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2Potencias y raícesLas matemáticas siempre fueron una herramienta para resolver problemascotidianos. ¿Cuánto mide este terreno? ¿Cómo hemos de repartirnos lacosecha? ¿Cómo utilizar las estrellas para orientarnos?Hasta el siglo vi a.C. no aparecen los primeros matemáticos teóricos, estudiosos interesados por la investigacióny el desarrollo de la ciencia, independientemente de su utilidad práctica.GRECIACrotonaSiracusaETres siglos después aparece en escena Arquímedes, nacido en la colonia griega de Siracusa, en Sicilia (actualItalia). Además de gran matemático, fue un extraordinariocalculista. Y gracias a esto, ideó un sistema para describirnúmeros enormes. Estaba basado en la potencias de base10, que estudiarás en esta unidad.Nombre y apellidos: . Fecha: . Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.l primer gran teórico de las matemáticas fue Pitágoras. Este griego, gran viajero, acabó asentándose enel sur de Italia, donde fundó una secta místico-científicaque rendía culto a la astronomía.226ÁreafotocopiableADAPTACIÓN CURRICULAR

12UNIDADPotenciasUna potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:a · a · a · a · a a5En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que serepite, exponente.En la webabConcepto de potencia.exponentebase Se lee: a elevado a b.Ejemplos Expresar cada producto en forma de potencia:a) 3 · 3 · 3 · 3 34 Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta.b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 25 Dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta. Calcular estas potencias.Números y geometríael cuadrado55El cuadrado de 5 es52 5 · 5 25(25 cuadraditos).5b) 104 10 · 10 · 10 · 10 10 000Dos potencias especiales: el cuadrado y el cuboElevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.Por ejemplo: 72 7 · 7 49 El cuadrado de 7 es 49.Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.el cuboPor ejemplo: 73 7 · 7 · 7 343 El cubo de 7 es 343.El cubo de 5 es53 5 · 5 · 5 125(125 cubitos).5a) 73 7 · 7 · 7 3435¿Cómo representarías geométricamente los números 32 y 33? ¿Seríascapaz de idear una forma de representar también 34?Las potencias en la calculadoraLas potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados números grandes.Por ejemplo:96 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 81 · 9 · 9 · 9 · 9 729 · 9 · 9 · 9 531 441Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con unacalculadora. En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas * e .96 9 ** 92 93 94 95 { «‘ ‘} 96 Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado. En una calculadora científica, utilizaremos la tecla ‰.96 9 ‰ 6 { «‘ ‘}Nota: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calculadoras sencillas dan error mientras que las científicas lo dan en formatos como este:458 [VCWHJCGCDGEKÀÍÏ]que significa que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 13 vecespor 10 (esto es, desplazar la coma decimal 13 lugares a la derecha).19Nombre y apellidos: . Fecha: .227ADAPTACIÓN CURRICULARÁreafotocopiable

En la webPiensa y practica1. Expresa con una potencia.a) 6 · 6c) 7 · 7e) 10 · 10 · 10g) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 310. Calcula expresando el proceso paso a paso.b) 6 · 6 · 6d) 5 · 5f)4 · 4 · 4 · 4h) 10 · 10 · 10 · 10 · 102. Lee estas potencias y exprésalas como producto:a) 34d) 152b) 27e) 106c) 93f ) 204baseexponente5326a4m54. Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor.a) 23d) 203b) 52e) 104c) 43f ) 1125. Calcula con lápiz y papel.a) 28d) 94g) 123b) 35e) 152h) 304a) 82 8b) 33 – 32c) 53 – 52 5d) (92 – 72) 42e) (26 – 24)5 – 24f ) (82 – 72)2 – 2 · 102 – 2511. ¿Verdadero o falso?a) Elevar un número al cubo es igual que multiplicarlo por sí mismo tres veces.b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro.c) El cuadrado de 10 es 20.3. Completa la tabla en tu cuaderno.potenciaPractica el concepto de potencia y algunos cálculos sencillos.c) 123f ) 852i) 1003d) El cubo de 10 es 1 000.e) Trece a la quinta es igual que cinco elevado a trece.12. Álvaro dibuja tres cuadrados, uno de 5 cm de lado,otro de 12 cm de lado y el tercero de 13 cm de lado.Después colorea de rojo los dos primeros y de verdeel último. ¿Qué superficie es mayor, la verde o la roja?13. Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados, unode diez cuadrados de lado y otro de cinco.¿Hay en el primero el doble de cuadrados que en elsegundo? Explica tu respuesta.14. Estos edificios tienen el mismo número de ven-tanas en todas sus caras. Expresa con una potencia de base cinco, y calcula, cuántas hay en total.6. Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora:a) 115d) 1363b) 623e) 1014c) 374f ) 14047. Escribe el valor de cada exponente:b) 3 y 81d) 8m 512f ) 30t 810 00015. Expresa con potencias el número de cubos unitariosque hay en cada construcción poli-cubo:8. Calcula el valor de la base, a, en cada caso:a) a4 16d) a4 2 401b) a2 25e) a3 1 0009. Escribe los cuadrados de los veinte primeros númerosnaturales.12 12232 4 9 Bc) a3 64f ) a10 1 024ACD202 40020Nombre y apellidos: . Fecha: . Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.a) 2x 64c) 6z 36e) 10n 10 000228ÁreafotocopiableADAPTACIÓN CURRICULAR

22UNIDADPotencias de base 10. AplicacionesYa sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Así:Reflexiona102 10 · 10 100103 10 · 10 · 10 1 000¿Qué es más cómodo de escribir y deinterpretar?1 000 000 000 000105 100 000109 1 000 000 00010129 cerosUna potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros comoindica el exponente.Expresión abreviada de números grandesLos números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un número por una potencia de base 10.Por ejemplo: 400 000 4 · 100 000 4 · 105Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes.Por ejemplo:En un gramo de oxígeno hay 37 638 383 060 000 000 000 000 átomos.37 638 383 060 000 000 000 00021 cifrasEn un gramode oxígeno hay38 · 1021átomos.EjemploUn año luz: 9 460 800 000 000 km. Observa las transformaciones que hacemos paraque esta cantidad sea más fácil de leer, de escribir y de recordar: Redondeamos, dejando dos cifras significativas 9 500 000 000 000 Descomponemos en producto 95 · 100 000 000 000 Expresamos el segundo factor como una potencia de base 10 95 · 1011Un año luz equivale a 95 · 1011 km.Piensa y practica Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.1. Escribe como potencias de base 10.3. Escribe el valor de x en cada caso:a) Un millar.b) Un millón.a) 2 936 428 29 · 10 xc) Mil millones.d) Un billón.c) 19 570 000 000 000 20 · 10 x2. Expresa con todas sus cifras.a) 4 · 105b) 15 · 109c) 86 · 1014d) 12 · 103e) 10 · 106f ) 894 · 1010b) 3 601 294 835 36 · 10 x4. Escribe en notación abreviada los datos que siguen:a) El número de moléculas elementales en un litro deagua es 334 326 000 000 000 000 000 000.b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarenta billones de kilómetros del Sol.21Nombre y apellidos: . Fecha: .229ADAPTACIÓN CURRICULARÁreafotocopiable

3Raíz cuadradaCalcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.b2 a ) a bEjemplos 42 16 16 4 La raíz cuadrada de 16 es 4. 152 225 — a b225 15 La raíz cuadrada de 225 es 15.raíz Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b.radicandoNo lo olvidesRaíces exactas y raíces enterasTe conviene memorizar los primeroscuadrados perfectos. Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos:12 122 432 942 1652 2562 3672 4982 6492 81102 100112 121122 144132 169142 196152 225162 256172 182 12 - 22 - 32 - 42 - 52 - - 82 - - 112 - - 202 - 149 16 2564121400La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes:9 3121 11400 20 Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras.Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40:6 2 36 40La raíz cuadrada de 40 es un4 6 40 7 número comprendido entre 6 y 7.7 2 49 40Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raízentera.40 6 La raíz entera de 40 es 6.Ejercicios resueltos1. Calcular mentalmente 900 .900 30 Raíz exacta2. Teniendo en cuenta los datos del cuadro, cal-cular 1440 , 1 444 y 1 580 .1440 37 Raíz entera1444 38 Raíz exacta37 2 1 36938 2 1 44439 2 1 52140 2 1 6001580 39 Raíz entera22Nombre y apellidos: . Fecha: . Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.x2 900 302 900 230ÁreafotocopiableADAPTACIÓN CURRICULAR

2UNIDADPiensa y practica1. Copia y completa, como en el ejemplo.4. Escribe en tu cuaderno los cuadrados perfectos com-prendidos entre 200 y 900. 25 5 " La raíz de 25 es igual a 5.a) 49 7 " 152162172182 302b) 64 " 225256289324 9005. Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejerci-c) 81 " cio anterior.d) 121 " 2. Calcula mentalmente.a) 4b) 9c) 36d) 400e) 900f ) 3 600g) 6 400h) 8100i) 10 000a) 289b) 361c) 484d) 576e) 676f ) 8416. Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz esexacta o entera.3. Calcula la raíz entera en cada caso:502 2 500512 2 601522 2 704532 2 809542 2 916552 3 025a) 5b) 10c) 24d) 32e) 39f ) 50a) 2 550b) 2 601c) 2 725g) 68h) 92i) 105d) 2 815e) 2 916f ) 2 929Ejercicios y problemas6.Cálculo de potencias1.Calcula mentalmente.a) 242. Grupo Anaya, S. A. Material fotocopiable autorizado.3.4.c) 35d) 204e) 300Copia en tu cuaderno y completa.3 8 000b)2 4 900c)4 10 000d)4 160 000b) 10x 10 000c) 7x 2 401d) 13x 2 1979.Calcula con lápiz y papel.b) 95c) 110d) 153e) 164Obtén con la calculadora.a) 412b) 510c) 453Escribe con todas sus cifras.a) 1028.Calcula el exponente en cada caso:a) 2x 256Potencias de base 10.Expresión abreviada de números grandes7.a)a) 555.b) 63Escribe todos los cuadrados perfectos comprendidos entre 1 000 y 1 500.c) 1010d) 1012e) 1016Escribe como potencia de base 10.a) Cien.b) Cien millones.c) Cien billonesd) Cien mil billones.Expresa con todas sus cifras.a) 13 · 10710.b) 106b) 34 · 109c) 62 · 1011Transforma como el ejemplo. 180 000 18 · 104d) 674e) 993a) 5 000b) 1 700 000c) 4 000 000 00023Nombre y apellidos: . Fecha: .231ADAPTACIÓN CURRICULARÁreafotocopiable