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PNV-2321 TERMODINÂMICA E TRANSFERÊNCIA DE CALORTRANSMISSÃO DE CALOR1) INTRODUÇÃOSempre que há um gradiente de temperatura no interior de um sistema ouquando há contato de dois sistemas com temperaturas diferentes há um processo detransferência de energia. O processo através do qual a energia é transferida éconhecido como transferência de calor.O estudo da transmissão de calor está relacionado com a termodinâmica namedida em que a primeira e a segunda lei não podem se feridas.A primeira lei é aplicada para garantir a conservação da energia e a segundalei para estabelecer o sentido do fluxo de calor.Convencionalmente o estudo da transferência de calor é efetuado admitindo-setrês mecanismos de transmissão:conduçãoconvecçãoradiação2 MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR2.1 CONDUÇÃOTransferência de calor por condução é a transferência de energia através deuma substância, sólido ou fluido, como resultado da presença de um gradiente detemperatura dentro da substância. No estado atual do conhecimento atribui-se acondução a três fenômenos:a) interação molecularb) deslocamento de elétrons livres; ec) radiação intermolecularPara obter a taxa de transferência de calor por condução será utilizada a lei deFourier que é dada por:q kAdTdx(1)onde k é a condutibilidade térmicaA é a áreaT a temperaturax é a direção do escoamento do calorO sinal (-) é conseqüência da segunda lei que exige que a direção do fluxo decalor seja do ponto de maior para menor temperatura.

Exemplos de condutibilidade de alguns ibilidadetérmica (W/mK)399,0237,00,60.0260.81Convém observar que no interior de uma substância o calor pode fluir emvárias direções. Se for adotado um sistema de coordenadas cartesianas, o calor podefluir em três direções e poderia, em princípio, ter um valor de condutibilidade térmicapara cada direção. Se a condutibilidade térmica for igual em todas as direções asubstância é dita isotrópica.2.1.1 EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALORConsidere um volume elementar de área transversal A e comprimento dx,conforme mostrado na Fig.1, onde há transferência de calor em x e x dx e com umataxa de geração interna de calor. O primeiro princípio a termodinâmica estabeleceque: kA T T q& g A x kA x x x ρA xcx x T ( x x 2 , t ) t(2)Dividindo a equação (2) por A x obtemos:k( T x ) x x ( T x ) x T ( x x 2 , t ) q& g ρc x tFig. 1 Volume de Controle Condução Unidirecional em coordenadas retangulares

Efetuando x 0 pode-se obter 2 T Tk q& g ρc2 x t(3)Fisicamente, o primeiro termo do lado esquerdo da equação (3) representa ataxa líquida de condução de calor no volume de controle por unidade de volume e osegundo termo é a taxa de geração de energia por unidade de volume dentro dovolume de controle. O termo do lado direito da equação (3) representa a taxa deaumento de energia interna dentro do volume de controle por unidade de volume.Se considerarmos o fluxo de calor nas três direções e admitindo o corpo comosendo isotrópico obtemos: 2 T 2 T 2 T q& g 1 T x2 y2 z2 k α tondeα (4)ké a difusibilidade térmicaρc2.1.2 Casos particulares da equação (4)a) Regime permanente 2 T 2 T 2 T q& g 0 x2 y2 z2 k(5)b) Regime permanente e sem geração interna de energia 2 T 2 T 2 T 0 x2 y2 z2(6)A equação (6) é conhecida como equação de Laplace e, normalmente, é2expressa utilizando-se o operador de Laplace que tem o símbolo , isto é: 2 T 0(7)A vantagem desta notação é que ela pode ser aplicada em qualquer sistema decoordenadas. Utilizando o operador de Laplace, a equação geral de condução de caloré dada por: 2T q& gk 1 Tα t(8)

A forma diferencial do Laplaciano depende do sistema de coordenadasadotado. Para coordenadas cilíndricas, como mostrado na Fig.2, a equação (8) podeser escrita como:1 T 1 2 T 2 T q& g 1 T r k α tr r r r 2 φ 2 z 2(9)Fig.2 Sistema de coordenadas cilíndricas2.1.3 Exemplos de condução de calor em regime permanente para geometriassimplesa) Escoamento uniforme em uma parede (área infinita) sem geração de calorinterno.Seja uma parede de espessura L com condutibilidade térmica k. A equação (4)neste caso é escrita como:d 2T 0dx 2(10)Integrando esta equação obtém-se que a temperatura é dada por:T ( x ) c1 x c2(11)Admitindo que T ( 0) T1 e T ( L) T2 tem-se:T ( x) T2 T1x T1L(12)Substituindo a equação (12) em (1) obtém-se que a taxa de transferência decalor é dada por:

q kAT2 T1 T LL kA(13)O termo L kA é denominado de resistência térmica por analogia com os sistemaselétricos onde a diferença de tensão é representado pela diferença de temperatura.R LkA(14)Com esta definição a taxa de transferência de calor por condução por ser expressapor:q TRSe houver uma parede com diferentes materiais tem-se que a resistência total édada por:RT Ri Liki A(15)b) Escoamento uniforme em uma parede cilíndrica sem geração de calor interno.Neste caso o problema é determinar a distribuição de temperatura na parede deum cilindro vazado de comprimento L, com raios internos e externos dados,respectivamente por ri e re e cujas temperaturas internas e externas são,respectivamente, Ti e Te . Admite-se neste tipo de problema que não há fluxo de calorna direção longitudinal do cilindro e desta forma a equação (9) reduz-se a:d dT r 0dr dr (16)Integrando uma vez em relação ao raio obtém-se:dT c1 dr r(17)A integração desta equação resulta em:T c1 ln r c2(18)Com as condições de contorno dadas tem-se que as constantes são:c1 (Te Ti ) / ln(re / ri )c2 Ti c1 ln ri(19)(20)

T (r ) Ti ln(r / ri ) Te Tiln(re / ri )(21)A taxa de transferência de calor por condução, neste caso, é dada por:q kAT TeCdT k ( 2πrL ) 1 2πLk irln( re / ri )dr(22)Definindo-se a resistência térmica como:R ln( re / ri )2πLk(23)a taxa de transferência de calor pode ser expressa por:T Teq i(24)RSe houver em torno do cilindro n camadas com materiais distintos a resistência totalpode ser obtida como:nRT R j1ondeRj ln( r j / r j 1 )2πLk(25)

2.2 CONVECÇÃOA convecção é essencialmente uma forma modificada da condução, na qual omeio se desloca internamente. Dessa maneira, verifica-se uma superposição detransferência macroscópica de energia ao processo microscópico de condução decalor. Tais deslocamentos internos estão necessariamente restritos aos meios fluidos.Se forem causados por diferenças de densidade em virtude de variações detemperatura no seio do fluido, tem-se o mecanismo conhecido como convecção livreou natural. Por outro lado, se forem provocados por um agente externo, tem-se achamada convecção forçada.O estudo da convecção diz respeito à transmissão de calor entre umasuperfície sólida a uma dada temperatura e um fluido adjacente a uma temperaturadiferente. Observe-se que a temperatura da massa de fluido deve ser tomada a umadistância tal da superfície sólida, que o gradiente de temperatura na direçãoperpendicular a esta seja desprezível. Em outras palavras, deve-se medir atemperatura da massa de fluido de maneira que o seu valor não venha a serinfluenciado pelo valor da temperatura da parede sólida adjacente.Na Fig.4 é mostrado o perfil de velocidade e de temperatura para umatransferência de calor por convecção quando há escoamento forçado. Na Fig. 3mostra-se o perfil de velocidade e de temperatura quando a convecção é natural, istoé, não há escoamento forçado do fluido:Fig. 4 Distribuição de temperatura e velocidade de transferência de calor porconvecção forçada laminar em uma placa aquecida a temperatura Ts

Fig 5. Distribuição de temperatura e velocidade em convecção natural na superfíciede uma placa aquecida inclinada de um angulo β em relação à horizontal.A troca de calor por convecção é dada por:q hc A T k f A T y 0 y(26)onde hc coeficiente médio de transmissão de calor por convecção.A é a área de transferência de calor T Ts T é a diferença de temperatura entre a superfície e a temperaturado fluido em um determinado ponto (normalmente afastado da superfície).Exemplos de coeficiente de transmissão de calor por convecção:hc (W/m2K)Fluidoar convecção livreVapor superaquecido ouForçada)Óleo (convecção forçada)Água (convecção forçada)Água (ebulição)Vapor condensandoar6 – 30(conv. 30-30060 - 1,800300 – 18,0003,000-60,0006,000-120,000Por esta tabela percebe-se que o h varia bastante mesmo para o mesmo fluidoe que o ar apresenta o menor h o que equivale a ter a maior resistência térmica.A equação (26), por ser apenas uma definição de hc e não a expressão de umalei que descreve o fenômeno da convecção, aparenta uma falsa simplicidade, pois adeterminação do coeficiente de transmissão de calor por convecção é, via de regra,uma tarefa complexa nos problemas de engenharia. Este coeficiente depende do tipo

de escoamento, da diferença de temperatura entre a corrente de fluido e a paredesólida considerada, e das propriedades termofísicas do fluido como densidade,condutibilidade térmica, viscosidade dinâmica e calor específico.No caso de escoamento forçado obtém-se a seguinte correlação:Nu f (Re, Pr)onde:h LNu c é número de NusseltkRe Pr Lρ Uµcp µké o número de Reynoldsé o número de PrandtlA forma exata da função depende da geometria do corpo, do tipo deescoamento e das condições de contorno.De um modo geral, verifica-se que o coeficiente hc é maior no escoamentoforçado e em regime turbulento.2.2.1 AletasA troca de calor de um corpo para o meio externo depende do coeficiente detransmissão de calor por convecção (h) e da área. No entanto, há limites para o h. Sese desejar aumentar a troca de calor a única solução é aumentar a área de transferênciade calor. Isto pode ser obtido através de aletas que são superfícies estendidas paratransferência de calor. A forma das aletas depende de vários fatores tais como espaçodisponível, peso, custo, temperatura desejada e material utlizado. Na Fig. 3 sãomostrados exemplos de geometria de aletas típicas.Fig.3 Aletas típicas