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Análisis de Datos y ProbabilidadEl análisis de datos es el proceso de recopilación, organización, resumen e interpretación de datos. Éste esel corazón de la disciplina llamada estadística. En el contexto del análisis de datos, la probabilidad puedeconcebirse como el estudio de patrones potenciales en resultados que todavía no han sido observados.En cuarto grado el área de contenido de análisis dedatos y probabilidad se enfoca en la comprensiónde los estudiantes de cómo se recopilan yorganizan datos, cómo leer e interpretar variasrepresentaciones de datos, y conceptos básicosde probabilidad. En octavo grado se pone énfasisen la habilidad de los estudiantes de utilizar unavariedad de técnicas para organizar y resumirdatos (incluyendo tablas, diagramas y gráficas),de analizar conclusiones estadísticas y de usarterminología más formal relacionada conprobabilidad y análisis de datos.24LA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNLos temas secundarios en el área de contenido deanálisis de datos y probabilidad son: Representación de datos Características de conjuntos de datos Experimentos y muestras Probabilidad
Resultados de estudiantesEn Puerto Rico, los promedios de las puntuacionesde preguntas en el análisis de datos y probabilidadfueron 0.21 en cuarto grado y 0.24 en octavo grado(Figuras 9 y 10). En promedio, estas puntuacionesfueron inferiores a las de Estados Unidos.En Puerto Rico en cuarto grado no hubo diferenciasignificativa entre niños y niñas en el promedio delas puntuaciones de preguntas en análisis de datosy probabilidad. En octavo grado, la puntuación delas niñas en Puerto Rico fue superior a la de losniños. No hubo diferencia significativa entre laspuntaciones de niñas y de niños en Estados Unidosni en cuarto ni en octavo grado.En las páginas siguientes se muestran ejemplosde preguntas del área de contenido de análisis dedatos y probabilidad en la evaluación de NAEP dematemáticas de 2007.Figura 9.Promedio de las puntuaciones de preguntasde NAEP de matemáticas para análisis dedatos y probabilidad en cuarto grado, porgénero: 2007Puntuaciónde pregunta1.000.800.58 0.59 0.580.60Todos losestudiantes0.400.200.000.21 0.21 0.22NiñosNiñasPuerto RicoFigura 10.EE.UU.Promedio de las puntuaciones de preguntasde NAEP de matemáticas para análisis dedatos y probabilidad en octavo grado, porgénero: 2007Puntuaciónde pregunta1.000.800.600.400.200.000.51 0.51 0.51Todos losestudiantes0.24 0.23 0.25NiñosNiñasPuerto RicoEE.UU.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO25
ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDADEl ejemplo de pregunta 13 abarca el tema secundariode representación de datos. Este tema secundario incluyepreguntas sobre datos presentados en pictogramas, gráficasde barras, gráficas circulares, gráficas lineales, diagramaslineales, tablas y tabulaciones.El ejemplo de pregunta 14 abarca el tema secundario deprobabilidad. Este tema secundario incluye preguntas sobrepensamiento probabilístico informal y conteo o representaciónde resultados de eventos dados.Ejemplo de pregunta de selecciónmúltipleEl ejemplo de pregunta 13 presenta un pictogramajunto con una leyenda para interpretar los símbolosen la gráfica. La pregunta pide el número total deestudiantes representados por los símbolos, donde unsímbolo completo representa 10 estudiantes y cadasímbolo parcial representa 5 estudiantes. Ya que hay9 símbolos completos y 2 símbolos parciales, hay untotal de 100 estudiantes representados en la gráfica.El objetivo del marco teórico que se mide en estapregunta consiste en resolver problemas mediante laestimación y el cómputo dentro de un solo conjuntode datos.En Puerto Rico, 35 por ciento de los estudiantes decuarto grado contestó esta pregunta correctamente(Opción B). Las opciones de respuestas incorrectaspara la pregunta pueden resultar de errores de conteoy/o interpretación de símbolos.Porcentaje de estudiantes de cuarto grado en cadacategoría de respuesta: 2007Puerto RicoEE.UU.30884Opción AOpción B35Opción C103Opción D20441OmitidaNOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 200726LA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNta 13regunpedolpmEjeartotes de cuEstudian cuela Smithla Esgrado deilAutomóvAutobúsA piediantes 10 estudiantes 5 estustrarriba mueaedamdeEl pictogratudiantesseslonaith.cómo llegscuela SmElaaodscuarto graa, ¿cuántomragtoicpSegún elgradode cuartosteniadtuesmith?Escuela Slaanteisas95A100C105D110
Ejemplo de pregunta de respuesta construidaEl ejemplo de pregunta 14 les pide a los estudiantesque marquen un dibujo de una rueda de juego detal manera que la probabilidad de que se detenga enazul sea el doble de la probabilidad de que se detengaen rojo. Ya que la rueda de juego tiene 9 secciones,una rueda de juego marcada correctamente tendrá6 secciones azules y 3 secciones rojas. Esta preguntade respuesta construida extendida también les pidea los estudiantes que expliquen cómo obtuvieron larespuesta. El objetivo del marco teórico que se mideen esta pregunta es usar el pensamiento probabilísticoinformal para describir eventos aleatorios (o sea,probable e improbable, seguro e imposible).Las respuestas de los estudiantes para esta preguntafueron calificadas con la guía de calificación de cinconiveles que se muestra a la derecha. En Puerto Rico,Ejemplo de pregunta 14Luis quierehacerque launa ruprobaeda dbilidadazul se juegea eldeo en lque sdobleadeteneddeetga enengala proerbnoajo. Vao rojoa escr bilidad de q(R) oaibue sezir en cMuesul (A).tra cóadasecciómo pula ruenede mda.arcarlas secciones deNúmeroNúme de azules:roExplic de rojos:a cómo hallaste turespuesta.Porcentaje de estudiantes de cuarto grado en cadacategoría de respuesta: 2007Puerto nima23Incorrecta8059Omitida155menos del 1 por ciento de las respuestas de los estudiantesde cuarto grado se calificó como “Extendida” y 1 porciento se calificó como “Satisfactoria”.ExtendidaUna respuesta con una rueda de juegocorrectamente marcada (6 secciones azules y3 secciones rojas), el número correcto deazules (6) y de rojas (3) en las líneas derespuesta, y una explicación correcta ycompletaSatisfactoria Una respuesta con una rueda de juegocorrectamente marcada y el número correctode azules y de rojos en las líneas de respuesta,con una explicación incompletaO Una respuesta con una explicación correcta ycompleta indicando 6 azules y 3 rojos, pero larueda de juego no se marcó, o el número deazules y rojos fue incorrecto o no dado en laslíneas de respuestaParcialUna respuesta con una rueda de juegocorrectamente marcada y/o el númerocorrecto de azules y rojos en las líneas derespuesta, pero la explicación fue incorrectao no se dio O Una respuesta con una explicación correctay completa que no tenía el número correctode azules y rojos en las líneas de respuesta nitampoco una rueda de juego correctamentemarcadaMínimaUna respuesta que marcó la rueda de juegoo indicó en las líneas de respuesta que habíamás azules que rojos en la rueda de juego,con una explicación relacionada con laprobabilidad O Una respuesta con 6 rojos y 3 azules en larueda de juego o en las líneas de respuesta,con una explicación relacionada con laprobabilidad O Una respuesta que explicó un proceso de 2rojos a 1 azul conforme a lo marcado en larueda de juegoIncorrectaTodas las respuestas incorrectas# Redondea a cero.NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido a que no se muestra un pequeñoporcentaje de respuestas que no estaba relacionado con la tarea de la evaluación.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del Progreso Educativo(NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO27
ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDADEl ejemplo de pregunta 15 abarca el tema secundario derepresentación de datos. Este tema secundario incluye preguntassobre datos presentados en histogramas, gráficas lineales, diagramasde dispersión, diagramas de caja y bigote, gráficas circulares,diagramas de tallo y hojas, distribuciones de frecuencias, tablas ygráficas de barras.El ejemplo de pregunta 16 abarca el tema secundario de lascaracterísticas de conjuntos de datos. Este tema secundario incluyepreguntas sobre medidas estadísticas que describen conjuntos dedatos, tales como media, mediana, moda, rango, rango intercuartily desviación estándar; efecto de valores atípicos; y diagramas dedispersión.Ejemplo de pregunta de selecciónmúltipleEl ejemplo de pregunta 15 les pide a los estudiantes queidentifiquen una representación gráfica apropiada de unconjunto de datos de temperaturas registradas a lo largodel tiempo. Esta pregunta se incluyó en una sección quepermitió el uso de una calculadora. El objetivo del marcoteórico que se mide en esta pregunta es determinar si lainformación está representada efectiva y apropiadamente(histogramas, gráficas lineales, diagramas de dispersión,gráficas circulares y gráficas de barras) dado un conjuntode datos o una gráfica.En Puerto Rico, 56 por ciento de los estudiantes deoctavo grado contestó esta pregunta correctamente(Opción C). Las opciones incorrectas para la preguntason varios tipos de gráficas de datos.Porcentaje de estudiantes de octavo grado en cadacategoría de respuesta: 2007Puerto RicoEE.UU.134Opción AOpción B204Opción C5684Opción D33Opción E75Omitida11NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 200728LA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNEjemplo depregunt¿Cuáa 15l de los siggráficuieas sería m ntes tiposlos cedambios de jor para m eregisotemptradoeratu strars en15 mrauna cinude 24 tos duran iudad cadate unhorasperio?doAPictogramaBGráfica circulaGráfircaDlinealDiagramaEde caDiagrjaamade ta y bigotello y hojas
Ejemplo de pregunta de respuesta construidaEl ejemplo de pregunta 16 está ambientado enun contexto del mundo real y requiere que losestudiantes razonen sobre medidas de tendenciacentral —en este caso, la media y la mediana. Unarespuesta correcta para esta pregunta requiereentender que 10 clientes el Día 4 es un valor atípicopara este conjunto de datos y por lo tanto distorsionala media. Esta pregunta se incluyó en una secciónque permitió el uso de una calculadora. El objetivodel marco teórico para esta pregunta les pide a losestudiantes que calculen, usen o interpreten media,mediana, moda o rango.Ejemplo denndade b tes de laiciclede Manue taslLas respuestas de los estudiantes a esta preguntafueron calificadas con la siguiente guía de calificaciónde tres niveles:CorrectaUna respuesta que plantea que lamediana representa mejor el númerotípico de clientes, con una explicaciónque indica que un número (10) que es muydiferente de los otros tiene un efecto sobrela media pero no sobre la medianaParcialUna respuesta que plantea que lamediana representa mejor el númerotípico de clientes, con una explicaciónincompleta, incorrecta o faltante O Una respuesta que plantea que la mediarepresenta mejor el número típico declientes, con una explicación que indicaque un número (10) que es muy diferentede los otros tiene un efecto sobre la mediapero no sobre la medianaDía 1Día 2Día 3Día 4Día 5Media (promeMeddio)iana10 08790109175.6¿Cuálmedi90da, emedil promana,edioreprenúmeosentaro típmejor laico dtiendele cliea dentesbicicl5 díaenetas ds?e Ma lanuelesosExplica tu razonamiento.Porcentaje de estudiantes de octavo grado en cadacategoría de respuesta: 2007Incorrecta Todas las respuestas incorrectasEn Puerto Rico, menos del 1 por ciento de lasrespuestas de los estudiantes de octavo grado secalificó como “Correcta” y 20 por ciento se calificócomo “Parcial”.preguntaL a tabla d16e abade clijoenmuestra elde M tes en la tnúiendaanuelde bi merodurantablaciclette 5 dtambasías. Eién mpromstauestredio)alaylde clientes a mediana media (eldurandte eso el númeroNúms5dero días.e clietieCorrectaPuerto RicoEE.UU.#5Parcial2021Incorrecta4968Omitida306# Redondea a cero.NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido a que no se muestra un pequeñoporcentaje de respuestas que no estaba relacionado con la tarea de la evaluación.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO29
Foto de Norma Curet, Oficina de Comunicaciones, Departamento de Educación de Puerto RicoÁlgebraLos conceptos de álgebra brindan a los estudiantes una poderosa herramienta para comprender matemáticas.Uno de los enfoques principales del estudio del álgebra es la representación, por ejemplo, usando variables,funciones y geometría de coordenadas. El álgebra simbólica ofrece, fácil y eficazmente, métodos pararepresentar problemas y resolver ecuaciones.En cuarto grado los estudiantes son evaluados ensu comprensión de representaciones algebraicas,patrones y reglas; graficar puntos en una líneao en una cuadrícula; y el uso de símbolos pararepresentar cantidades desconocidas. En cuartogrado, en el área de contenido de álgebra una granparte del énfasis se pone en el reconocimiento,la descripción y la extensión de patrones yreglas. En octavo grado, el énfasis se pone en lacomprensión de los estudiantes de patrones y30LA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNfunciones; representaciones algebraicas; expresionesalgebraicas, ecuaciones y desigualdades; ylinealidad, incluyendo pendiente.Los temas secundarios en el área de contenido deálgebra son: Patrones, relaciones y funciones Representaciones algebraicas Variables, expresiones y operaciones Ecuaciones y desigualdades
Resultados de estudiantesEn Puerto Rico, los promedios de las puntuacionesde preguntas en álgebra fueron 0.25 en cuarto gradoy 0.23 en octavo grado (Figuras 11 y 12). Ambaspuntuaciones fueron inferiores a las de EstadosUnidos.En Puerto Rico, en ambos grados, el promediode las puntuaciones de preguntas en álgebra delos niños no fue significativamente diferente alde las niñas. Los resultados por género de losestudiantes en Estados Unidos variaron por grado.La puntuación de los niños fue superior a la de lasniñas en octavo grado pero no mostró diferenciasignificativa en cuarto grado.En las páginas siguientes se muestran ejemplos depreguntas del área de contenido de álgebra en laevaluación de NAEP de matemáticas de 2007.Figura 11.Puntuaciónde preguntaPromedio de las puntuaciones de preguntasde NAEP de matemáticas para álgebra encuarto grado, por género: 20071.000.800.54 0.55 0.530.600.40Todos losestudiantes0.25 0.25 0.250.200.00NiñosNiñasPuerto RicoFigura 12.EE.UU.Promedio de las puntuaciones de preguntasde NAEP de matemáticas para álgebra enoctavo grado, por género: 2007Puntuaciónde pregunta1.000.800.600.50 0.51 0.49Todos losestudiantes0.400.200.000.23 0.23 0.23NiñosNiñasPuerto RicoEE.UU.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO31
ÁLGEBRAEl ejemplo de pregunta 17 abarca el tema secundario depatrones, relaciones y funciones. Este tema secundario incluyepreguntas sobre reconocimiento, descripción y extensión depatrones y reglas.El ejemplo de pregunta 18 abarca el tema secundario devariables, expresiones y operaciones. Este tema secundarioincluye preguntas sobre la representación de cantidadesdesconocidas con símbolos y la expresión de relacionesmatemáticas simples en expresiones numéricas.Ejemplo de pregunta de selecciónmúltipleEl ejemplo de pregunta 17 describe un patrón y lespide a los estudiantes que identifiquen un número aincluir en la secuencia generada por el patrón. Se danlos tres primeros términos de la secuencia (14, 26, 38),y al aplicar la regla surgen los dos siguientes términosen la secuencia: 50 y 62. El objetivo del marco teóricoque se mide en esta pregunta es extender o encontrarun término omitido en un patrón o una secuenciadada una descripción.En Puerto Rico, 27 por ciento de los estudiantes decuarto grado contestó esta pregunta correctamente(Opción D). Las opciones incorrectas de respuestapara la pregunta pueden resultar del cómputoincorrecto de los términos subsiguientes de lasecuencia.Ejemp14, 26,Puerto RicoEE.UU.3630Opción B134Opción C117Opción D2755Omitida143NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 200732LA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNpregunta 1738,,Los números dearribal pavan aumen trón de12. ¿Cutaparte ál de esto ndo de 12s númdel penatróneros?esPorcentaje de estudiantes de cuarto grado en cadacategoría de respuesta: 2007Opción Alo deABC52586062
Ejemplo de pregunta de selección múltipleEl ejemplo de pregunta 18 presenta una balanzaequilibrada con cubos que pesan 3 libras y un cilindroque pesa N libras. La pregunta pide una expresiónnumérica (ecuación) que modele la situación. Estapregunta se incluyó en una sección que permitió eluso de una calculadora. El objetivo del marco teóricoque se mide en esta pregunta abarca la expresión derelaciones matemáticas simples usando expresionesnuméricas.Ejemplo deEn Puerto Rico, 56 por ciento de los estudiantes decuarto grado contestó esta pregunta correctamente(Opción A). A continuación se presentan algunosconceptos equivocados representados por lasopciones de respuesta incorrecta para esta pregunta: La ecuación indica el número de cubos en el ladoderecho de la balanza en vez del peso total (12) deestos cubos (Opción B). La ecuación indica el número de cubos en el ladoizquierdo de la balanza en vez del peso total (6) deestos cubos (Opción C). La ecuación indica el número de cubos en amboslados de la balanza en vez del peso total de estoscubos (Opción D).CDpregunta 18Las pesestán as de la baequilibrad lanza de3 libraas. Cas. Eada c rribal cilin¿Cuáudbrl expresió o pesa N o pesamejonlibnur estarasituac mérica de s.scribión?e6 N 12B6 N 42 N2 N 12 4Porcentaje de estudiantes de cuarto grado en cadacategoría de respuesta: 2007Puerto RicoEE.UU.79Opción A56Opción B165Opción C179Opción D95Omitida12NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO33
ÁLGEBRAEl ejemplo de pregunta 19 abarca el tema secundario deecuaciones y desigualdades. Este tema secundario se enfoca enpreguntas sobre ecuaciones lineales y desigualdades, gráficas delíneas y el uso de fórmulas comunes.El ejemplo de pregunta 20 abarca el tema secundario delas representaciones algebraicas. Este tema secundario incluyepreguntas sobre el análisis, la interpretación y la conversión dediferentes representaciones (simbólicas, gráficas, tabulares, verbalesy pictóricas) de una relación lineal; la representación de puntosen un sistema rectangular de coordenadas; y el reconocimiento derelaciones no lineales comunes en contextos significativos.Ejemplo de pregunta de selecciónmúltipleEl ejemplo de pregunta 19 presenta la ecuación deuna línea en el plano de coordenadas xy y les pidea los estudiantes que identifiquen la gráfica de laecuación. El objetivo del marco teórico para estapregunta consiste en interpretar relaciones entreexpresiones lineales simbólicas y gráficas de líneas alidentificar y calcular la pendiente y los interceptos(por ejemplo, sabiendo en y ax b, que a es la tasade cambio y b es el intercepto vertical de la gráfica).eguntarpedolpEjemcaes la gráfistenieu?las sig¿Cuál de –2x 1ylaenliaciónde la ecu1OPorcentaje de estudiantes de octavo grado en cadacategoría de respuesta: 2007EE.UU.Opción A1325Opción B1915Opción C2315Opción D2531Opción E171331OmitidaNOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007DLA LIBRETA DE CALIFICACIONES DE LA NACIÓNy11O 1xO 1Ex1y1O341O1xyCyByEn Puerto Rico, 13 por ciento de los estudiantes deoctavo grado contestó esta pregunta correctamente(Opción A). Las opciones incorrectas de respuestapara la pregunta son otras líneas en el plano.Puerto Rico19x1x
Ejemplo de pregunta de selección múltipleEl ejemplo de pregunta 20 les pide a los estudiantesque identifiquen si expresiones algebraicas dadas sonequivalentes a la expresión 2x para todos los valoresde x. Esta pregunta se incluyó en una sección quepermitió el uso de una calculadora. El objetivo delmarco teórico que se mide en esta pregunta es hacerconversiones entre diferentes representaciones deexpresiones lineales usando símbolos, gráficas, tablas,diagramas o descripciones escritas.En Puerto Rico, 8 por ciento de los estudiantesen octavo grado identificó correctamente si lastres expresiones son o no equivalentes a 2x. Acontinuación se muestra el porcentaje de estudiantesque respondió correctamente a cada parte de lapregunta. La respuesta correcta para las partes (a) y(b) de esta pregunta es “Sí” y la respuesta correcta ala parte (c) es “No”.Puerto RicoEE.UUCorrecta7690Incorrecta16882Parte (a)OmitidaCorrecta24405754Omitida186teslas siguienedanucadaConsideracada. ¿Equivaleseresniosreexpos los valodtoraapa 2xexpresiónde x ?Oicar SÍ o NdinraapvaloLlena un óexpresión.Nopara cadaSírx(a) 2 poás x(b) x mrx(c) x poParte (b)Incorrectata 20regunpedolpEjemParte (c)Correcta4065Incorrecta3828Omitida216NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.Porcentaje de estudiantes de octavo grado en cadacategoría de respuesta: 2007Tres correctasPuerto RicoEE.UU.830Dos correctas3438Una correcta4828Ninguna correcta72Omitida31NOTA: Puede que los porcentajes no sumen 100 debido al redondeo.FUENTE: Departamento de Educación de EE.UU., Instituto de Ciencias de la Educación,Centro Nacional para Estadísticas de la Educación, Evaluación Nacional del ProgresoEducativo (NAEP), Evaluación de Matemáticas de 2007MATEMÁTICAS 2007 RENDIMIENTO EN PUERTO RICO35
Resultados de estudiantes En Puerto Rico, los promedios de las puntuaciones de preguntas en el análisis de datos y probabilidad fueron 0.21 en cuarto grado y 0.24 en octavo grado
