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Lección 1Vectores en el plano cartesianoAprenderé a: identificar y describir puntos en el plano cartesiano. Representar gráficamente vectores en el plano y deducirla distancia entre dos puntos en el plano y aplicarla al cálculo de módulo de un vector.RepasopelTucaoUnidad 3 - Vectoresto148-ColColoRené Descartes fue unode los grandes filósofos ycientíficos del siglo XVII.Inventó la geometríaanalítica, unificando lageometría y el álgebra,al mostrar en su obraGéométrie (1637) que susistema de ecuacionescuadráticas unificaba lascurvas llamadas cónicas.Ello también posibilitó eldesarrollo de la física y laingeniería.Sin embargo, Descarteses más conocido por suprincipio filosófico “pienso,luego existo” (deduzcoque existo porque puedopensar).Vicente caminó por AníbalPinto hasta Chacabuco, ydobló hacia su derechahasta Colo-Colo. Andrease fue por O’Higgins hastallegar a Tucapel.Plaza PerúsginO Hignal PiInvitado especialPlaza de laIndependenciaAníb1. Dibuja un planocartesiano y ubicalos siguientespuntos:a. P(4, 5)b. Q(–2, 3)c. R(3, –2)d. S(0, 4)Observa el siguiente mapay sigue las trayectoriasque han hecho Vicente yAndrea, desde la Plaza dela Independencia:oabucChac ¿Quién recorrió más?, ¿por qué? Más tarde, Vicente y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo serepresenta el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su desplazamientototal, en cada caso?Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada uno.¿Quién se desplazó más? Justifica.El desplazamiento, tal como la velocidad y la fuerza, es un vector.Un vector se caracteriza por su: módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representagráficamente por la longitud de la flecha. dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espacio de la rectaque lo contiene. sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo delvector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.El vector se representa por un segmento orientado con origen en A y extremo en B, se representa por el símbolo AB . La distancia entre A y B representa gráficamente el módulo del vector AB .Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son paralelos (luego, tienenla misma dirección), tienen el mismo sentido y el mismo módulo o magnitud, sin importar dónde está ubicado su origen. Si alguna deestas condiciones no se cumple, decimos quelos vectores son distintos.Además, decimos que dos vectores son opuestossi tienen igual módulo y dirección, pero sentidocontrario.

Unidad3Con los vectores se pueden calcular algunas operaciones;por ejemplo, una forma de determinar gráficamenteel vector suma s a b es dibujar uno de ellos, porejemplo a y luego representar el vector b colocandoel origen de b en el extremo de a . Entonces, el vectorsuma tiene su origen en el origen de a y su extremo,en el extremo de b ."a"a"b"b"" "s a bTomo nota Un vector es un segmento de recta dirigido caracterizable mediante una magnitud o módulo, unadirección y un sentido. Un vector puede representarse usando flechas sobre las letras correspondientes al punto inicial y"final, esto es, AB o bien, sobre una letra minúscula, es decir, u . Dos vectores son iguales solo si son paralelos, con igual sentido y con el mismo módulo, a la vez.El vector 0 corresponde a un vector, pero de módulo 0, y se considera que no tiene direcciónni sentido.A ctividades1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica.a.c.b.A2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina:a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo;b. una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo;c. una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección.BFCE3. En cada caso, dibuja dos vectores:a. que tengan la misma dirección, distinto sentido y que el módulo de uno sea eltriple del módulo del otro;b. con el mismo módulo, pero distinta dirección;c. de la misma dirección, el mismo sentido y módulos diferentes;d. de módulo y dirección iguales, pero distintos sentidos.DDesafío¿Qué diferencias hay entre ?AB y BA4. A partir de la siguiente figura, determina en cada caso, si el enunciado esverdadero o falso.ba. a b fe. k g fb. c d – e ff. g h e dc. e d g hg. h – c g – fd. a b k g 0h. a b c h g 0afgkchedVectores - Unidad 3149

Lección 1Cuando el origen de un vector coincide con el origen de un sistema de coordenadas,su extremo coincidirá con un punto del plano y lo representamos utilizando estepunto y con paréntesis rectos, por ejemplo v 〈x, y〉.8Si el vector está descrito usando sus coordenadas cartesianas, digamosv 〈x, y〉, podemos calcular el valor de su módulo, que representamos como v , utilizando el teorema de Pitágoras.YComo se cumple que v 2 x2 y2, tenemos que v x2 y2 .vX¿Cómo hacerlo?Calcula el módulo del vector 〈6, 8〉.XUtilizando la expresión anterior y ya que el valor de x es 6 y el valor de y es 8,podemos calcular v 62 82 36 64 100 10.6Por otra parte, si el origen del vector no coincide con el origen del sistema de coordenadas, podemos calcular la diferencia, componente a componente, entre el extremoy el origen del vector para obtener la representación cartesiana del vector.y2YDicho de otra manera, si v tiene su origen en el punto P(x1, y1) y su extremoen el punto Q(x2, y2), podemos calcular v 〈x2 – x1, y2 – y1〉.Qvx1PXx2y1XREn este caso, ya que conocemos los puntos P y Q, para determinar elmódulo del vector PQ podemos calcular la distancia entre el origen yel extremo del vector. Considera el punto R, de coordenadas (x2, y1),entonces la medida de los lados estaría dada por:QR (x2 – x1) y RP (y2 – y1).Aplicando ahora el teorema de Pitágoras, obtenemos que PQ 2 (x2 – x1)2 (y2 – y1)2, de donde PQ (x2 – x1)2 (y2 – y1)2¿Cómo hacerlo?Si A (–5, 2) y B (7, 3), determina el vector AB y calcula su módulo.Como el origen de AB corresponde al punto (–5, 2) y su extremo al punto (7, 3),entonces, podemos calcular AB (7 – –5)2 (3 – 2)2 122 12 144 1 145 .Tomo nota 150Un vector OP que va desde el origen del plano cartesiano al punto P, se denomina vector posiciónde P y se representa por p . Las componentes de p coinciden con las coordenadas del punto P(px, py),dado que p 〈px – 0, py – 0〉 〈px, py 〉."Si el origen y extremo de un vector v en el plano cartesiano corresponden a los puntos P(x1, y1) yQ(x2, y2), respectivamente, entonces la representación cartesiana de ese vector está determinadapor: v PQ 〈x2 – x1, y2 – y1〉.El módulo de un vector, que está asociado a su longitud, se puede calcular mediante la expresión: v x2 y2 , si v 〈x, y〉.Unidad 3 - Vectores

Unidad3A ctividades1. Dibuja los siguientes vectores, centrados en el origen del plano cartesiano, y cuyo extremo es el puntodado, en cada caso. Luego, calcula su módulo.a. A(3, 4)c. C(–9, –12)e. E(–1, 0)b. B(–7, 12)d. D(–13, 12)f. F(0, –4)2. Considera que a 〈–4, 5〉, b 〈6, –3〉 y c 〈–2, –2〉.a. Grafica los vectores a , b y c .b. Determina v de modo que v a b – c .c. Calcula el módulo de v .3. Determina el vector, en cada caso, a partir de los puntos: A (25, 4), B (7, 22), C (21, 29) y D (2, 6).Luego, calcula su módulo.a. ABd. BAg. CBb. ACe. BDh. BCc. ADf. DCi. DA4. Los puntos A(–1, 1), B(2, 0) y C(0, 2) son los vértices de un triángulo. Determina las coordenadas de losvectores que forman sus lados.5. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte a las doce en punto, representa gráficamente elvector desplazamiento de su punta, en cada caso, después de:a. quince minutos.b. media hora.c. tres cuartos de hora.d. una hora.6. Si los puntos A(1, 1), B(1, 3) y C(7, 3) son los vértices del paralelogramo ABCD, calcula:a. las coordenadas de D.b. el vector BD .7. ¿Cuántos vectores se pueden formar con los puntos A(4, 1), B(2, 5), C(0, 3) yD(–1, –2)? Descríbelos utilizando sus coordenadas y represéntalos gráficamente.8. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f 1 〈6, 8〉, f 2 〈–15, 20〉, f 3 〈–4, –16〉.Calcula:a. la magnitud del vector resultante;b. la dirección del vector resultante.DesafíoDos vectores dedesplazamiento centradosen el origen tienenmódulos iguales a 6 my 8 m.¿Cuál debe ser la direccióny sentido de cada uno deestos vectores para quela resultante tenga unmódulo igual a 14 m?,¿a 2 m?, ¿y a 6 m?Representa gráficamentecada caso.Vectores - Unidad 3151

Lección 1La adición (o sustracción) de vectores a partir de su representación cartesiana seefectúa a través de sus coordenadas, sumando (o restando) componente a componente. Es decir, al sumar los vectores a 〈2, 3〉 y b 〈–1, 2〉, el vector a b se calcula:〈2, 3〉 〈–1, 2〉 〈2 –1, 3 2〉 〈1, 5〉.Tal como en los números en general, la multiplicación puede interpretrar como lasuma iterada de uno de sus factores, con los vectores, podemos representar la adicióniterada de un mismo vector como el producto de un escalar con un vector.En este caso, cuando se calcula el producto por un escalar de un vector, obtenemosun nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud ysentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado.¿Cómo hacerlo?Dados los vectores a 〈–6, 2〉 y b 〈3, –4〉, ¿cuánto resulta 5 · (a b )?5 · (a b ) 5 · a 5 · bSe distribuye el producto sobre la suma 5 · 〈–6, 2〉 5 · 〈3, –4〉Remplazamos cada vector 〈–30, 10〉 〈15, –20〉Aplicamos el producto del escalarpor el vector, en cada caso 〈–30 15, 10 –20〉Sumamos los vectores obtenidos 〈–15, –10〉YlvvXSi λ es un escalar y v un vector, decimos que λ · v es un vector ponderado de v .El vector ponderado mantiene siempre la dirección de v , pero cambia su módulo,según el valor de λ, y su sentido, cuando λ es un número negativo.Utilizando un vector ponderado, podemos representar una pareja de vectores paralelos como un vector ponderado uno del otro, si determinamos cuál es el valor de λcorrespondiente.Tomo nota La suma de dos vectores v y w , de coordenadas v 〈a, b〉 y w 〈c, d〉 es el vector resultante 〈a c, b d〉.El producto de un escalar λ por un vector v , de coordenadas 〈x, y〉, es otro vector dado por λ"v , y lodefinimos como: λv λ · 〈x, y〉 〈λ · x, λ · y〉."Decimos que λv es un vector ponderado de v .El vector ponderado λv tiene las siguientes características:-- Mantiene la dirección de v .-- λv λ · v .-- Si λ 0, el vector mantiene el sentido de v .Si λ 0, el vector cambia de sentido."λv"v-- Si λ 0, entonces λv 0 (vector nulo). 152Podemos expresar dos vectores paralelos, uno como ponderado del otro: w λv o bien, v μw .Unidad 3 - Vectores