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Z ¿De qué depende que un queque alcance para un determinado número depersonas?Z ¿A cuánto líquido equivale12taza de leche?Z ¿Sabes cómo usar una receta para una cantidad de porciones distinta a laque señala la receta?Preguntas para orientar el análisis de la resolución del problema. En estesegundo grupo de preguntas el propósito es inducir a que la o el estudianteestablezca relaciones entre la información entregada y lo que se quiereaveriguar. Deben aparecer aquí palabras clave tales como generalizar,multiplicación de fracciones, dividir, entre otras. Por ejemplo:Z La receta señalada es para 6 personas y se debe cambiar para 3 personas¿A qué parte de la original se ha reducido la cantidad de personas?Z ¿Por qué la cantidad de huevos se reduce a 2? ¿Qué parte de la parteoriginal es?Z ¿Qué se debe hacer con los demás ingredientes para obtener queques delmismo tipo?Z ¿Cuál es la operación matemática que te permite determinar la mitad delos ingredientes en cada caso?Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoPreguntas para analizar o comprender el problema. A través de este primergrupo de preguntas se espera que las y los estudiantes entiendan el contextodel problema, los datos que se entregan y se focalicen en si comprenden o nolo que se les está preguntando. Por ejemplo:Z ¿Cómo explicarías el procedimiento de dividir una fracción por un númeronatural?Preguntas para obtener evidencia del aprendizajeEste grupo de preguntas debe orientarse a poner a prueba el modeloencontrado: revisar el sentido de cada uno de los parámetros y ver qué sucedecuando se modifican; también establecer conexión con otras situaciones quepuedan ser modeladas por la multiplicación de fracciones. Por ejemplo:Z Según el modelo encontrado ¿cuál sería la cantidad de ingredientes para7º y 8º año de Educación Básica15

2 personas? En ese caso ¿cómo se contarían los huevos y las tazas deharina?Z ¿Qué pasaría si en lugar de querer la receta para 3 personas la quisieraspara 12 personas? ¿Cómo cambiaría el modelo?Z ¿Qué otras situaciones de la vida cotidiana y que conozcas podrían sermodeladas por la división de fracciones por números naturales?Z ¿Por qué la división usada permite adaptar la receta para tres personas yno para otra cantidad de personas, por ejemplo para 2 personas?Elementos clave en la resolución de la situación problemáticaDATOS INVOLUCRADOSDatos conocidosDatos desconocidosCantidad de Ingredientes.Cantidad de personas para la receta original.Cantidad de personas para la nueva receta.Ingredientes para 3 personas,específicamente harina y leche.Verbalización de la situaciónLa receta muestra los ingredientes para 6 personas, pero se quiere reducir a lamitad.La mitad de una cantidad corresponde a la cantidad dividida por 2.En una tabla, se muestra la división para las cantidades de la receta:IngredientesDividir por 2Resultado4 huevos4:228 tazas de harina8:24121412taza de leche:2¿Qué interpretación se le da a dividir por 2 una cantidad?ModeloEncontrar la mitad del número,n:2donde n es la cantidad16Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

La siguiente actividad está destinada a resolver problemas que involucranel cálculo de la medida de un ángulo exterior de un polígono regular, deacuerdo a los OA planteados para 7 año de Educación Básica. Esta actividadpermite generar una oportunidad de aprendizaje para que las y los estudiantesdesarrollen la habilidad de argumentar y comunicar en el contexto de lapropuesta de las Bases Curriculares 2013.Mediante la resolución de un problema se propone calcular la medida deángulos internos y externos en polígonos, para luego aplicarla en diversoscontextos.En cuanto a los aprendizajes previos necesarios para enfrentar esta situaciónproblemática, las y los estudiantes deben identificar polígonos regulares,ángulos extendidos y ángulos suplementarios, además, saber que la suma delos ángulos interiores en un triángulo cualquiera es 180 .En conjunto con la resolución de problemas, las y los estudiantesexperimentarán cómo la habilidad de argumentar y comunicar es una de lashabilidades que promueven el desarrollo del pensamiento matemático y danla posibilidad de demostrar sus conjeturas utilizando argumentos lógicos yveraces. La resolución de un problema abre un momento propicio para que lasy los estudiantes puedan dar a conocer las razones por las que eligen un caminou otro para resolver dicho problema y siempre se encuentra relacionada conhabilidades como representar o modelar.7º y 8º año de Educación BásicaEjemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoSituación problemática para7 año de Educación Básica17

OA: Calcular la medida de un ángulo exterior de un polígono regular.Habilidades: Argumentar y comunicar, resolver problemas y representar.Problema2:xºLa figura de arriba es un hexágono regular en el cual se ha prolongado un ladoformando el ángulo x ¿Cuál es el valor del ángulo x?Preguntas para analizar o comprender el problema. A través de este primergrupo de preguntas se espera que las y los estudiantes entiendan el contextodel problema, los datos que se entregan, y se focalicen en si comprenden o nolo que se les está preguntando. Por ejemplo:Z ¿Cuáles son las características de un hexágono? ¿Qué hace que sea unpolígono regular? ¿En qué se diferencian con los polígonos que no sonregulares? Explica.Z ¿El ángulo de medida x es interior o exterior al hexágono? ¿Por qué?Z ¿Qué relación hay entre el ángulo x y el correspondiente ángulo interiordel hexágono?2. Extraído de TIMSS 2011, p. 186.18Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

Z ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los vértices de un polígono regular?Z ¿Cómo se puede componer un polígono (con k vértices) utilizandosolamente k triángulos isósceles?Z ¿Cuántos grados tiene el ángulo de una vuelta completa?Z Si se trata de un polígono regular de k vértices, ¿cómo se define la medidadel ángulo interior en los vértices de los triángulos isósceles que seintersectan con la circunferencia?Preguntas para obtener evidencia del aprendizajeEste grupo de preguntas debe orientarse a poner a prueba la representaciónrealizada. Revisar el sentido de cada uno de los datos y ver qué sucede cuandose modifican. También establecer conexión con otras situaciones que puedanser resueltas a partir de la suma de ángulos en polígonos. Por ejemplo:Z ¿Podría ser mayor o igual la medida del ángulo exterior que la del ángulointerior? ¿Puedes encontrar un polígono regular donde ocurra esto?Descríbelo.Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoPreguntas para orientar el análisis de la resolución del problema. En estesegundo grupo de preguntas el propósito es inducir a que la o el estudianteestablezca relaciones entre la información entregada y lo que se quiereaveriguar. Deben aparecer aquí palabras clave, tales como explicar, ángulos ysu medida, polígono, entre otras. Por ejemplo:Z ¿Cambiaría tu procedimiento si el hexágono no fuera regular?Z ¿Siempre se vincula la medida de un ángulo interior de un polígono con lamedida de los ángulos de un triángulo?Z ¿Cómo aplicarías estos procedimientos para otros polígonos regulares?7º y 8º año de Educación Básica19

Elementos claves en la resolución de la situación problemáticaDatos involucradosDatos conocidosDatos desconocidosHexágono regularMedida del ángulo exteriorEl hexágono regular puede ser visto como la reunión (conveniente) de 6triángulos isósceles congruentes entre sí.!!!!!!!!Para determinar la medida de los ángulos no iguales de cada uno de esostriángulos se realiza la siguiente operación:360 : 6 60 En cada triángulo, la suma de los ángulos interiores es: ! ! ! 180 Transfiriendo esta propiedad a un triángulo isósceles, resulta:! ! ! 180 Al reemplazar !por 60 , se tiene que 60 más dos veces sumando !es180 . Se puede resolver determinando que:60 ! ! 180 Aplicando la conmutatividad resulta:! ! 60 180 Descomponiendo 180 en el lado derecho de la siguiente manera, resulta:! ! 60 120 60 20Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

Con el conocimiento del OA9 planteado en las Bases Curriculares, las y losestudiantes pueden resolver ecuaciones de la forma !! !. Aplicando a laecuación anterior resulta! 60 En la figura, se debe considerar que el ángulo interior y el exterior son ángulossuplementarios, por tanto2! ! 180 Al reemplazar por ! 60 y realizar un procedimiento similar alprocedimiento anterior se tiene que:! 60 La respuesta al problema es: La medida del ángulo !es 60 Preguntas para obtener evidencia del aprendizajeDeterminar el ángulo exterior de un octágono.Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoCon el conocimiento del OA6 planteado en las Bases Curriculares, las y losestudiantes pueden aplicar que ! ! 2!. Comparando con la ecuaciónanterior pueden razonar que2! 120 a) Elaborar, a base de un cuadrado, un dibujo esquemático del octágonoincluyendo los triángulos isósceles inscritos que lo componen.b) Determinar la medida del ángulo interior que tiene cada triángulo isóscelesen el vértice que coincide con el centro de la circunferencia circunscrita.Determine la medida del ángulo exterior mediante una ecuación.7º y 8º año de Educación Básica21

Situación problemática para8 año de Educación BásicaLa siguiente actividad corresponde a resolver problemas que involucran lafunción afín, acorde a los OA planteados para 8 año de Educación Básica.Esta actividad permite generar una oportunidad de aprendizaje para que lasy los estudiantes puedan desarrollar la habilidad de modelar en el contextode la propuesta de las Bases Curriculares 2013. Mediante la resolución delproblema específico, se propone seleccionar el modelo matemático quepermite representar una situación cotidiana con una expresión matemática,para luego predecir otros resultados en el mismo contexto, o en contextossimilares.En cuanto a los aprendizajes previos necesarios para enfrentar estaproblemática, las y los estudiantes deben aplicar sus conocimientos acercade funciones, ya que se propone analizar una relación entre variables. En elcaso particular de la función afín, se hace necesario haber trabajado antes lafunción lineal como modelo de proporcionalidad directa. La comprensión deestos conceptos permitirá posteriormente ampliar el estudio a otros tipos defunciones tales como la cuadrática.En conjunto con la resolución de problemas, las y los estudiantesexperimentarán que el modelamiento es una de las habilidades matemáticasque promueven el desarrollo del pensamiento matemático, ya que modelares una habilidad fundamental para expresar y generalizar situaciones de lavida diaria en lenguaje matemático. La resolución de un problema permitedesarrollar la habilidad de modelamiento y otras habilidades tales comorepresentar, comunicar y argumentar.22Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

Habilidades: Modelar, resolver problemas y representar.Problema:Imagina que en la ciudad de Zedlandia3 una empresa de taxis tiene una tarifamínima de 25 zeds4 y una tarifa de 0,2 zeds por cada kilómetro que recorre el taxi.¿Cuál es la expresión matemática que modela el costo final en zeds de tomar untaxi?Preguntas para analizar o comprender el problema. En este primer grupo depreguntas lo importante es que las y los estudiantes entiendan el contexto delproblema, los datos que se entregan, y se focalicen en si comprenden o no loque se les está preguntando. Por ejemplo:Z ¿Cuál es el contexto del problema?Z ¿De qué partes se compone el costo de un viaje en taxi?Preguntas para orientar el análisis de la resolución del problema. En estesegundo grupo de preguntas el propósito es inducir a que el estudianteestablezca relaciones entre la información entregada y lo que se quiereaveriguar. Deben aparecer aquí palabras clave tales como modelar, modelo yfunción. Por ejemplo:Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoOA: Aplican la función afín para resolver problemas de la vida diaria y de otrasasignaturas.Z ¿Qué parte del costo final de un viaje es fija?Z ¿Cómo se calcula el costo que depende de los kilómetros recorridos?Z ¿Cómo se calcula el costo final de un viaje?3. Adaptado de TIMSS 2011, 8 , p. 156.4. Moneda utilizada en la ciudad de Zedlandia.7º y 8º año de Educación Básica23

Se completa la tabla con algunos valores y se generaliza el problemacosto fijokilómetroscosto porkilómetro [zed]costo por elkilometraje [zed]costo final[zed]2510,20,2 1 0,225 0,2 1 25,22520,20,2 2 0,425 0,2 2 25,42550,20,2 5 1,025 0,2 5 26,025300,20,2 30 6,025 0,2 30 31,0Primera generalización del problema:se recorre x km25x0,20,2 xP(x) 25 0,2 xconstantedel modelomatemáticovariableindependientedel modelomatemáticocoeficiente deproporcionalidadde la parteproporcional delmodelo matemáticoparte proporcionaldel modelomatemáticoecuación funcional delmodelo matemático delproblema(función afín)Segunda generalización del problema:Se modela un proceso que se compone de una base constante b más uncambio proporcional con el factor a. El modelo matemático es una funciónafín que se representa mediante una ecuación de la forma:P(X) b a xVariando los parámetros b (base) y a (factor de proporcionalidad) se puedenmodelar problemas similares de la vida diaria o de ciencias.Preguntas para obtener evidencia del aprendizaje1) ¿Por qué el cobro del viaje en el taxi de “Zedlandia” no se puede modelarcon una función lineal? Explica tu respuesta.2) Elabora gráficos de la forma P(x) b a x. Describe la influencia quetienen los parámetros b y a en la forma del gráfico.a)b)Con el mismo factor a, pero con diferentes valores de b.Con diferentes factores a, pero con el mismo valor de b.3) Describe una situación que se puede modelar con una constante más uncambio proporcional. Determina los parámetros y elabora la ecuacióncorrespondiente.24Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

La siguiente actividad corresponde a la resolución de problemas queinvolucran el producto de números racionales, acorde a los OA planteadospara 8 año de Educación Básica. Esta actividad permite generar unaoportunidad de aprendizaje para que las y los estudiantes desarrollen lahabilidad de argumentar y comunicar en el contexto de la propuesta de lasBases Curriculares 2013. Mediante la resolución del problema específico, sepropone interpretar el resultado de multiplicar números decimales o fraccionesmenores que 1, apoyando el razonamiento con la representación pictórica enla recta numérica.En cuanto a los aprendizajes previos necesarios para enfrentar estaproblemática, las y los estudiantes deben aplicar sus conocimientos acerca de laoperatoria con fracciones y números decimales. En conjunto con la resoluciónde problemas, las y los estudiantes experimentarán que argumentar es una delas habilidades que promueven el desarrollo del pensamiento matemático, yaque permite que demuestren sus conjeturas utilizando argumentos lógicos yveraces. La resolución de un problema es un medio para desarrollar la habilidadde argumentar. No obstante, también se desarrollan otras habilidades talescomo representar y modelar.Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoSituación problemática para8 año de Educación BásicaOA: Argumentan respecto del resultado de un producto de números racionales.Habilidades: Argumentar y comunicar, resolver problemas y representar.Problema5: P y Q son dos números en la recta numérica. Si P Q R, ¿dónde seubica R en la recta? ¿Por qué?0PQ125. Adaptado de TIMSS 2011, p.154.7º y 8º año de Educación Básica25

Preguntas para analizar o comprender el problema. En este primer grupo depreguntas lo importante es que las y los estudiantes entiendan el contexto delproblema, los datos que se entregan y se focalicen en si comprenden o no loque se les está preguntando. Por ejemplo:Z ¿Podrían serqué?Z ¿Podrían serqué?5414yy3212dos representantes de P y Q respectivamente? ¿Pordos representantes de P y Q respectivamente? ¿PorZ ¿Qué par de números, por ejemplo, de ninguna manera podrían serrepresentantes de P y Q? Argumenta.Z ¿A qué conjunto numérico pertenecen los números P y Q?Z ¿Es P menor que Q? ¿Por qué?Z ¿Qué representa R? ¿Dónde debería ubicarse este número?Z ¿A qué conjunto numérico pertenecería R?Z ¿Podrías explicarle a un compañero/a detalladamente lo que entiendes deesta situación problemática?Preguntas para orientar el análisis de la resolución del problema. En estesegundo grupo de preguntas el propósito es inducir a que la y el estudianteestablezca relaciones entre la información entregada y lo que se quiereaveriguar. Deben aparecer aquí palabras clave tales como conjeturar, relaciónde orden, representar y argumentar. Por ejemplo:Z Haz un listado de 8 o 10 pares de números que tú pienses que sonrepresentantes de P y Q. ¿Estás seguro de que son ejemplos que representanla situación? Argumenta.Z Construye una tabla como la siguiente y complétala según los númeroselegidos anteriormente:P26QP QDesarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica

Z ¿A qué conjunto numérico pertenecen los números como resultado deP Q?Z ¿Podrías conjeturar acerca del resultado del producto de dos números P yQ racionales positivos que son menores que 1?Z Completa la tabla anterior con una nueva columna donde comparas elproducto con cada uno de los factores.PQP QP Q esP Q esque Pque QZ Si comparas el producto con los factores ¿qué te llama la atención?¿Podrías conjeturar acerca del producto y los factores siempre que P y Qsean racionales positivos menores que 1?Elementos clave en la resolución de la situación problemáticaZ Tabla con ejemplos de números racionales positivos menores que 1 y susproductos respectivos:P0,40,5Q0,60,71335 Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básicoZ Imagina que agregas más números que representen a P y Q respectivamente,¿cómo sería el producto P Q?P Q0,240,3515 0,2 Z Conjetura 1: “El producto de dos números racionales menores que 1 es unnúmero menor que 1 ”7º y 8º año de Educación Básica27

Z Tabla con los números ordenados:PQP QORDEN0,40,50,60,70,240,350,24 0,4 0,60,35 0,5 0,713350,4230,2666 15 0,20,2 13 350,2666 0,4 23 Z Conjetura 2: “Si P y Q son racionales positivos menores que 1, entonces elproducto P Q es menor que P y que Q”.Z Análisis general:1. Se tiene que 0 P Q 12. Al multiplicar por P la desigualdad anterior se tiene que 0 P2 QP P3. De (1) se tiene que P Q 14. Luego, de (2) se tiene 0 P2 QP P Q 15. Finalmente, 0 QP P Q 1Como QP PQ R, se obtiene 0 R P Q 1Z Conclusión: La ubicación aproximada de R P Q se muestra en el siguientediagrama:R028PQ1Desarrollo de habilidades: Aprender a pensar Matemáticamente / 7º y 8º año de Educación Básica2

La siguiente actividad es parte de la resolución de problemas que involucran laaplicación

Desarrollo de habilidades: Aprender a Pensar Matemáticamente. 5. Antecedentes del currículo de matemática. 7 Ejemplos de problemas para el desarrollo de habilidades en 7º y 8º año básico. 11. Situación problemática para 7 año de Educación Básica modelar. 13 Situación problemática para 7 año de Educación Básica argumentar y .