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Dominiode Funciones Especiales
Funciones reales especialesDependiendo de ciertas características que tome la expresiónalgebraica o notación de la función 𝑓 en 𝑥, tendremos distintostipos de funciones
Funciones Polinomiales.Una función polinómica f es una función cuya expresión esun polinomio tal como:𝑓 𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥 2 𝑎3 𝑥 3 𝑎𝑛 𝑥 𝑛El dominio de las funciones polinómicas son todoslos números reales.
Función Constante.Una función 𝑓 es constante si la variable dependiente𝑦 toma el mismo valor 𝑎 para cualquier elemento deldominio (variable independiente 𝑥).𝑓 𝑥 𝑎 siendo 𝑎 constante
Función Constante.En términos matemáticos, la función 𝑓 es constante sipara cualquier par de puntos 𝑥1 y 𝑥2 del dominio tales que𝑥1 𝑥2 , se cumple que 𝑓 𝑥1 𝑓(𝑥2 ).La gráfica de una función constante es una recta paralelaal eje de abscisas X.
Función lineal.Las función lineal son aquellas que tienen un polinomio degrado 1 como expresión. Están compuestas por un escalarque multiplica a la variable independiente más unaconstante. Su mayor exponente es 𝑥 elevado a 1.𝑓 𝑥 𝑚𝑥 𝑛, siendo 𝑚 la pendiente y 𝑛 la ordenada.Su representación gráfica es una recta. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ℝ
Función Identidad.Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquierelemento es éste mismo:𝑓 𝑥 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ℝLa función del ejemplo es una función lineal de pendiente m 1 que pasapor el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide elprimer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.La función identidad es importante en la función inversa.
Función cuadrática.Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) sonfunciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente delpolinomio es 𝑥 elevado a 2, su gráfica es una parábola.𝑓 𝑥 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐 siendo 𝑎 0Por ejemplo: 𝑓 𝑥 𝑥 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ
Función cuadrática.Para graficar una función cuadrática, buscamos las soluciones dela función, llamadas también raíces o ceros.Éstas se obtienen haciendo 𝑓 𝑥 0.𝑓 𝑥 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐 siendo 𝑎 0Para determinar las soluciones de la ecuación 𝑓 𝑥 0 se utilizala conocida fórmula la de ecuación cuadrática𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐2𝑎donde llamamos discriminante a la expresión 𝑏 2 4𝑎𝑐 quedesignamos por 𝑥.Dependiendo del valor del discriminante, podemos obtener lasintersecciones con el eje 𝑋.
Función cuadrática.1. Análisis del discriminante 𝒙 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄.Si 𝑥 0, la parábola cortaen dos puntos al eje 𝑋.Si 𝑥 0, la parábola cortaen un único punto al eje 𝑋.Si 𝑥 0, la parábola NOcorta eje 𝑋.
Función cuadrática.2. Concavidad.Para 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐Si 𝑎 0, la parábolase abre hacia arriba.Tiene valor mínimo.Si 𝑎 0, la parábolase abre hacia abajo.Tiene valor máximo
Función cuadrática.3. Coordenadas del vértice de la parábola.Para y 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐 se tiene que𝑏𝑏𝑉 2𝑎 , 𝑓 2𝑎
Función cuadrática.Ejemplo.Cuando se lanza un cohete casero desde el suelo y cae formando unaparábola. La altura, en pies, está dada por la ecuación ℎ 𝑡 160𝑡 16𝑡 2donde 𝑡 es el tiempo en segundos.a) ¿En cuánto tiempo el cohete vuelve al suelo?b) ¿Cuál es la altura del cohete a los 2 segundos?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el cohete?Solución.a) La fórmula del recorrido del cohete es ℎ 𝑡 160𝑡 16𝑡 2 . Se pidecalcular el valor de 𝑡 cuando ℎ 𝑡 0 o cuando el cohete toca el suelo y yano tiene altura.En ℎ 𝑡 160𝑡 16𝑡 2 factorizamos en 𝑡 e igualamos a cero16𝑡 10 𝑡 0
Función cuadrática.Esto significa que:Si 𝑡 016𝑡 0 𝑡 010 𝑡 0 𝑡 10Representa al cohete en el suelo cuando es lanzado, así que noes la respuesta que se busca.Si 𝑡 10Representa al cohete de vuelta al suelo.Luego tenemos que el cohete llega al suelo a lo 10 segundos.
Función cuadrática.b) Reemplazamos 𝑡 2 en la función cuadrática.ℎ 𝑡 160𝑡 16𝑡 2 ℎ 2 160(2) 16(2)2 ℎ 2 320 64 256Luego de 2 segundos, la altura del cohete es de 256 pies.c) La máxima altura esta dada en el vértice de la parábola, según lafórmula 𝑏 𝑏 160𝑉 ,𝑓 , 𝑓(5) (5,400)2𝑎2𝑎2 16Entonces ocurre cuando 𝑡 5, luego calculamosℎ 5 160 5 16 52 400Por lo tanto, el cohete alcanza 400 pies de altura.
Función cúbica.Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funcionespolinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente delpolinomio es x elevado a 3:𝑓 𝑥 𝑎𝑥 3 𝑏𝑥 2 𝑐𝑥 𝑑 siendo 𝑎 0La representación gráfica de la función cúbica es: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ℝ
Función cúbica.Una función cúbica puede tener tres raíces reales dos o una. Las raícesde una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Esdecir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X,como se mencionó para la función cuadrática.
Función racional.Las funciones racionales f(x) son el cociente irreducible de dospolinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabraracional hace referencia a que esta función es una razón.𝑃(𝑥)𝑓 𝑥 𝑄(𝑥)𝑃(𝑥) es el polinomio del numerador y 𝑄(𝑥) el del denominador. Eldominio de una función racional son todos los números reales exceptolos valores de la variable 𝑥 que anulan el denominador (𝑄(𝑥) 0), esdecir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑥 ℝ / 𝑄 𝑥 0
Función racional.La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x)es de grado 1, es una hipérbola: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 0 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 4 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ℝ 0 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ℝ 0
Función radical.Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente 𝑦 seobtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variableindependiente 𝑥.𝑔 𝑥 𝑛𝑓(𝑥)Son llamadas también funciones irracionales.Cuando el índice de laraíz 𝑛 es par, el dominio de lafunción son los valoresde 𝑥 que hacen al radicandocero o mayor que cero.
Función a tramos.Las funciones definidas a tramos (o función por partes o función atrozos) si la función tiene distintas expresiones o fórmulasdependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variableindependiente (x).𝑓1 (𝑥)𝑓 (𝑥)𝑓 𝑥 2 𝑓𝑛 (𝑥)𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓1𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓2 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑛Donde:𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐷𝑜𝑚 𝑓1 𝐷𝑜𝑚 𝑓2 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑛𝑅𝑒𝑐 𝑓 𝑅𝑒𝑐 𝑓1 𝑅𝑒𝑐 𝑓2 𝑅𝑒𝑐 𝑓𝑛
Función a tramos.Por ejemplo:𝑥𝑓 𝑥 25 𝑥𝑠𝑖𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑥 11 𝑥 44 𝑥 La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo seencuentra 𝑥. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo ( , 1),por lo que su imagen es f(0) 0. El valor 3 está en el intervalo [1,4],luego su imagen es f(3) 2.Para trazar su gráfica bastarácon construir cada una en unmismo plano, pero solamentela parte correspondiente alintervalo indicado. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 ( , 1) 2
Función a tramos.Ejemplo: Dada la función 𝑥 1𝑠𝑖𝑓 𝑥 3𝑠𝑖𝑥 2 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑥 3 3 𝑥 1𝑥 1Primero se grafica la función 𝑓1 𝑥 𝑥 1 dándonos dos punto enel intervalo ( , 3 . Para tener en cuenta siempre es recomendabletomar los extremos del dominio de la función, en éste caso 𝑥 3 ycualquier otro punto, en este caso un punto cualquiera 𝑥 5 Si 𝑥 3Entonces 𝑓 3 3 1 2 Si 𝑥 5Entonces 𝑓 5 5 1 4
Función a tramos.Graficamos ahora la función 𝑓2 𝑥 3 en el intervalo ( 3,1 . Observaque tenemos una función contante, donde su grafica es una rectahorizontal que corta al eje 𝑌 en el punto (0,2).Además observa que el punto ( 3,2) queda sin pintar pues 𝑥 3 nopertenece a la función 𝑓2 𝑥 3. Por otro lado el punto (1,2) se pintaporque 𝑥 1 pertenece al dominio.
Función a tramos.Finalmente graficamos la función cuadrática 𝑓3 𝑥 𝑥 2 2𝑥 1 en elintervalo (1, ). Observa que el valor de 𝑥 1 no pertenece aldominio, por eso queda sin pintar el extremo de la gráfica que estárepresentada por una parábola. Si 𝑥 1Entonces 𝑓 1 12 2 1 1 0 Si 𝑥 2Entonces 𝑓 2 22 2 2 1 1 Si 𝑥 3Entonces 𝑓 3 3 2 3 1 4
Función a tramos.Finalmente colocamos las tres gráficas en un mismo plano, quedando 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 (0, )
Función valor absoluto.La función valor absoluto está definida por𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑠𝑖𝑥 0𝑥 0La función de valor absoluto tiene por ecuación 𝑓 𝑥 𝑥 , ysiempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva onula .Su gráfica es: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 0, )
Función escalón unitario.La función escalón unitario paso 𝒂 está definida por𝑓 𝑥 𝑈(𝑥 𝑎) 1 𝑠𝑖0 𝑠𝑖𝑥 𝑎𝑥 𝑎Su gráfica es: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 0,1
Función escalón unitario.Ejemplo. Dada la función 𝑓 𝑥 𝑈 𝑥 2𝑈 𝑥 1 3𝑈(𝑥 2).Encuentre la función representada en tramos, dominio, recorrido yconstruya su gráfica.Solución.Por definición se tiene que:𝑈(𝑥) 1 𝑠𝑖0 𝑠𝑖𝑥 0𝑥 0𝑈(𝑥 1) 𝑈(𝑥 2) 10𝑠𝑖𝑠𝑖1 𝑠𝑖0 𝑠𝑖𝑥 1𝑥 1𝑥 2𝑥 2Ahora consideremos la tabla𝑥𝑈(𝑥)2𝑈(𝑥 1) 3𝑈(𝑥 2) 𝑓(𝑥)𝑥 000000 𝑥 110011 𝑥 21203𝑥 212 30
Función escalón unitario.Luego se tiene que la función 𝑓 𝑥 puede ser escrita por tramoscomo sigue0 𝑠𝑖𝑥 01 𝑠𝑖 0 𝑥 1𝑓 𝑥 3 𝑠𝑖 1 𝑥 20 𝑠𝑖𝑥 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 𝑅𝑒𝑐 𝑓 0,1,3
Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo: T T La función del ejemplo es una función lineal de pendiente m 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.
