limit berikut:a(a) lim exx (b) lim xex , a 0x ln xax x(c) limURL:ftp2.math.itb.ac.id f ′ (x)lim ′x a g (x) x a 0 ln xcotxx 0 (d) lim Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBBentuk Tak Tentu 0 · .Bentuk ini diubah jadi bentuk201 atau 10Contoh: Tentukan limπ tan x · ln(sin x). x 2Bentuk Tak Tentu .Bentuk ini umumnya merupakan fungsi pecahan dikurangi fungsi pecahanlain. Untuk menyelesaikannya, kita samakan penyebutnya. Selanjutnyaakan diperoleh bentuk 00 atau xContoh: Tentukan lim x 1 ln1x . x 1 Bentuk Tak Tentu 00, 0, dan 1 .Lakukan penarikan logaritma.Contoh: Tentukan limit-limit berikut(a) lim xx x 0 (b) lim (x 1)cot x x 0 (c) lim (tan x)cos x x π2 Catatan: Bentuk-bentuk berikut merupakan bentuk tentu0 , 0, , · , 0 , URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB3Integral Tak Wajar Jenis 1 : batas Di bagian depan kita telah mendefinisikan pengertian integral tentu sebagai limit jumlah Riemann. Konsep integral tentu ini didefinisikan padasebuah interval tutup [a, b], dengan a, b R. Pada pasal ini akan diperluas arti sebuah integral tentu, bila interval tersebut tak terbatas. Berikutini disajikan definisi dari integral tak wajar jenis 1, yaitu dengan batas .a.ZbZbf (x) dx limt f (x) dxx]x [aq ac.]btZ Zqf (x) dxb. f (x) dx limZ [tqaf (x) dx Z0 Z f (x) dx f (x) dx0Catatan:ZtZ f (x) dx 6 limf (x) dxt tBila suku-suku di ruas kanan nilainya berhingga, dikatakan integral takwajar tersebut konvergen dan nilainya adalah hasil di ruas kanan.Contoh:Z 121. Tentukan (a)xe x dx 2. Tentukan k supayaZ Z (b) sin x dx 0kdx 1 1 x23. Carilah semua nilai p supayaZ 1URL:ftp2.math.itb.ac.id1dx konvergen. xpWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB4Integral Tak Wajar Jenis 2: Integran Tak Hingga 1Z11113Perhatikan hitungan berikut:dx 1 x2x 222 2Hasil ini tidak wajar, sebab f (x) x12 fungsi yang positif, jadi hasil integralnya seharusnya positif juga. Ketidakwajaran ini disebabkan f (x) tidakterdefinisi di x 0 [ 2, 1]. Integral seperti ini disebut integral tak wajarjenis 2. Perhitungannya tidak boleh langsung menerapkan Teorema DasarKalkulus Pertama. Berikut disajikan integral tak wajar jenis 2 serta definisiperhitungannya.a. Misalkan lim f (x) , makax a [[]atbxb. Misalkan lim f (x) , makax b []]aqbZbf (x) dx limt a aZbZbf (x) dxZqf (x) dxtf (x) dx limq b aaxc. Misalkan f (x) kontinu pada [a, b] kecuali di c [a, b],ZbZcZbmaka f (x) dx f (x) dx f (x) dxaContoh-Contoh:1. Tentukan: (a)aZ20 c1dx4 x22. Carilah semua nilai p supaya3. Periksa kekonvergenan (a)URL:ftp2.math.itb.ac.id 0Z201Z 2(b)Z11dx x1dx konvergen. xp1dx x2(b)Z301(x 1)23dx Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB1Deret Tak HinggaDeret merupakan salah satu bagian yang penting dalam bidang matem atika. Bila kita menggunakan kalkulator untuk menghitung 4, 1, sin(310),log2 3, dan lain-lain, proses melibatkan konsep deret. Bila seseorang mengkajisifat-sifat gelombang, konsep deret terlibat didalamnya.Pada bab ini kita akan mempelajari sifta-sifat dasar sebuah deret. Kajianakan diakhiri dengan sebuah metode aproksimasi untuk menghitung nilai fungsi menggunakan deret. Aproksimasi ini mempunyai ketelitian yanglebih tinggi dibandingkan dengan aproksimasi diferensial yang sudah pernah kita bahas sebelumnya.Sebuah deret (deret tak hingga) adalah sebuah jumlahan berbentuk,a1 a2 · · · an · · ·dengan an RSebelum kita mengkaji deret, akan diperkenalkan dahulu pengertian barisan.Barisan Tak HinggaBarisan tak hingga adalah fungsi f : N R.Barisan biasanya hanya dituliskan nilai-nilai fungsinya sebagai berikut:a1 , a2 , a3 , · · ·denganan f (n), n NBarisan biasa dinotasikan dengan {an} n 1 , atau {an }Contoh-Contoh:1. an 1 n12. bn 1 ( 1)n n13. cn ( 1)n n14. dn 0, 9990, 21 , 23 , 34 , 45 , · · · 2, 21 , 43 , 34 , 65 , 56 , 87 , 78 , · · · 0, 23 , 2, 5 , 4 , 7 , 6 , 9 , · · ·3 4 5 6 7 8 0, 999 ; 0, 999 ; 0, 999 ; 0, 999 ; · · · Bila n , cenderung menuju nilai berapakah suku barisan di atas ?URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB2Definisi Barisan Konvergen: Barisan {an} disebut konvergen ke L,ditulis lim an L, artinya untuk setiap ǫ 0, dapat dicari bilangann asli K sehingga untuk n K an L ǫ. Barisan yang tidakkonvergen disebut divergen. AnimationContoh: Dengan definisi di atas, tunjukkan an 1 n1 konvergen ke 1. Perhatikan barisan cn ( 1)n n1 .Bila kita perhatikan nilai suku-suku barisan tersebut adalah sebagai berikut32 54 7610011000 100310020, , , , , , , · · · ,, ,, , ···23 45 6710001001 10021003Perhatikan bahwa sukus-suku ganjil (warna biru), ”cenderung” menuju -1,sedangkan suku-suku yang genap (warna hijau), ”cenderung” menuju 1.Jadi suku-suku barisan akan berosilasi disekitar -1 dan 1. Gunakan definisidi atas untuk membuktikan barisan ini divergen.Sifat-sifat limit sebuah barisan, sama dengan sifat-sifat limit di tak hinggadari sebuah fungsi real. Hal ini dapat dimaklumi, karena barisan juga merupakan fungsi. Berikut disajikan sifat-sifat tersebut,Sifat-Sifat:Misalkan {an}, {bn} barisan2 yang konvergen, k R dan p N.1 lim p 0n n lim k kn lim (an bn) lim an lim bnn n n lim (an · bn) lim an · lim bnn URL:ftp2.math.itb.ac.idn n Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBlim anan n lim n bnlim bn3syaratn lim bn 6 0n Misalkan an f (n). Bila lim f (x) L maka lim f (n) Lx n Prinsip Apit: Misalkan {an}, {bn}, dan {cn } barisan2 dengan sifatan cn bn untuk suatu n K (mulai indeks yang K).Bila lim an L dan lim bn L maka lim cn Ln n n lim an 0 lim an 0n n Latihan:3n21. Tentukan lim n 7n2 1ln n n en2. Tentukan limsin3 n3. Tentukan lim n n4. Misalkan 1 r 1, tunjukkan lim rn 0 n (perhatikan1 r 1, lalu tulis1 r 1 p, tunjukan 0 r n 1pn )bagaimanakah nilai lim rn bila r 1 ?n URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB4Barisan MonotonPengertian kemonotonan pada barisan sama dengan pengertian kemonotonan pada fungsi real. Sebuah barisan {an} disebut monoton tak turun, dinotasikan {an} , bila memenuhi an an 1. Barisan {an} disebutmonoton tak naik, dinotasikan {an} , bila memenuhi an an 1.Untuk menguji kekonvergenan sebuah barisan monoton, selain menggunakan sifat-sifat yang telah kita bahas, dapat pula menggunakan sifataberikut ini:Sifat: Bila {an} dan terbatas di atas, maka {an} konvergen. Bila {an} dan terbatas di bawah, maka {an} konvergen.Catatan: Pada sifat di atas, kemonotonan barisan yang diuji tidak perlu dari awal,tetapi cukup dimulai dari suatu indeks tertentu.Contoh: Buktikan barisan {bn} dengan bn n22nkonvergen Catatan. Untuk menunjukan sebuah barisan {an} monoton, gunakansalah satu cara berikut: Periksa tanda dari an 1 an Bila an selalu positif atau selalu negatif, periksa nilai darian 1an . Bila an f (n), bentuk fungsi real f (x), lalu periksa tanda dari f ′ (x).URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB5Deret Tak HinggaDeret tak hingga merupakan jumlahan dari suku-suku sebuah barisan. Xa1 a2 a3 · · · an dengan an R.n 1Tetapkan barisan {Sn } sebagai berikut:a1 , a a}2, aa2 a}3, · · · , a {z} 1 {z 1 {z 1 a2 {z· · · an}, · · ·S1S2S3Sn PBarisan ini disebut barisan jumlah parsial dari deretann 1 PDari definisi ini secara intuitif bila n maka Sn an . Dalamn 1matematika, kondisi seperti ini kita formalkan dalam bentuk definisi berikut: Xan disebut konvergen ke S bila lim Sn S.Definisi: Sebuah deretn n 1Secara umum, memeriksa kekonvergenen sebuah deret umumnya sukar.Pada bab ini akan dikaji berbagai bentuk deret yang mempunyai karakteristik khusus sehingga kekonvergenannya dapat diuji dengan lebih mudah.Deret GeometriSebuah deret disebut deret geometri, bila suku-sukunya memenuhi hubungan an 1an r, dengan r konstanta, disebut pengali (ratio). Xa ar ar2 ar3 · · · ark 1 a, r Rk 1Berikut disajikan teorema untuk menguji kekonvergenan deret geometri, PSifat: Deret geometriark 1 konvergen r 1. Bila deretk 1tersebut konvergen, nilainya S Contoh: Tentukan nilai deretURL:ftp2.math.itb.ac.id43a1 r 44 49 27 81 ··· Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB6Suku-suku sebuah deret yang konvergen memiliki sifat khusus, PSifat: Jikaan konvergen maka lim an 0n n 1Kontra positif dari sifat di atas adalah,Sifat, Uji Suku Ke n: Jika lim an 6 0 makan Pan divergen.n 1Sifat terakhir ini berguna untuk menguji kedivergenen sebuah deret. Pn3Contoh: Periksa kekonvergenan 2n3 2nn 1Deret harmonik12131nDeret harmonik adalah deret berbentuk: 1 · · · · · · 1nn Bila kita periksa dengan uji suku ke n, lim an limn 0. Pn 11nKarena limitnya bernilai nol, Uji suku ke n tidak menghasilkan kesimpulan.Sifat: Deret harmonik divergen ke Deret harmonik banyak sekali digunakan sebagai deret pembanding untukmenguji kekonvergenan deret lain. Kita akan membahasnya pada beberapa pasal berikutnya.Deret Teleskopik/Kolaps : X11111111 ··· a1 a2a2 a3a3 a4aan 1nn 1Jumlah parsial ke n, Sn 11 a1 an 1Contoh: Periksa kekonvergenan deret Xk 1URL:ftp2.math.itb.ac.id1 (k 2)(k 3)Warsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBSifat Linear: Jika Pan ,n 1(a) Pc an cn 1 PanSifat: Jikan 1 Pn 1danbn deret yang konvergen dan c R maka(b) P(an bn) n 1n 1 P7an n 1an divergen dan c 6 0 makaContoh: Periksa kekonvergenan deret P Pn 1 P Pbnn 1c an divergenn 119n Pengelompokan Suku-Suku DeretPerhatikan sebuah deret a1 a2 a3 · · · an · · · Pann 1Bolehkan kita mengelompokkan suku-suku deret tersebut?(a1 a2) (a3 a4 a5 a6) c7 (a8 · · · a100) · · · an · · ·Untuk memeperoleh jawabnya, perhatikan deret berikut: Pn 11 1 1 1 1 1 · · · ( 1) ··· ( 1)n 1n 1lim an lim ( 1)n n n 16 0, jadi deret ini divergen.Sekarang kita kelompokkan suku-sukunya sebagai berikut:Pengelompokan a: (1 1) (1 1) (1 1) · · · 0Pengelompokan b: 1 (1 1) (1 1) (1 1) · · · 1Ternyata hasilnya dapat dibuat konvergen dengan nilai yang berbeda-beda,tergantung pola pengelompokkannya. Hal ini tentu saja salah. Sifatberikut menjamin kapan sebuah deret boleh dikelompokkan,Sifat: Sebuah deret yang konvergen suku-sukunya boleh dikelompokkandan nilainya tidak akan berubah.Catatan: Meskipun deret yang konvergen suku-sukunya boleh dikelompokkan, tapi posisi suku-sukunya tidak boleh a Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITB8Deret PositifPada pasal sebelumnya kita telah membahas beberapa deret khusus sertapengujian kekonvergenannya. Sebagaimana telah dikemukakan, pengujiankekonvergenan deret secara umum tidaklah mudah. Khusus bila sukusuku deret bersifat tak negatif, kita mempunyai berbagai alat uji. Untukitu pada pasal ini akan dikaji teorema-teorema untuk menguji kekonvergenan dari deret yang suku-sukunya tak negatif. PDefinisi: Sebuah deretan disebut deret positif bila an 0.n 1Uji Jumlah Terbatas: PDeret positifan konvergen jumlah parsialnya, Sn , terbatas di atas.n 1Contoh: Tunjukkan11! 2!1 3!1 · · · konvergen. Uji Integral:Diberikan deret Pan dengan an f (n). Tetapkan fungsin 1f (x), x R. Bila f (x) kontinu, positif dan tak naik pada [1, ] maka R Pan konvergen f (x) dx konvergen. n 11 Pan1k ln k Perhatikan, pada uji di atas nilain 1R 6 f (x) dx1Meskipun nilai deret dan integral tersebut tidak sama, tetapi nilai integraltersebut kadang-kadang dijadikan hampiran dari nilai deretnya.Contoh2:1. Uji kekonvergenan deret2. Deret Pn 1 Pk 2nendiaproksimasi nilainya memakai 5 suku pertamahingga galatnya adalahintegral tak wajar. URL:ftp2.math.itb.ac.id Pn 65Pn 1n.enn,ense-Aproksimasilah galat tersebut memakaiWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBUji Deret-p: 1 12p 13p 914p ··· Pk 11kpdengan p konstanta.Deret-p konvergen untuk p 1 dan divergen untuk p 1 .Contoh: Periksa kekonvergenan deret Pk 11 k 0,001Uji Banding: Misalkan 0 an bn untuk n K, K N. PP Bilabn konvergen makaan konvergen Bilan 1 Pn 1an divergen makan 1 Pbn divergenn 1Contoh: Periksa kekonvergenan (a) Pn 1n5n2 4 (b) Pn2n (n 1)n 1 (c)ann bn PUji Banding Limit: Misalkan an 0, bn 0 dan lim Bila 0 L maka kekonvergenan Bila L 0 dan Pbn konvergen makan 1an dann 1 P1(n 2)2n 3 L.bn bersamaan.n 1an konvergenn 1Contoh: Periksa kekonvergenan (a) Pn 1Uji Hasil Bagi: Misalkan P P P3n 2n3 2n2 11 (b) Pn 1 1n2 19n (c)an 1n anan deret positif dengan limn 1 Pln nn2n 1 ρ Bila ρ 1 deret konvergen. Bila ρ 1 deret divergen. Bila ρ 1 tidak diperoleh kesimpulanContoh: Periksa kekonvergenan (a) Pn 12nn! (b) Pn 1(untuk soal c, gunakan sifat lim (1 n1 )n e) .2nn100 (c) Pn 1n!nn n URL:ftp2.math.itb.ac.idWarsoma Djohan / MA-ITB / 2015
Diktat matematika 2A, Untuk dipakai di ITBRingkasan: Misalkan P10an sebuah deret positifn 1 Jika lim an 6 0 maka deret divergen.n Jika an mengandung n!, rn atau nn , gunakan uji hasil bagi. Jika an berbentuk fungsi rasional (pangkat konstan dalan n), gunakanuji banding limit. Sebagai deret pembanding gunakan pangkat tertinggidari pembilang dibagi penyebut. Jika uji-uji di at
lunak pendukung, yaitu: Adobe Acrobat Reader versi 9 atau lebih baru dan Quick Time player. Semua perangkat lunak tersebut bersifat publicdomain/free dan dapat diunduh/didownload via internet. Untuk memudahkan, penulis telah menempatkan diktat kuliah beserta perangkat lunak pendukung tersebut pada ftp server dengan alamat. ftp://167.205.6.17. atau
