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Métodosmatemáticosavanzados para científicos e ingenierosColección manuales uex - 48SantosBravo Yuste48
métodos matemáticos avanzadospara científicos e ingenieros
manuales uex48
SANTOS BRAVO YUSTEMÉTODOS MATEMÁTICOS AVANZADOSPARA CIENTÍFICOS E INGENIEROS2006
EditaUniversidad de Extremadura. Servicio de PublicacionesC./ Caldereros, 2 - Planta 2ª - 10071 Cáceres (España)Telf. 927 257 041 - Fax 927 257 046publicac@unex.eswww.unex.es/publicacionesISSN 1135-870-XISBN 84-689-9786-2 (de méritos)Depósito Legal M-30.783-2006Diseño de portada para la colección Manuales UEX: GrafiPrim - BadajozEdición electrónica: Pedro Cid, S.A.Teléf.: 914 786 125
A Macarena, Irene, Miguel y Diego.
What a fool can do, another can.Silvanus Thompson, Calculus Made EasyPrefacioEl propósito de este libro es proporcionar una descripción sencilla y práctica de cierta clasede métodos matemáticos que son extraordinariamente útiles para cientı́ficos e ingenieros y que,generalmente, son considerados “no elementales”. Mi idea rectora es que estas matemáticas noson difı́ciles si se explican con cuidado y se tienen en cuenta las dificultades conceptuales queinvolucran. Para que las deducciones sean lo más claras posibles no he dudado en ser parsimoniosoen los desarrollos matemáticos. Sé que ası́ el texto pierde esa tersura de lo matemáticamenteelegante . . . que en tantas ocasiones desconcierta a los estudiantes. Por ello he preferido guiarmepor el principio de que, dado que las matemáticas y sus conceptos son inicialmente complicados,hay que ahorrarle en lo posible al alumno la tarea, a menudo mecánica y sin interés, de averiguarcómo se llevan a cabo las deducciones.Un modo muy efectivo de enseñar y aprender métodos matemáticos es mediante ejemplos enlos que estos métodos se muestran en acción. Este procedimiento es usado con profusión en estetexto (hay mas de 110 ejemplos resueltos). También he incluido cuestiones y ejercicios sin resolver(más de 80) como modo de reforzar la comprensión de lo expuesto y, en ocasiones, provocar lareflexión del lector sobre las materias tratadas.En la página web http://www.unex.es/eweb/fisteor/santos/mma puede encontrarse material que complementa a este libro (esta dirección se abrevia en ocasiones mediante el sı́mbolo ¡ www ). He incluido cuadernos de Mathematica que tratan sobre algunos de los tópicos contemplados en este libro. También he incluido los códigos fuente y los ejecutables de los programasQBASIC con los se ilustran algunos procedimientos numéricos que se estudian en el capı́tulo 4.Por último, he añadido enlaces con otras páginas web que contienen material útil relacionado conlo que discute en este libro.Las notas que los profesores del Área de Fı́sica Teórica de la UEx hemos ido confeccionandodurante años para impartir la asignatura de Métodos Matemáticos de tercer curso de Fı́sicafueron la base sobre la que se ha escrito este libro. Si estas notas se han convertido finalmenteen libro se debe en buena parte a Héctor Sánchez-Pajares quien pasó a LATEXuna muy primeraversión de las mismas. También es es gran medida fruto del ánimo y apoyo incansable de AndrésSantos. Por último, es de justicia recordar la paciencia y compresión con la que mi familia hasoportado mis largas horas de ausencia durante su elaboración.Santos Bravo /santosBadajoz, primavera 2005
Índice generalPrefacioi1. Problema de Sturm-Liouville11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Ecuación de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Definición de la ecuación de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Definición del problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Generalidad de la ecuación de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Espacios vectoriales y operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Definición de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Definición de producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Operadores lineales. Operadores hermı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.4. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.5. Desarrollo en autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Espacio vectorial y producto escalar en el problema de Sturm-Liouville . . . . . . . .1.5. El operador de Sturm-Liouville es hermı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.1. Autovalores y autofunciones del operador de Sturm-Liouville . . . . . . . . .1.6. Desarrollo en serie de autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1. Error cuadrático mı́nimo de una suma de autofunciones, identidad de Parsevaly relación de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. Problema de Sturm-Liouville inhomogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.1. Teorema de la alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8. Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8.1. Definición y propiedades de la función de Green . . . . . . . . . . . . . . . .1.8.2. Solución del problema de Sturm-Liouville en términos de la función de Green1.8.3. Construcción de la función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8.4. Representación de la función de Green en serie de autofunciones . . . . . . .1.9. Condiciones de contorno no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.10. Cociente de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.10.1. Principio de minimización de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1223810111314151617192025313738424246485155575865
ivÍNDICE GENERAL2. Funciones especiales2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Propiedades generales de los polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Relación de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Función generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Resolución de la ecuación de Legendre mediante serie de potencias . . . . . .2.3.2. Paridad y valores especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Primeros polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.5. Representaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.6. Función generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.7. Función generatriz y campo eléctrico dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.8. Desarrollo en serie de polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.9. Relaciones de recurrencia de los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . .2.4. Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Demostración de la fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Relación de proporcionalidad de las funciones asociadas de Legendre . . . . .2.4.3. Primeras funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Ortogonalidad, norma y simetrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.5. Desarrollo en serie de funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . .2.4.6. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1. Ortonormalidad y propiedad de conjugación de los armónicos esféricos . . . .2.5.2. Simetrı́a de los armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.3. Primeros armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.4. Desarrollo en serie de los armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.5. Teorema de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.1. Oscilador armónico en Mecánica Cuántica. Ecuación de Hermite . . . . . . .2.6.2. Resolución de la ecuación de Hermite mediante serie de potencias . . . . . .2.6.3. Definición de los polinomios de Hermite como soluciones de un problema deSturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.4. Función generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.5. Norma de los polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.6. Desarrollo en serie de los polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.7. Fórmula de Rodrigues y paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.8. Primeros polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.9. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.1. Función generatriz y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Desarrollo en serie de Lαn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.3. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.4. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Ecuaciones reducibles a ecuaciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2. Funciones de Bessel como oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . .2.8.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0121123126126126128131132134
ÍNDICE GENERAL2.8.4. Cálculo de las funciones de Bessel mediante relaciones de recurrencia .2.8.5. Función generatriz de Jn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.6. Relaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.7. Funciones de Bessel de orden semientero y funciones esféricas de Bessel2.8.8. Funciones de Bessel y problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . .2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v.3. Ecuaciones en derivadas parciales1533.1. Introducción y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden . . .3.2.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Método de las transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Problemas difusivos no homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1. Homogeneización del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.2. Ecuaciones en derivadas parciales con términos no homogéneos estacionarios3.5.3. Ecuación en derivadas parciales con inhomogeneidad no estacionaria y condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.4. Método del desarrollo en autofunciones para ecuaciones en derivadas parcialesno homogéneas con condiciones de contorno homogéneas . . . . . . . . . . .3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Métodos numéricos4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Aritmética con precisión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Los números son palabras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2. Pérdida de dı́gitos significativos en la sustracción de cantidades casi iguales4.2.3. Errores en la suma de cantidades con magnitudes muy distintas . . . . . .4.2.4. Inestabilidad numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5. Problemas mal condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Operaciones numéricas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Diferenciación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Cálculo de raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1. Método de la búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2. Método de la bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.3. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.4. Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . .4.5.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Método del desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3. Método de Euler Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.4. Métodos Predictor-Corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.5. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.6. Sistemas de ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Métodos numéricos para problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.1. Métodos en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.2. Métodos de tiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5226227228232232234235240241241245
viÍNDICE GENERAL4.6.3. Métodos iterativos en diferencias . . . . . . . . . . .4.7. Resolución numérica de la ecuación de difusión . . . . . . .4.7.1. Un método explı́cito para ecuaciones difusivas . . . .4.7.2. El método implı́cito de Crank-Nicholson . . . . . . .4.7.3. Condiciones de contorno que involucran a la derivada4.7.4. Ecuaciones difusivas bidimensionales . . . . . . . . .4.8. Resolución numérica de la ecuación de ondas . . . . . . . .4.9. Resolución numérica de la ecuación de Laplace . . . . . . .4.9.1. Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Ecuaciones diferenciales y sistemas no lineales. Estabilidad5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.2. Definición de estabilidad según el criterio de Liapunov5.2.3. Definición de estabilidad asintótica . . . . . . . . . . .5.2.4. Sistema perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.5. Definición de punto crı́tico . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1. Estabilidad de sistemas lineales de dos ecuaciones . . .5.3.2. Sistemas con más de dos ecuaciones . . . . . . . . . .5.4. Estabilidad de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . .5.4.1. Campo vectorial de direcciones y trayectorias solución .5.4.2. Estabilidad en torno a los puntos crı́ticos simples . . .5.4.3. Estabilidad por el método directo de Liapunov . . . . .5.5. Ciclos lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6. Cálculo de Soluciones Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . .5.6.1. Método de Balance Armónico . . . . . . . . . . . . .5.6.2. Método de Krylov-Bogoliubov . . . . . . . . . . . . .5.7. Caos y atractores extraños. Ecuaciones de Lorenz . . . . . . .5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2756. Ecuaciones integrales 250257262263264265266269Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definiciones y clasificación de las ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . .Equivalencia entre ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . .Ecuación de segunda especie con núcleo separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4.1. Ecuación de segunda especie inhomogénea con núcleo degenerado . . . . . .6.4.2. Ecuación de segunda especie homogénea con núcleo degenerado: autovaloresy autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Teoremas de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Series de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Series de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Teorı́a de Schmidt-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.8.1. Algunas propiedades de los núcleos reales simétricos . . . . . . . . . . . . . .6.8.2. Resolución de la ecuación no homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.8.3. Teoremas de Fredholm para núcleos reales y simétricos . . . . . . . . . . . .Técnicas varias de resolución de ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 378382
ÍNDICE GENERALvii6.9.1. Reducción de la ecuación integral a una ecuación diferencial6.9.2. Ecuaciones integrales de convolución . . . . . . . . . . . . .6.9.3. Desarrollo en serie de funciones ortogonales . . . . . . . . .6.10. Ecuación de Abel generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.11. Resolución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Desarrollo asintótico de integrales4037.1.7.2.7.3.7.4.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Resultados útiles sobre series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Comparación de funciones. Sı́mbolos O, o, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Series asintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.1. Definición de serie asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.2. Ejemplo de serie asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.3. Aproximaciones numéricas mediante series asintóticas. Regla del truncamientoóptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5. Desarrollo del integrando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6.1. Fallo de la integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7. Método de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.8. Lema de Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.9. Desarrollo asintótico de integrales generalizadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . .7.9.1. Primer modo. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.9.2. Segundo modo. Modo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.9.3. Máximo no fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.10. Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.10.1. Integración por partes de integrales de Fourier sin puntos estacionarios . . . .7.10.2. Integrales de Fourier con puntos estacionarios. Método de la fase estacionaria7.10.3. Método de la fase estacionaria. Caso simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.10.4. Metodo de la fase estacionaria. Caso más general . . . . . . . . . . . . . . .7.10.5. Método de la fase estacionaria cuando f (t) f0 (t a)λ en el punto estacionario a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.11. Método de la máxima pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.11.1. Puntos de silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. Soluciones de problemas locapı́tulocapı́tulo1:2:3:4:5:6:7:Problema de Sturm-Liouville . . .Funciones Especiales . . . . . . .Ecuaciones en derivadas parciales .Métodos numéricos . . . . . . . .Ecuaciones diferenciales y sistemasEcuaciones integrales lineales . . .Desarrollo asintótico de 469473. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .no lineales. Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473475476478480481482485
Capı́tulo 1Problema de Sturm-LiouvilleLa teorı́a general de autovalores, autofunciones y desarrollos en autofunciones es una de lasparcelas más ricas y profundas de la matemática moderna.F. Simmons [Sim93]1.1. IntroducciónLa tarea principal en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias con condicionesiniciales consiste en encontrar la solución de una ecuación diferencial dada que satisface ciertascondiciones iniciales, es decir, encontrar la solución que satisface ciertas restricciones (condiciones) sobre el valor que esta solución y sus primeras n 1 derivadas (si la ecuación diferenciales de orden n) han de tomar para un mismo valor de la variable independiente (es decir, en unmismo punto).I Ejemplo 1.1Se puede comprobar que la ecuación diferencialy 00 (x) y(x) 0,con las condiciones iniciales (en el punto x 0)(y(0) y0 ,y 0 (0) 0,tiene la solucióny(x) y0 cos x.JEn este tema, sin embargo, nos dedicaremos al estudio de problemas de condiciones de contorno (CC), es decir, buscaremos y estudiaremos aquellas soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias que satisfagan ciertas condiciones en los contornos del intervalo de definición de la ecuación. Para ecuaciones diferenciales ordinarias, el contorno lo constituyen los dos puntos extremosdel intervalo en el que la ecuación ha de resolverse.
2Problema de Sturm-LiouvilleI Ejemplo 1.2Queremos encontrar la función y(x) solución de la ecuación diferencialy 00 (x) λ y(x) 0,definida en el intervalo [0, π] que satisface las siguientes condiciones de contorno:(y(0) 0,CC :y(π) 0.Es fácil ver que para λ 1 este problema de contorno tiene la solucióny(x) A sen x,siendo A una constante arbitraria. Sin embargo si, por ejemplo, tomamos el valor λ 2, podemos comprobar que el sistema no tiene solución distinta de la trivial1 y(x) 0. Vemos ası́ que el valor de λ esdeterminante para que el problema de condiciones de contorno tenga solución (distinta de la solución nulatrivial, por supuesto).JEn lo que sigue, nos centraremos sobre una clase particular de ecuaciones diferenciales desegundo orden conocidas como las ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville cuyas solucioneshabrán de satisfacer ciertas condiciones de contorno. Veremos que muchas de las funciones importantes en Ciencia e Ingenierı́a —habitualmente llamadas funciones especiales— son solucionesde este tipo de problemas (ecuaciones de Sturm-Liouville más ciertas condiciones de contorno).Además, como veremos en un tema posterior, los problemas de Sturm-Liouville aparecen de forma natural al resolver las ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de separación devariables.1.2. Ecuación de Sturm-Liouville1.2.1. Definición de la ecuación de Sturm-LiouvilleSea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal y homogénea· ddp(x) y(x) q(x) y(x) λ r(x) y(x) 0dxdx(1.1)definida en el intervalo cerrado [a, b], donde:p(x), p0 (x) d p(x)dx , q(x), r(x)son funciones reales y continuas en [a, b].2p(x) y r(x) no cambian de signo en el intervalo a x b. Tomaremos por convenio (y sinpérdida de generalidad) r(x) 0, excepto, quizás, en puntos aislados en los que r(x) 0.A la función r(x) se la conoce como función peso.λ es un parámetro arbitrario.Bajo estas condiciones, la ecuación (1.1) es una ecuación de Sturm-Liouville.1Trivialmente, toda ecuación diferencial lineal definida sobre el intervalo [a, b] con condiciones de contornoy(a) 0, y(b) 0, tiene a la función nula y(x) 0 como solución. Esto es trivial, de modo que a esta solución sela llama (¡cómo no!) solución trivial.2La condición de continuidad en el contorno, es decir en x a o en x b, puede no satisfacerse en ciertosproblemas de Sturm-Liouville singulares (que se tratan en el apartado 3 de la página 4). Por ejemplo, q(x) 1/xen el problema de Bessel definido en el intervalo [0, b 0] (véase la sección 2.8.8, página 145).
1.2 Ecuación de Sturm-Liouville31.2.2. Definición del problema de Sturm-LiouvilleSe llama problema de Sturm-Liouville al problema de condiciones de contorno constituido poruna ecuación de Sturm-Liouville más ciertas condiciones de contorno homogéneas3 conocidascomo condiciones de contorno de Sturm-Liouville.Condiciones de contorno de Sturm-LiouvilleSean ciertas condiciones de contorno homogéneas en x a y x b. Si para dos funcionescualesquiera, f (x) y g(x), que satisfacen estas condiciones de contorno se verifica que4½· ¾df bdg g(x)p(x) f (x) dxdxap(b) [f (b) g 0 (b) g(b) f 0 (b)] p(a) [f (a) g 0 (a) g(a) f 0 (a)] 0, (1.2)entonces a esas condiciones de contorno se les llama condiciones de contorno de Sturm-Liouville.Estas condiciones de contorno se clasifican en tres clases, dando lugar a tres clases de problemasde Sturm-Liouville:1. Problema de Sturm-Liouville periódico/Condiciones de contorno periódicasLas condiciones de contorno para este caso son(y(a) y(b),(1.3)y 0 (a) y 0 (b),y, además, ha de verificarse quep(a) p(b).(1.4)Es fácil de ver que esta última condición, que por supuesto no es condición de contornosobre y(x), es necesaria para que (1.2) se verifique. En efecto, sean f (x) y g(x) dos funcionesque satisfacen las condiciones de contorno anteriores. En este casof (a) f (b) ,g(a) g(b) ,f 0 (a) f 0 (b) ,g 0 (a) g 0 (b) ,y por tantop(a) [f (a) g 0 (a) g(a) f 0 (a)] p(b) [f (b) g 0 (b) g(b) f 0 (b)].(1.5)En este caso la relación (1.2) se verifica trivialmente, tal como querı́amos demostrar.2. Problema de Sturm-Liouville regular/Condiciones de contorno regularesEstas condiciones de contorno (llamadas condiciones de contorno regulares) son de la forma(α1 y(a) α2 y 0 (a) 0, α1 , α2 R,(1.6)β1 y(b) β2 y 0 (b) 0, β1 , β2 R,donde ni α1 y α2 son ambas cero, ni tampoco β1 y β2 son las dos cero.Hay dos subtipos especiales de condiciones de contorno regulares:3Sea {fi } un conjunto de funciones que satisfacen una cierta condición de contorno. Decimos que esta condiciónde contorno es homogénea si cualquier combinación lineal de las funciones fi satisface también esta condición decontorno.4El asterisco al lado de un sı́mbolo representa su complejo conjugado: f c id siendo f c id. Porsupuesto, i es la unidad imaginaria.
4Problema de Sturm-LiouvilleCondiciones de contorno de Dirichlet. En este caso α2 β2 0, con lo que (1.6) tomala formay(a) y(b) 0.Condiciones de contorno de Neumann. Aquı́ α1 β1 0, y por tanto (1.6) se reduceay 0 (a) y 0 (b) 0.Vamos ahora a demostrar que si dos funciones f (x) y g(x) satisfacen las condiciones decontorno (1.6), entonces se verifica la relación (1.2). Si f y g satisfacen (1.6) se tiene queα1 f (a) α2 f 0 (a) 0,α1 g(a) α2 g 0 (a) 0.Tomamos el complejo conjugado de la primera ecuación para obtener el siguiente sistemade ecuacionesα1 f (a) α2 f 0 (a) 0,α1 g(a) α2 g 0 (a) 0.Dado que α1 , α2 no son cero simultáneamente, debe ocurrir que f (a) f 0 (a) 0 0 g(a) g 0 (a) f (a) g (a) f (a) g(a) 0(1.7)para que la solución del sistema sea distinta de la solución trivial α1 α2 0. Procediendode igual modo en el punto x b se obtienef (b) g 0 (b) f 0 (b) g(b) 0.(1.8)Obviamente, los resultados (1.7) y (1.8) hacen que, tal como querı́amos demostrar, se satisfaga la relación (1.2)3. Problema de Sturm-Liouville singular/Condiciones de contorno singularesQuizás el modo más correcto de definir las condiciones de contorno singulares es diciendoque son las condiciones de contorno de Sturm-Liouville, es decir, aquellas que hacen que(1.2) se verifique, y que no
durante anos para impartir la asignatura de M¶etodos Matem¶aticos de tercer curso de F¶‡sica fueron la base sobre la que se ha escrito este libro. Si estas notas se han convertido flnalmente en libro se debe en buena parte a H¶ector S¶anchez-Pajares quien pas¶o a LATEXuna muy primera versi¶on de las mismas.
