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POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL.Una potencia an de base un número real a y exponente un número natural n (n 1) es el producto de nfactores iguales a la base:( n veces)a n a a a con n 1Ejemplo.24 2 2 2 2 1635 3 3 3 3 3 243( 2)4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 16( 2)5 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 32Observa que si el exponente es par la potencia es siempre positiva y, si el exponente es impar, la potencia tiene elmismo signo que la base.1.1. Propiedades. Calculemos 52 54 52 54 (5 5) (5 5 5 5) 5 5 5 5 5 5 56El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.an am an m Calculemos ahora 56 : 54 56 : 54 56 5 5 5 5 5 5 5 5 525 5 5 554El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.an : am an m con n m 1 Calculemos el producto de potencias 32 52 32 52 (3 3) (5 5) (3 5) (3 5) (3 5)2 152El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el productode las bases y por exponente el mismo.an bn (a b)n Calculemos el cociente 62 : 32 62 : 32 (6 6) : (3 3) (6 : 3) (6 : 3) (6 : 3)2 22El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente delas bases y por exponente el mismo.an : bn (a : b)n Calculemos, por último, (23)4 (23)4 23 23 23 23 23 3 3 3 212La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto delos exponentes.(an)m an mPotencias y raíces de números reales 1
EJERCICIOS1. Calcula las siguientes potencias.a) 34b) 45c) 62d) ( 4)3e) 562. Escribe en forma de una sola potencia.a) 54 34b) 22 42c) 34 44 543355f) 8 : 4g) 9 : 3h) xn : yn3. Escribe en forma de una sola potencia.a) (5 3)4b) (2 4)23f) (8 : 4)g) (9 : 3)5f) ( 5)4d) xn yni) ( 10)4 : 24c) (3 4 5)4h) (x : y)n4. Completa los huecos.a) 2 211 220b) ( 4)6 : ( 4) ( 4)3g) 210h) ( 3)6e) ( 5)4 ( 3)4j) ( 6)3 : ( 3)3d) (x y)ni) [( 10) : 2]4c) ( 6)3 ( 6)5 ( 6)e) [( 5) ( 3)]4j) [( 6) : ( 3)]3d) [( 1)7] ( 1)21e) (311)2 32. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO.La definición dada anteriormente de potencias de exponente natural exige que el exponente sea 1. ¿Qué sucede entonces con las expresiones , a m, , a 2, a 1, a0, a1? ¿Se les puede asignar algún número de modo que sigan siendoválidas las mismas propiedades que tienen las potencias de exponente natural?La respuesta es afirmativa. La justificación la tenemos en el siguiente cuadro, donde se aplica la definición de potencia y la propiedad del cociente de potencias.Aplicando formalmente la propiedad Si estos dos resultados debendel cociente de potenciasser el mismo, conviene tomarAplicando la definición de potenciaa5 : a5 a6 : a5 a3 : a5 a5aa6aa 5a 5 : a 5 a 5 5 a 0a0 1a a a a a a a aa a a a a1a 6 : a 5 a 6 5 a1a1 aa a a11 a a a a a a a a2a 3 : a 5 a 3 5 a 2 5a3a a a a a 1 1a a a a a 1 5a m 1amLas potencias de base un número real a y exponente entero se define así:( n veces)a n a a a con n 1a0 1 ,a1 a ,a m 1amcon m 1Con esta definición, las propiedades de estas potencias son las mismas que las de las potencias de exponente natural.Ejemplo.17 2 372 35 5 5149 3 3( 6) 3 02 5 18 :82 2 3 2 (2 3) 2 6 2 3 2(2 ) 23 ( 2 ) 2 6162 136 21( 6)3 11 216216 8 2 ( 2) 8 4 4.09612 3 : 4 3 (12 : 4) 3 3 3 133 12711 6 642Potencias y raíces de números reales 2
EJERCICIOS5. Calcula las siguientes potencias.a) 56 5 3b) ( 4) 6 : ( 4) 233e) ( 75) : 5f) (6 2) 5c) [( 3)2] 5g) 86 ( 4)66. Halla el valor de las siguientes expresiones.a) 22 42 : 8 30b) 2 32 52 : 5 53d) 32 : 2 1 32 : 2 1e)32 2 11 33 3 1d) 43 4 3h) ( 3)5 : ( 3)4c) 3 1 3 30 1 251f)2232 1 1327. Simplifica todo lo que puedas las siguientes expresiones y calcula su valor.a)( 3) 2 ( 5) ( 2) 3 8b)( 3) 2 ( 2) 3 2 212c)( 15) 3 ( 3) 1( 3) 5 5 2d)( 6) 3 9 2 ( 2) 6( 12) 53. POTENCIAS DE BASE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Utilidad de la notación potencialSi decimos que el número de quinielas de 14 partidos es 4.782.969, es fácil que a la mayoría se les olvide; pero sidecimos que es 314 (3, resultados de un partido, y 14, número de partidos), seguro que es más fácil recordarlo.La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente 300.000 km/s. Esta cantidad escrita en metros por segundo es 300.000.000 m/s. Con potencias se puede escribir así: 3 108 m/s. Expresión potencial de números muy grandesLa masa de la Tierra es, aproximadamente 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg. Utilizando potencias se escribe 5’98 1024 kg.Un año luz es la longitud que recorre la luz en un año. Su valor es, aproximadamente, 9.460.000.000.000.000 m,que utilizando potencias se escribe 9’46 1015 m. Expresión potencial de números muy pequeñosLa masa de un protón es 0’00000000000000000000000000167 kg. Con potencias se puede escribir de la forma1’67 10 27 kg.Cuando se trabajan con números muy grandes o muy pequeños surge el problema de cómo representarlos de la forma más simple posible. Solventaremos esta dificultad mediante la utilización de la notación científica.Un número en notación científica, N a’bcd 10k, consta de: Una parte entera formada por una sola cifra no nula (a es un número entero del 1 al 9). Una parte decimal. Una potencia de base 10 con exponente entero (k es un entero positivo o negativo).En esta notación el exponente k indica el orden de la magnitud.Ejemplo.Veamos algunos ejemplos de conversión a notación científica. 745’23 tiene tres dígitos enteros y, por tanto, habrá que desplazar la coma hacia la izquierda dos lugares. Luego 745’23 7’4523 102. 0’00000000569 tiene un dígito entero pero es nulo. Habrá, pues, que desplazar la coma hacia la derecha hasta el primer dígito no nulo, es decir, nueve lugares. Así, 0’00000000569 5’69 10 9.Potencias y raíces de números reales 3
En la tabla adjunta se muestran algunas potencias de 10.Con exponente positivoCon exponente negativo1 0'1 una décima101 0'01 una centésima1001 0'001 una milésima1.0001 0'0001 una diezmilésima10.000100 1 una unidad10 1 101 10 una decena10 2102 100 una centena10 3103 1.000 una unidad de millar10 43.1. Operaciones en notación científica. Para sumar 1’873 1012 4’145 1012 sacamos factor común 1012 y sumamos la parte decimal de cada número.1’873 1012 4’145 1012 (1’873 4’145) 1012 6’018 1012Cuando los exponentes son distintos, por ejemplo 1’873 1012 4’145 109, como no podemos sacar factor común se reducen a exponente común (el mayor de ellos) y operamos como anteriormente.1’873 1012 4’145 109 1’873 1012 0’004145 1012 (1’873 0’004145) 1012 1’877145 1012 Para restar dos números en notación científica se procede como en la suma: se reducen a exponente común (el mayor de ellos) y, posteriormente, se restan la parte decimal de ambos números.8’593 109 3’212 107 8’593 109 0’03212 109 (8’593 0’03212) 109 8’56088 109 Para multiplicar dos números en notación científica se multiplican las partes decimales y se multiplican los exponentes.(2’4532 106) (3’42 1012) (2’4532 3’42) (106 1012) 8’389944 1018 Para dividir dos números en notación científica se dividen las partes decimales y se dividen los exponentes.(2’25 1025) : (1’2 107) (2’25 : 1’2) (1025 : 107) 1’875 1018EJERCICIOS8. Escribe en notación científica los siguientes números.a) 1.230.000.000.000.000b) 0’000000000001230c) 14 billones9. Escribe en notación decimal los siguientes números.a) 5’213 107b) 4’723 10 6c) 0’0042 1011d) 527 billonésimasd) 87’091 10 510. La constante de Planck, 6’626176 10 34 es uno de los números positivos más pequeños que se utilizan en física.Escrito en notación decimal 0’000 6626176, ¿cuántos ceros hay después de la coma antes de la primera cifra significativa?11. Efectúa las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica.a) 7’14 104 6’234 104b) 8’273 104 1’496 106c) 1’273 10 3 4’197 105d) (5’12 103) : (1’28 10 5)e)5'24 10 5 3'7 10 72'645 103 3'9f)(2'6 10 1 ) (7'2 103 )(3'8 10 7 ) (6'5 10 4 )Potencias y raíces de números reales 4
4. RAÍCES DE NÚMEROS REALES.Anteriormente se ha calculado la raíz cuadrada de un número por aproximaciones sucesivas utilizando la estrategia«menor-mayor». Extendemos ahora este método para hallar la raíz de índice cualquiera de un número.¿Qué número positivo multiplicado por sí mismo tres veces da 15? Este número se indica con el símbolollama raíz cúbica de 15. Por definición,( 15 )33315 y se 15 . Aproximación entera: 1, 2, 3, 23 8 ; 33 27Luego 2 3 15 3El error cometido es menor que una unidad. Aproximación decimal: 2’1, 2’2, 2’3, 2’43 13’824 ; 2’53 15’625Luego 2'4 3 15 2'5El error cometido es menor que una décima. Aproximación centesimal: 2’41, 2’42, 2’43, 2’463 14’886936 ; 2’473 15’069223Luego 2'46 3 15 2'47El error cometido es menor que una centésima.Las sucesivas aproximaciones dan 2’466212 que es la expresión decimal de la raíz cúbica de 15. Este número esirracional (no periódico).Los números positivos cuyo cubo es 2, 3, 4, se designan por32,33,34 , y se llaman raíces cúbicas.Los números positivos cuya cuarta potencia es 2, 3, 4, se designan porcuartas.42,43,44 , y se llaman raícesLas raíces siguientes de números positivos se llaman raíces quintas, sextas, séptimas, y en general raíces enésimas. Todas las raíces se pueden calcular utilizando la potencia y la estrategia «menor-mayor».Raíz enésima de un número real a, se escribecumple bn a.nEn la expresiónnna , siendo n un número natural, es otro número real b quea b bn aa , n se llama índice y a radicando.4.1. Número de raíces. Radicales de índice parSi el radicando es positivo, existen dos raíces opuestas.Por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 puede ser 5 ó 5. Para distinguirlas se escribe25 5 y 25 5 .Si el radicando es 0 tiene por raíz 0.Si el radicando es negativo no tiene raíces, pues ningún número b puede ser raíz de un radicando negativo,ya que bn 0 cuando n es par.Por ejemplo, 4 no tiene raíces ya que no existe ningún número b tal que b2 4.Potencias y raíces de números reales 5
Radicales de índice imparEn este caso todo número tiene una sola raíz: positiva si el radicando es positivo, negativa si el radicandoes negativo y nula si el radicando es 0.Por ejemplo,338 2,30 0, 8 2 .En el siguiente cuadro se resume lo anterior:Índice: nParImparRadicando: aa 0a 0a 0a 0a 0a 0Nº de raíces2 raíces opuestas1 raíz nulaNo tiene raíces1 raíz positiva1 raíz nula1 raíz negativaEJERCICIOS12. Expresa en forma de potencia las relaciones siguientes.a)364 4b)nx yc)x 4d)4625 5e)597'65625 2'513. Halla aproximaciones por defecto y por exceso de las siguientes raíces con error menor que una décima.17a)b)3183c)97'8d)43.025e)5 105f) 38'24.2. Radicales equivalentes.Dos radicales diferentes que tienen las mismas raíces se dice que son equivalentes. Por ejemplo, los radicales452 y65,53 tienen la misma raíz: 2’23606 Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces.Si se multiplica o divide el índice de un radical y el exponente del radicando por un mismo número natural distinto de 0, se obtiene otro radical equivalente.nam n ka m k ,nam n:ka m:k , k 0Esta propiedad permite simplificar radicales, obtener varios radicales con el mismo índice y comparar radicales.El proceso es similar al que se utiliza con las fracciones.Para simplificar radicales se divide el índice y el exponente del radicando (nos ayudamos de la descomposición en factores primos del radicando) por un divisor común de ambos (en algunos casos es aconsejable dividirlos por el m.c.d. de estos).Ejemplo.668 23 2 21 2 , donde hemos dividido por 312625 12 5 4 3 5 , aquí hemos dividido por 418a12 3 a 2 , hemos dividido por el m.c.d. (18, 12) 6Potencias y raíces de números reales 6
Para obtener radicales con el mismo índice se procede como se explica a continuación.1. Se toma como índice común de todos los radicales el m.c.m. de los índices.2. Se multiplica el exponente de cada radicando por el cociente de dividir el m.c.m. por el índice de dicho radical.Dados dos radicales que tienen el mismo índice, es menor ( ) o mayor ( ) el que tiene menor o mayor radicando, respectivamente.Ejemplo.Reduce a común índice y ordena los siguientes radicales:423 ,2 y625 .Tomamos como índice común el m.c.m. (2, 4, 6) 12 y hallamos los radicales equivalentes a los dadoscon índice 12:412 : 4 3 23 Ordenación:1229 ; 12 : 2 6 2 642 23 25 pues1226 1229 12626 ; 12 : 6 2 25 12 10212 102EJERCICIOS14. Simplifica las siguientes expresiones radicales:824 ,6125 y51.02415. Reduce a común índice y ordena los siguientes radicales.a)37,54 y52b)58,615 y494.3. Potencias de exponente racional.Hasta ahora se han definido las potencias de exponente entero. ¿A las expresiones a1/2, a2/3, a 1/7, a 5/9, se les puede asignar algún número de modo que sigan siendo válidas las mismas propiedades que tienen las potencias de exponente entero? A continuación vamos a justificar la definición de estas potencias.Aplicando la definición ylas propiedades de las raíces( a) aa3 ( a)255Para que se sigan cumpliendolas propiedades de las potenciasPara que estos dos resultadossean el mismo, conviene tomar1 2a2a1 / 2 a(a31/ 2 2) 1 a1 a 35( a1 / 5 ) 3 a 5 a 3 / 5a3/ 5 a3Para que se sigan cumpliendolas propiedades de las potenciasPara que estos dos resultadossean el mismo, conviene tomarEn general:Aplicando la definición ylas propiedades de las raíces( a) aam ( a)nnnn1(a 1 / n ) n a nm n1(a 1 / n ) m a n a1 a m am/na1/ n n anam/n amUna potencia de exponente racional a m / n es igual a un radical donde: el denominador de la fracción es el índice del radical; el numerador de la fracción es el exponente del radicando.na1/ n n a ; a m / n a mPotencias y raíces de números reales 7
Ejemplo.Calculemos las siguientes potencias de exponente racional utilizando las propiedades de las raíces y las delas potencias.a) 4 3 / 2 4 3 64 8 2 8 ; 4 3 / 2 (2 2 ) 3 / 2 232 323 23 8b) 85 / 3 85 3 32.768 323 32 ; 85 / 3 (23 ) 5 / 3 23 53 25 32EJERCICIOS16. Escribe en forma radical las siguientes potencias de exponente racional.a) 21/2b) 7 1/2c) 72/3d) 9 1/3e) 50’5f) 510/5h) 8 2/3g) 120’217. Escribe como potencias los siguientes radicales.a)37 1b)c)352d)39 2e)3135f)10135g)6512h)35 24.4. Propiedades de las raíces.Las siguientes reglas indican como se opera con radicales. Para demostrarlas basta elevar a la potencia del índice losdos miembros y comprobar que el resultado es el mismo.Veamos, por ejemplo, el valor de2 3 :Si elevamos al cuadrado y aplicamos la definición de raíz,Luego2 3) ( 2) ( 3)222 2 3 62 3 es un número que, elevado al cuadrado, da 6; el número que cumple esta condición es62 3 6Por tanto,PropiedadEjemplona n b n a b2 3 6na :n b n a:b( a)(nmmna mn a512 : 5 4 5 3( 6)3n am3 5 63 21612 15 12 5 3 12DescripciónEl producto de dos radicales del mismo índicees otro radical que tiene por índice el común ypor radicando el producto de los radicandos.El cociente de dos radicales del mismo índice esotro radical que tiene por índice el común y porradicando el cociente de los radicandos.La potencia de una raíz es otra raíz que tiene poríndice el mismo y por radicando la potencia delradicando.La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando elmismo.Estas propiedades permiten introducir o sacar factores del radical y simplificar raíces. Fíjate en los siguientesejemplos.Ejemplo. Introducir en la raíz los factores que están fuera en las siguientes expresiones: 2 3 y 23 5 .2 3 2 2 3 4 3 4 3 12 2 3 12323 5 2 3 3 5 3 8 3 5 3 8 5 3 40 23 5 3 40 Sacar fuera de la raíz los factores posibles en las siguientes expresiones:200 y3250 .200 2 3 5 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 10 2 200 10 2333250 53 2 53 3 2 53 2 3 250 53 2Potencias y raíces de números reales 8
EJERCICIOS18. Realiza las siguientes operaciones utilizando radicales y potencias de exponente racional.a) 2 32b)33 3 92 80'5c)d)2 3 15e)3f) 3 2 5 82 5 319. Expresa como potencia y raíz única las siguientes expresiones.a)( x)1/ 3b)x :3 x5x 3 x x2c)d)35x21e)f)x xx3x20. La raíz cuadrada de la raíz cúbica de un número positivo, ¿a qué equivale? Pon un ejemplo. Indica ahora cómo secalcula la raíz sexta del número positivo 15.625.21. Si sabes calcular la raíz cuadrada de un número, ¿puedes hallar la raíz octava de cualquier número positivo? Aplícalo a865.536 .22. Introduce o saca factores del radical.b) 43 7a) 2 5d) 53 2c) 5 3e)45f)354g)1.200h)350023. Calcula las siguientes divisiones de radicales.15 : 3a)b)2 : 3 323: 4c)d)8:4 2e)381 : 3 9f)39 :6 324. Calcula, sin utilizar la calculadora, las siguientes raíces.0'25a)b)318c)30'2162 12d)e)3764.5. Radicales semejantes.Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.Ejemplo.35 , 63 5 y340 son radicales semejantes, pues33340 23 5 2 3 3 5 23 5 .Observa que para la obtención de radicales semejantes nos ayudamos sacando factores de las raíces.Recuerda que las propiedades de las raíces hacían referencia al producto y cociente de éstas. Ahora además, si operamos con radicales semejantes, podremos realizar operaciones de sumas y restas; para ello es suficiente sacar factorcomún en tales expresiones.Ejemplo.63 5 3 40 63 5 23 5 (6 2)3 5 43 52 8 18 32 2 2 2 3 2 4 2 (1 2 3 4) 2 2 2EJERCICIOS25. Suma los siguientes números sacando previamente los factores posibles.45 20 500 80a)c)354 3 1624 5 6 48612d) 23 81 3 3 3 2435b)26. Suma los siguientes radicales reduciéndolos previamente a radicales semejantes.a)x xy 2 xy 4 xy 6b)5 x 45 x 180 x 80 xc)24 xy 2 5 6 x 3 486 x 5 y 4Potencias y raíces de números reales 9
4.6. Racionalización.En las operaciones con radicales aparecen a veces fracciones con radicales en el denominador. Racionalizar consisteen hallar una fracción equivalente que no tenga en el denominador radicales. El proceso a seguir consiste en multiplicar por una expresión adecuada numerador y denominador. En aquellas fracciones en las que en el denominador figure una expresión del tipoa , multiplicaremos numera-a.dor y denominador por la misma expresión Las expresiones a b y a b , y las del tipo a b y a b , se dice que son conjugadas. En las fracciones cuyo denominador aparezca alguna de estas expresiones, las racionalizaremos multiplicando numerador ydenominador por la expresión conjugada del denominador.5Ejemplo. 332 25 3( 3) 32 135 25 333 2( )2 2 3 2 3 2 2 24()3 2 1() 33 2 12 3 3 2 32 1)( 2 1) ( 2 ) 123( 5 2 )3( 5 2 )3( 5 2 ) 3( 5 2 ) 225 232 ( 5 2 )( 5 2 ) ( 5 ) ( 2 ) (22 1 25 2EJERCICIOS27. Racionaliza las siguientes fracciones.a)2b)56c)x5d)4 310e)3 51 53f)2 xx28. Halla el valor de las siguientes expresiones.a)32 12b)37 24c)23 32d)23 12 329. Multiplica por su conjugada cada una de las expresiones siguientes.a) 2 xb)x 2c)30. Racionaliza las siguientes fracciones.28 5a)b)c)3 57 3x y9x yd)1 x1 xPotencias y raíces de números reales 10
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Calcula las siguientes potencias.a) 34b) 45c) 62a) 81b) 1.024c) 36d) ( 4)3d) 64e) 56e) 15.625f) ( 5)4f) 6252. Escribe en forma de una sola potencia.a) 23 24b) 35 33 34c) ( 7)2 ( 7)5942 3f) x xg) (5 )h) [( 2)2]3712a) 2b) 3c) ( 7)7136f) xg) 5h) ( 2)6 26d) 45 : 42i) ( 2)9 : ( 2)5d) 43i) ( 2)4 243. Escribe en forma de una sola potencia.a) 54 34b) 22 4233f) 8 : 4g) 95 : 354a) 15b) 82f) 23g) 35d) xn yni) ( 10)4 : 24d) (x y)ni) ( 5)4 54c) 34 44 54h) xn : ync) 604h) (x : y)n4. Completa los huecos.a) 2 211 220b) ( 4)6 : ( 4) ( 4)3a) 9b) 3c) ( 6)3 ( 6)5 ( 6)c) 85. Calcula las siguientes potencias.a) 56 5 3b) ( 4) 6 : ( 4) 233e) ( 75) : 5f) (6 2) 53a) 5 125b) ( 4) 4 1/2563e) ( 15) 3.375f) 610 60.466.176e)h) ( 3)6h) 729e) 76 : 73j) ( 9)7 : ( 9)4e) 73j) ( 9)3e) ( 5)4 ( 3)4j) ( 6)3 : ( 3)3e) 154j) 23d) [( 1)7] ( 1)21d) 3c) [( 3)2] 5g) 86 ( 4)6c) ( 3) 10 1/59.049g) ( 32)6 1.073.741.8246. Halla el valor de las siguientes expresiones.a) 22 42 : 8 30 3b) 2 32 52 : 5 53 138d) 32 : 2 1 32 : 2 1 29/2g) 210g) 1.024e) (311)2 3e) 22d) 43 4 3h) ( 3)5 : ( 3)4d) 40 1h) ( 3)1 3c) 3 1 3 30 1 251 2432 2 11 35/633 3 1f)3222 1 1 53/3327. Simplifica todo lo que puedas las siguientes expresiones y calcula su valor.a)( 3) 2 ( 5) ( 2) 3 8a) 32 ( 5) 45b)( 3) 2 ( 2) 3 2 212c)( 15) 3 ( 3) 15( 3) 5d)2c) ( 3) 3 5 5/27b) 3 ( 23) 248. Escribe en notación científica los siguientes números.a) 1.230.000.000.000.000b) 0’00000000000123015a) 1’23 10b) 1’23 10 12( 6) 3 9 2 ( 2) 6( 12) 5d) 2 1 32 9/2c) 14 billonesc) 1’4 10139. Escribe en notación decimal los siguientes números.a) 5’213 107b) 4’723 10 6c) 0’0042 1011a) 52.130.000b) 0’000004723c) 420.000.000d) 527 billonésimasd) 5’27 10 10d) 87’091 10 5d) 0’0008709110. La constante de Planck, 6’626176 10 34 es uno de los números positivos más pequeños que se utilizan en física.Escrito en notación decimal 0’000 6626176, ¿cuántos ceros hay después de la coma antes de la primera cifra significativa?33 464786'626176 10 34 0' 0 KKK 0662617611. Efectúa las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica.a) 7’14 104 6’234 104b) 8’273 104 1’496 106c) 1’273 10 3 4’197 1055'24 10 5 3'7 10 7d) (5’12 103) : (1’28 10 5)e)a) 1’3374 1015d) 4 10 8b) 1’41327 106e) 1’96421155 10 832'645 10 3'9f)(2'6 10 1 ) (7'2 103 )(3'8 10 7 ) (6'5 10 4 )c) 5’342781 102f) 7’5789473 10 2Potencias y raíces de números reales 11
12. Expresa en forma de potencia las relaciones siguientes.364 43a) 4 64a)nx 42c) 4 xx ynb) y xb)4625 54d) 5 625c)d)597'65625 2'5e) 2’55 97’65625e)13. Halla aproximaciones por defecto y por exceso de las siguientes raíces con error menor que una décima.17a)3b)18397'8c)d)d) 7'4 3.025 7'58125 5 y524 ,5 105f) 38'2c) 9'8 97'8 9'9e) 2'6 105 2'514. Simplifica las siguientes expresiones radicales:6e)5424 2 ,3.025b) 5'6 3 183 5'7a) 4'1 17 4'2846f) No tiene raíces ¿por qué?125 y51.0241.024 415. Reduce a común índice y ordena los siguientes radicales.a)3a)37 15b)58 30 187,554 y2b)16.807 ,2,654 15 301558,564 y15 5 y462 9 415 y159830 153 52 54 37 58 6 15 4 916. Escribe en forma radical las siguientes potencias de exponente racional.a) 21/2b) 7 1/2c) 72/3d) 9 1/3e) 50’5f) 510/511c) 3 49b)d)f) 25e) 5a) 2379h) 8 2/31h)4g) 120’2g) 5 1217. Escribe como potencias los siguientes radicales.b) 7 1b) 7 1/2a) 3a) 31/2d) 9 2d) 9 2/33c) 3 52c) 52/3310e) 135e) 135/3h) 5 2f) 5 2/36f) 135f) 131/23g) 512g) 52 2518. Realiza las siguientes operaciones utilizando radicales y potencias de exponente racional.3a) 2 32b)a) 8b) 33 3 9c)2 80'5d)2 3 15e)d) 6 1.800 3'49c) 43f) 3 2 5 82 5 3e) 15 864 1'57f) 15 16.384 1'9119. Expresa como potencia y raíz única las siguientes expresiones.a)( x)1/ 3x :3 xb)a) x1/6 ; 6 xc)b) x1/6 ; 6 x5x 3 x x2c) x37/30 ;30x 37d)35x2d) x2/15 ;e)15x21f)x x1e) x 3/2 ;x3x3xf) x2/3 ;3x220. La raíz cuadrada de la raíz cúbica de un número positivo, ¿a qué equivale? Pon un ejemplo. Indica ahora cómo secalcula la raíz sexta del número positivo 15.625.Se deja para que lo resuelva el alumno.21. Si sabes calcular la raíz cuadrada de un número, ¿puedes hallar la raíz octava de cualquier número positivo? Aplícalo a 8 65.536 .Se deja para que lo resuelva el alumno.22. Introduce o saca factores del radical.a) 2 5a)20b) 43 7b)3d) 53 2c) 5 3448c)75d)3e)25045f)3543e) 3 5f) 3 2g)1.200g) 20 3h)35003h) 5 423. Calcula las siguientes divisiones de radicales.a)15 : 3b)a)5 2'24b)2 : 3 32162 2 0'458:4 2c)3: 4c)3 0'87 d) 24 2 2'382d)e)381 : 3 9e) 3 9 2'08f)f)39 :6 33 1'73Potencias y raíces de números reales 12
24. Calcula, sin utilizar la calculadora, las siguientes raíces.0'25a)18b) 1/2 0’5b)a) 1/2 0’5c)330'2162 12d)c) 3/5 0’6e)d) 1/64 0’015625376e) 4925. Suma los siguientes números sacando previamente los factores posibles.45 20 500 80 5a)c)324 5 6 486 6 61283 3d) 23 81 3 3 3 24 33515b)54 3 16 3 226. Suma los siguientes radicales reduciéndolos previamente a radicales semejantes.a)x xy 2 xy 4 xy 65 x 45 x 180 x 80 xb)a) (1 y y 2 y 3 ) x24 xy 2 5 6 x 3 486 x 5 y 4c)c) (4 y 5 x 9 x 2 y 2 ) 6 xb) 6 5 x27. Racionaliza las siguientes fracciones.a)a)2b)52 55b)6c)x6 xxc)5d)4 35 312d)10e)3 52 53e)1 533 153f)f)2 xx2 x xx28. Halla el valor de las siguientes expresiones.a)a)32 123 2 12b)b)37 24c)12 7 7 228c)23 3d)24 3 9 26d)23 12 35 3629. Multiplica por su conjugada cada una de las expresiones siguientes.a) 2 xb)x 2a) 4 xb) x 4x yc)c) x y30. Racionaliza las siguientes fracciones.a)a)23 53 52b)8 57 3(b) 2 35 159c))c)x y9(x yx yd))d)1 x1 x1 2 x x1 xPotencias y raíces de números reales 13
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por x- e ponente la suma de los exponentes. an am an m Calculemos ahora 56: 54 2 4 6 6 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 :5 El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene .
