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Estrategias didácticas para eldesarrollo de competenciasmatemáticasHoracio SolarFacultad de EducaciónPontificia Universidad Católica de Chilehsolar@uc.cl
Antecedentes ¿Qué son las competencias matemáticas? La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticasen distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización deconceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir,explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que lasmatemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones bienfundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivosnecesitan. (PISA, 2015, pág. 9) Formular, emplear e interpretar son procesos matemáticos. “Existe un conjunto de capacidades matemáticas fundamentales que sustentancada uno de los procesos descritos y la competencia matemática“ (PISA, 2015,pág. 15)
capacidades- competencias- habilidadesAbrantes 20018 competenciasNiss 19998 competenciasInglaterra, 20074 procesos claveNCTM, 20005 estándares deprocesosBases curriculares 20124 habilidades
A medida que aumenta el nivel de competencia matemática de unindividuo, este puede progresar hacia un nivel cada vez mayor decapacidades matemáticas fundamentales (Turner y Adams, 2012). Portanto, el aumento de la activación de las capacidades matemáticasfundamentales está asociado al aumento de la dificultad de laspreguntas. (PISA, 2012, p,15)
¿Que son las competencias? Las competencias son procesos matemáticos que organizan el currículo,tales como: resolver problemas, modelizar, argumentar, calcular,representar. Las competencias se desarrollan a través de un contenido matemático, yse desarrollan a largo plazo.
¿Cómo ha evolucionado las competencias matemáticas en elcurrículum chileno? Marco Curricular 2002 no estaban presentes en forma destacada,aunque había un eje de resolución de problemas. Ajuste Curricular 2009 se destaca la importancia de desarrollarprocesos matemáticos dentro de los cuales la resolución de problemasya no se concibe como un eje en sí mismo, sino que es parte delrazonamiento matemático.
¿ En Chile las competencias matemáticas están presentes en el currículum? Pero la presencia de estos procesos estaban lejos de articular el currículum, talcomo lo proponen las experiencias internacionales (Abrantes, 2001; Niss, 2002;OCDE, 2003; Ministerio de Educación Nacional, 2006)
En las bases curriculares del 2012 se presentan cuatro habilidadesmatemáticas, cada uno con sus indicadores:
Resolver problemas Resolver problemas utilizando estrategias como las siguientes: simplificar el problema y estimar el resultado descomponer el problema en subproblemas más sencillos buscar patrones usar herramientas computacionales Evaluar el proceso y comprobar resultados y soluciones dadas de un problemamatemático. Utilizar lenguaje matemático para identificar sus propias ideas o respuestas.
Argumentar y Comunicar Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático,esquemas y gráficos. Explicar soluciones propias y los procedimientos utilizados demostraciones de resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades yteoremas generalizaciones por medio de conectores lógicos y cuantificadores utilizándoloapropiadamente Fundamentar conjeturas usando lenguaje algebraico para comprobar o descartar lavalidez de los enunciados. Realizar demostraciones simples de resultados e identificar en una demostración, sihay saltos o errores.
Modelar Usar modelos, utilizando un lenguaje funcional para resolver problemascotidianos y para representar patrones y fenómenos de la ciencia y larealidad. Seleccionar modelos e identificar cuando dos variables dependencuadráticamente ó inversamente en un intervalo de valores. Ajustar modelos, eligiendo los parámetros adecuados para que seacerque más a la realidad. Evaluar modelos, comparándolos entre sí y con la realidad ydeterminando sus limitaciones.
Representar Elegir o elaborar representaciones de acuerdo a las necesidades de laactividad, identificando sus limitaciones y validez de éstas. Transitar entre los distintos niveles de representación de funciones. Organizar, analizar y hacer inferencias acerca de informaciónrepresentada en tablas y gráficos. Representar y ejemplificar utilizando analogías, metáforas y situacionesfamiliares para resolver problemas.
Preguntas abiertas ¿Las habilidades se desarrollan de igual manera para cualquier eje? ¿En una unidad debo desarrollar todas las habilidades o debo centrarmeen alguna? ¿Qué tareas matemáticas son apropiadas para el desarrollo de unahabilidad en particular? ¿CÓMO SE ARTICULAN LOS CONTENIDOS CON LAS HABILIDADES?
el problema (no el único)Existen pocas investigaciones que sepreocupan de la articulación entreprocesos y contenidos.
Modelo de competencia matemáticaTres atemáticasNiveles deComplejidadCognitivaDos elementosfundamentalesSe conforman deDepende deTareasTécnicasCondiciones deRealizaciónProcesos
Argumentar y comunicar
ComunicaciónChamorro ( 2013)NCTM ( 2003, pag 64)“la capacidad de comunicar, explicary argumentar matemáticamentesignifica que los estudiantes debenllegar a ser capaces de proporcionarsuficientes razones para que suscompañeros y el profesor puedanllegar a intuir por qué han hecho loque han hecho. En este sentido, losestudiantes que desarrollan suspropios procedimientos deresolución de problemas, más queimitar el procedimiento dado en ellibro de texto, deben reflexionarsobre los significados implicados, yaque compartir su trabajo implicamás que sólo mostrar elprocedimiento seguido, implicaexplicar y justificar”“la comunicación es un camino para compartir ypara aclarar ideas y que a través de lacomunicación, las ideas llegan a ser objetos dereflexión, perfeccionamiento, discusión yrectificación, argumentando que el proceso decomunicación ayuda también a dar significado ypermanencia a las ideas y a hacerlas públicas”OCDE (2006)“la comunicación matemática seentiende como la capacidad deexpresarse de muy diversas manerassobre temas de contenidomatemático, tanto de forma oralcomo escrita, así como comprenderlas afirmaciones orales o escritasexpresadas por otras personas sobreesas mismas materias. Como laPropósitos de la comunicación matemáticacomunicación, al igual que las otrasOrganizar y consolidar su pensamientocapacidades se van adquiriendo enmatemático a través de la comunicación.forma gradual, PISA ha definido tresgrupos de capacidades en base al tipoComunicar su pensamiento matemático conde exigencias cognitivas que secoherencia y claridad a los compañeros,requieren para resolver los distintosprofesores y otras personasAnalizar y evaluar las estrategias de pensamiento tipos de problemas matemáticos: elgrupo de reproducción, el grupo dematemáticos de los demás.conexiones y el grupo de reflexión,Usar el lenguaje matemático con precisión paracimentándose cada uno en el grupoexpresar ideas matemáticas.anterior”
Evolución de la comunicación matemática y rol del profesorEtapa 6-8 (6 a 8 año Básico)Características de la comunicaciónmatemáticaPapel del profesorLas matemáticas que se discuten en ellos son Crear un sentimiento de comunidad en las clases, para que los alumnos segeneralmente más complejas y quizás más sientan libres de expresar sus ideas, sincera y abiertamente, sin temor alridículo; estableciendo normas relativas al aprendizaje, que apoyen elabstractas que las de los niveles inferiores.Cuandolosalumnosexplicansupensamiento, pueden someterse a criteriosmás rigurosos que los aplicados a los másjóvenes. Sería de esperar que cada alumnono sólo presente y explique la estrategiausada para resolver un problema, sinotambién que analice, compare y contraste lasignificación y eficiencia de diversasestrategias. Las explicaciones deberían incluirlos argumentos matemáticos y losfundamentos, no sólo ser descripciones deprocedimientos o resúmenes. En los últimosminutos, podrían anotar sobre lo aprendidojunto con sus dudas.aprendizaje de todos los alumnos.Guiar la discusión en clase apoyándose en lo que él aprende mientras controlael aprendizaje de los alumnos.Establecer una rica comunicación en la clase, en la que se anime a los alumnos acompartir sus ideas y a buscar aclaraciones hasta llegar a comprender.La comunicación debería centrarse en tareas matemáticas importantes, paraello los profesores deberían identificar y utilizar trabajos que: se relacionen conideas matemáticas importantes; sean abordables por distintos métodos desolución y permitan diversas representaciones.Pueden usar la comunicación oral y escrita para dar oportunidad a sus alumnospara: pensar a través de sus problemas; formular explicaciones; probar unvocabulario o una notación nuevos; experimentar formas de argumentación;justificar conjeturas; criticar justificaciones; reflexionar sobre su propiacomprensión y sobre las ideas de otros.
Caso comunicación: clase de Catherine En un curso de séptimo básico se está estudiando la unidad deporcentajes, Para ello, Catherine la profesora del curso les presentauna tarea matemática a sus estudiantes en el cual ellos debenescoger una opción que resulte la más conveniente: La srta. Carmen premió a su sobrino Sebastián por obtener buenrendimiento el primer semestre y le dio a escoger las siguientesopciones: opción 1: El triple de 28.530 aumentado en 1/2 de 50.000 opción 2: El 25% de 448.250 disminuido en 2.000 opción 3: 2 duplicando su valor por día, durante las vacaciones
Respuestas a opción 2: El 25% de 448.250 disminuido en 2.000Paulina: Divide por 2 y el resultado por 2
JordanTraduce afraccionesy dividepor 4.
EstebanDescomposición del %25% 10% 10% 5%
Argumentación en el aula de matemáticas La argumentación es un proceso complejo y estructurado, cuyo propósitoes convencer a alguien de la validez de una afirmación. Diferencia entre explicar y argumentar: Explicar consiste en hacer comprensible un hecho presentándolo en conexión conotros hechos. La función de explicar es ante todo descriptiva. Las preguntas por qué se produce este fenómeno, por qué se obtiene este resultado,son las que requieren explicaciones. En cambio las preguntas por qué afirmas que., por qué respondes que son las querequieren que se proponga al menos un argumento. De las caracterizaciones de argumentación que se pueden encontrar en laliteratura, el modelo de Toulmin (1958) es uno de los que más se hanutilizado para analizar la argumentación en la clase de matemáticas.
CalificadorConclusiónDatoGarantíaRefutadorModelo de Toulmin (1958)RespaldoLa conclusión es la afirmación cuya validez se quiere establecer.El dato es el soporte que se provee para apoyar y validar la conclusión. Es el punto de partida de quien argumenta, ypuede ser un hecho o una información.La garantía es un conjunto de afirmaciones y razones, que busca establecer la relación entre el dato y la conclusión,haciéndola comprensible.El calificador señala la certeza con la cual se establece la conclusión, la cual es subjetiva (“estoy seguro/no estoy muyseguro”), o bien, es sobre la explicación o el calificador (“siempre ocurre/ocurre excepto en estos casos”).El refutador es una afirmación que describe circunstancias bajo las cuales la explicación o el calificador no son válidos. Ental sentido, opera directamente sobre la explicación o sobre el calificador.El respaldo es el conocimiento básico (definiciones, propiedades, teoremas) que permite asegurar la explicación,describiéndola matemáticamente. Es decir, es un soporte a la explicación, y por tanto no se refiere a la conclusiónpropiamente tal.
Interpretación de la argumentación Consideramos la construcción del modelo de Toulmin entendido comoargumentación colectiva (Krummheuer, 1995; Conner, Singletary, Smith,Wagner, Francisco, 2014). En el aula de matemáticas no es frecuente que encontremos discusiones enque aparezcan todos los procesos de la argumentación, por ello, hemosacordado que para que exista argumentación debe haber, por lo menos,cuatro procesos:ConclusiónDatoGarantíaRefutador
Caso argumentación: Clase de Mónica Curso de 6º básico (10-11 años). La tarea consiste en: marcar con unaX del mismo color las figuras quereciban el mismo nombre. La profesora solicita a dos alumnosque salgan a la pizarra a identificarlas figuras que marcaron. Los alumnos discrepan en si laprimera figura marcada (señaladocon un circunferencia verde)corresponde a un cuadrado
Estructura de Toulmin Caso MónicaDatoLas dos figuras, ¿son uncuadrado?
¿Cómo abordar el rol del profesor? Caracterizar la gestión de la argumentación. Una manera de estudiar la gestión de la argumentación, es por medio delas estrategias comunicativas. Varios autores han puesto el foco en la importancia de espacios decomunicación y discusión en el aula de matemáticas (Chapin, O’Connor, &Anderson, 2009; Smith & Stein, 2011, Boerst at al., 2011). Nuestro interés es en las acciones docentes para promover unacomunicación en el aula (Lee, 2010), a lo que hemos llamado estrategiascomunicativas.
Estrategias comunicativas Se ha diseñado un instrumento de análisis en que se ha definido ochoestrategias Cada estrategia cuenta con un listado de indicadores (acciones docentes)EstrategiasAsegurar quetodos tengan laoportunidad deaportarACCIÓN DOCENTEIncluir, en lasactividades,preguntas quefavorezcan ladescripción yexplicación deprocedimientos eideas.No validar lasrespuestas de losalumnos antes de lasocialización dealgunas respuestas yde las explicacionesde las técnicas, ni enla pizarra, ni puestopor puesto.Nivel de logroDestacadoEvidencia o comentario ( identificar las que no son son observables)A medida que se presenta o se desarrolla la actividad, la profesora realiza preguntascomo:- ¿Todos los lados en todas son iguales?- ¿Tú estás de acuerdo con que esos dos son iguales?- ¿Nos puede decir por qué usted no marcó igual que la Francisca?La profesora no valida las respuestas que otorgan los alumnos, sino que pregunta a losmismos compañeros si están o no de acuerdo con ello y la explicación planteada.DestacadoP: ¿Nos puede decir por qué usted no marcó igual que la Francisca? Pero díganos a todos para queescuchemosMichael: Porque si nosotros giramos esto derecho, quedaría igual como este [Señala un cuadradoque se encuentra apoyado en un vértice y el otro que se apoya en una arista]P: Si ese lo giramos quedaría igual como ese ¿Puede girar su guía y mirar? Si lo giran, ¿queda igualque el otro o no?Alumnos: SiP: ¿Si o no?
Estrategias comunicativasEstrategiasAcciones docenes destacadas en MónicaOportunidadesde participaciónIncluir, en las actividades, preguntas que favorezcan la descripción y explicación deprocedimientos e ideas.No validar las respuestas de los alumnos antes de la socialización de algunas respuestas y delas explicaciones de las técnicas, ni en la pizarra, ni puesto por puesto.No invalidar los errores; en la socialización de los errores, retomar al niño/a que originó ladiscusión, y pedir su opinión sobre lo planteado por sus compañeros.Gestión del errorPromover que alumnos con respuestas correctas e incorrectas salgan a exponer, sin validarantes la calidad de éstas.Gestionar el error, con foco en las explicaciones incorrectas, y no en las respuestasincorrectas.Tipo depreguntasPlantear preguntas que no cambien de un foco a otro muy rápidamente; tratar que laspreguntas promuevan que las ideas evolucionen.
Modelización La modelización contribuye a entender la actividad matemática comoun proceso cíclico. En ese sentido, desde la educación matemática, se promueve en losalumnos el paso de un modelo a otro. Los esquemas pueden ser vistos como un modelo intermedio (unatécnica de modelización), y el cálculo, operación o función como elmodelo matemático propiamente tal.
ModelizaciónIdentificar, construirModelo matemáticoSimplificarModelo intermedioTrabajar en lasmatemáticasProblema delmundo realValidarInterpretacón de lasoluciónSolución matemáticaInterpretarREALIDADMATEMÁTICAS(Maaß, 2006)
Modelización Distinción entre Resolución de problemas y Modelización: La resolución de problemas centrará la atención en los procedimientosasociados al proceso de resolución (ej: identificación de datos y la incógnita,selección de estrategias, etc). La modelización pone foco en los modelos matemáticos puestos en juego.Estos modelos pueden ser técnicas, operaciones o relaciones entre variables. Esta idea no quiere decir que la resolución de problemas y la modelizaciónsean competencias independientes
Ejemplos de modelización Situación real.Agrego una cantidad de fichas a una caja, y luego agrego otracantidad. ¿Puedo saber cuántas fichas hay en total?Simplificar Modelo intermedio.Esta imagen representa la operación:7 5 7 1 1 1 1 1Identificaro construir modelo Modelo matemáticoDigo 7, y cuento: 8, 9, 10, 11 y 12.
Ejemplos de modelización Situación real.Juan tiene 25 chocolates, y Mónica tiene 15 chocolates másque Juan. ¿Cuántos chocolates tiene Mónica?Simplificar Modelo intermedio.Identificaro construir modelo Modelo matemáticoEst152525 15esquema representa la relaciónentre las cantidades.
Ejemplos de modelización Situación real.Don Pedro tiene una parcela de 30m de ancho y 50m delargo. ¿Cuál es la superficie del terreno?Simplificar50m Modelo intermedio.30 mEsta representación muestra a laparcela como si fuera exactamenteun rectángulo.Identificaro construir modelo Modelo matemáticoA b·h
RepresentaciónNCTM ( 2003)Extracto progresión basescurricularesFonide (2010)Crear y utilizar representacionesElegir y utilizar representacionespara organizar, registrar y comunicar concretas, pictóricas y simbólicasideas matemáticaspara representar enunciados.Entender y utilizar las relacionesentre diversas representaciones dela misma entidadSeleccionar, aplicar y traducirrepresentaciones matemáticas pararesolver problemasUsar representaciones paramodelizar e interpretar fenómenosfísicos, sociales y matemáticosEscoger y traducir representacionesen otrasCrear un problema reala partir de una expresiónmatemáticaTransferir una situación de un nivelde representación a otroRelacionar y contrastar informaciónentre distintos niveles derepresentaciónUsar representaciones parainterpretar fenómenos físicos,sociales y matemáticos
Complejidad en representación (OCDE; 2012)
caracterización de la representaciónProcesos Utilizar Seleccionar Traducir Contrastar Diseñar Condiciones Representaciones familiares o nofamiliares Más de una representación
Evaluación competencias de modelizar,representarLa evaluación de estas competencias esta condicionado por lacomplejidad en el diseño de las tareas matemáticasRepresentar: (representaciones familiares, no familiares, utilizar,traducir, contrastar, crear, etc.)Modelizar (trabajar en el modelo matemático, desarrollar todo el ciclode modelización, determinar condiciones para elaborar o usar unmodelo, etc.)
Desafios Tareas matemáticas para el desarrollo de habilidades Planificar por habilidades Evaluar habilidades Comunicar progresión de las habilidades
Antecedentes ¿Qué son las competencias matemáticas? La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos.Ayuda a los individuos a reconocer el papel que las
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