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SISTEMAS ELECTRÓNICOS Y AUTOMÁTICOSTema 7DISEÑO DE SISTEMAS CONTROL MEDIANTE REALIMENTACIÓN DEL ESTADOResumen del tema1. INTRODUCCIÓN. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO.2. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN PARA SISTEMAS MONOVARIABLES.2.1. Modelo de estado en variables de fase.2.2. Transformación del modelo de estado a variables de fase.3. AJUSTE DEL RÉGIMEN PERMANENTE.4. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS.4.1. Diseño del bucle de realimentación.4.2. Respuesta con oscilaciones muertas.Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial1. INTRODUCCIÓN. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO:El objetivo de la realimentación de estado es, partiendo del comportamiento del sistema original,modificarlo para que cumpla ciertas especificaciones.- Para ajustar el régimen transitorio, REALIMENTACIÓN DEL ESTADO. En algunos casos, las variables de estado no son medibles directamente. Deben serestimadas mediante un OBSERVADOR DEL ESTADO.- Para ajustar el régimen permanente, CONTROLADOR INTEGRAL.Resumen control clásico:Existen dos alternativas para el control:A) Control en bucle abierto. Conociendo G(s) Î Y(s) G(s)·U(s) A partir de la salida deseada, podemos conocer la entrada que debemos aplicar al sistema. Problemas:- G(s) es un modelo teórico simple, que no modeliza la planta con total exactitud.- Presencia de perturbaciones Se aplica únicamente en sistemas lógicos. Control mediante autómatas programables.Tema 7: Control por realimentación del estado2
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialB) Control en bucle cerrado o realimentado. U(s) no se calcula en función del modelo del sistema,sino comparando la entrada de referencia con la salida real. Si hay una perturbación, aumenta la diferencia entre la salida y la entrada y se incrementa laacción de control para anular la perturbación. Si se han cometido errores en el modelizado (G(s)), también son compensados, puesto quela acción de control no depende directamente del modelo. Normalmente, para mejorar el control del sistema se añade un regulador (PID).Tema 7: Control por realimentación del estado3Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialAjustando correctamente los parámetros del PID, podemos conseguir que la salida siga unas ciertasespecificaciones. Estas especificaciones se suelen dar suponiendo que el sistema es de segundoorden. En un sistema subamortiguado son:Especificaciones del transitorio:Tiempo de respuesta: Es el tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por 1ª vez el valor final:tr π θ 1 .5 ωdωnSobreoscilación: Es la diferencia entre el valor máx. de la respuesta y el valor final. Esta diferenciase suele expresar en tanto por cien. El máximo se alcanza en el instante t p (tiempo de pico).tp πωdMp y (t p ) y ( )y ( ) (100% ) e π tgθ (100% )Especificaciones del régimen permanente:Tiempo de establecimiento: Es el instante de tiempo a partir del cual la respuesta oscila en unentorno del 5% del valor final. A partir de este instante se considera que el sistema ha pasado alrégimen permanente (la respuesta es estable).ts Tema 7: Control por realimentación del estadoπσ4
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialValor final: Depende de la ganancia K del sistema. El valor final de la salida es el valor de laentrada multiplicado por K.La siguiente gráfica muestra estos parámetros cuando la entrada es un escalón unitario:Tema 7: Control por realimentación del estado5Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialTodos los valores anteriores dependen de la posición de los polos del sistema. Si la función detransferencia del sistema es:G (s ) kωn2s 2 2ζω n s ωn2Los polos estarán situados en:s 2 2ζω n s ω n2 0 s ζω n ω n 1 ζ 2 j σ j ω dDonde σ es la parte real y ω d es la parte imaginaria, que se conoce como FRECUENCIAAMORTIGUADA. Gráficamente, los polos están situados sobre el plano complejo de la siguiente forma:Donde cosθ ζ θ arccosζ .Tema 7: Control por realimentación del estado6
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialSi el sistema es de orden mayor, entonces, los polos y ceros adicionales modifican el comportamientodel sistema de la siguiente forma:- En general, añadir un cero al sistema lo hace más rápido y más oscilatorio. Este efecto esmayor cuanto más cercano al origen se encuentra dicho cero. Si el cero se encuentra lejosdel origen, se desprecia su efecto.- Al añadir un polo al sistema, la respuesta final será más lenta y con menor sobreoscilación.Cuanto más cerca del origen esté el polo, mayor será esta ralentización del sistema. Si elpolo está muy lejos del origen, se puede despreciar su efecto.Con el control clásico, se tratan todos los sistemas de la misma forma, como sistemas de segundoorden, desaprovechando toda la información que hay almacenada dentro del sistema. Además, secomplica el control de sistemas de orden elevado.Tema 7: Control por realimentación del estado7Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialRealimentación del estado:Dado un sistema lineal e invariante:rrrx& (t ) Ax (t ) Bu (t )rrry (t ) Cx (t ) Du (t )Cuando realimentamos el estado del sistema, las ecuaciones quedan:rrrx& (t ) [A BK ]x (t ) Br (t )rrry (t ) [C DK ]x (t ) Dr (t )Donde K [k1k2k3 K k n ]Al realimentar, ha cambiado la matriz A del sistema, siendo la nueva matriz Ar A-BK.Se pueden cambiar las propiedades del sistema eligiendo adecuadamente la matriz Ar deseada ydespejando la matriz de realimentación K necesaria para ello.Tema 7: Control por realimentación del estado8
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialSin embargo, no siempre será posible modificar el sistema a voluntad. Si el sistema tiene una parte no controlable, no se podrá modificar A como se desee. De igualmodo, si no es observable, no se puede controlar puesto que no se puede acceder al estadopara realimentarlo.o El primer paso consistirá en la extracción de la parte controlable y observable, puesto que serála única con la que se pueda trabajar. En lo sucesivo, se asumirá que trabajamos con sistemascontrolables y observables. El tamaño de Ar es [nxn] (número de ecuaciones) y el de K es [mxn] (número de incógnitas),teniendo en cuenta que lo habitual es que el número de entradas sea menor al de variables deestado:o No es posible ajustar los nxn elementos de la matriz Ar de forma arbitraria, puesto que no secuenta con los suficientes grados de libertad en la matriz K (sistema incompatible, con másecuaciones que incógnitas).o Será necesario elegir una representación adecuada de A de forma que se eliminen incógnitas.Tema 7: Control por realimentación del estado9Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial2. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN EN SISTEMASMONOVARIABLES:2.1. REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE FASE:Supongamos que partimos de un sistema monovariable con función de transferencia:G (s ) Y (s ) bn s n bn 1s n 1 K b1s b0 U ( s ) s n an 1s n 1 K a1s a0Una de las posibles representaciones en el espacio de estados es la de variables de fase: x&1 0 x& 0 2 M M x&n 1 0 x&n a0y [b0 bn a0Tema 7: Control por realimentación del estado0 x1 0 01 K0 x2 0 MM KM M M u 00 O1 xn 1 0 a1 a2 K an 1 xn 1 x1 x b1 bn a1 K bn 1 bn an 1 ] 2 [bn ] u M xn 10K10
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialAl realimentar, el sistema en bucle cerrado queda:rrrrrx& (t ) [A BK ]x (t ) Br (t ) Ar x (t ) Br r (t )rrrrry (t ) [C DK ]x (t ) Dr (t ) Cr x (t ) Dr r (t )Como se puede observar, las matrices B y D no cambian.La nueva matriz A quedará: 0 0 Ar A BK M 0 k1 a010M001M0 k2 a1 k3 a20K 0K KM 1O K kn an 1 Es decir, el nuevo polinomio característico del sistema es:P (s ) s n (kn an 1 )s n 1 K (k2 a1 )s (k1 a0 )La dinámica del sistema depende de este polinomio, por lo tanto, gracias a la realimentación del estadopodemos modificar la dinámica del sistema.Si al realimentar, deseamos que el polinomio característico del sistema en bucle cerrado sea:P (s ) s n α n 1s n 1 K α1s α 0Tema 7: Control por realimentación del estado11Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEste es el polinomio característico deseado. A partir de las especificaciones deseadas para larespuesta transitoria del sistema, calcularemos la posición que deben tener los polos del sistemarealimentado, y ello nos llevará al polinomio deseado.Comparando el polinomio obtenido al realimentar con el deseado, podremos calcular el valor de loscoeficientes de la matriz de realimentación:K [k1 k 2k3 K k n ] [α 0 a0 α1 a1 α 2 a2 K α n an ]Por otro lado, la nueva matriz C será:Cr C DK [b0 bn a0 b1 bn a1 K bn 1 bn an 1 ] bn [k1 k 2 K k n ] [b0 bn a0 b1 bn a1 K bn 1 bn an 1 ] bn [α 0 a0 α1 a1 K α n 1 an 1 ] [b0 bnα 0 b1 bnα1 K bn 1 bnα n 1 ]Observando las matrices Ar y Cr, vemos como, al realimentar el sistema, la función de transferencia enbucle cerrado queda:G (s ) Y (s ) bn s n bn 1 s n 1 K b1s b0 R ( s ) s n α n 1 s n 1 K α1 s α 0Con lo cual, las conclusiones son:Tema 7: Control por realimentación del estado12
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial Calculando adecuadamente los coeficientes de la matriz de realimentación, conseguimosmodificar el polinomio característico del sistema (posición de los polos) y, por tanto,podemos modificar la dinámica del sistema para que cumpla unas ciertas especificaciones. Los coeficientes del numerador de la función de transferencia siguen siendo los mismos quetenía el sistema sin realimentar. La realimentación del estado no modifica la posición de losceros del sistema.o Si se modifica la posición de los polos y no se modifica la posición de los ceros, cambia laganancia estática del sistema, lo cual desajustará el régimen permanente.Ejemplo 1:Dado el siguiente sistema continuo representado mediante su función de transferencia:G (s ) 3s 6s 3s 2 7 s 13Se pide calcular la realimentación del estado necesaria para que los polos del sistema realimentadoqueden posicionados en:s1, 2 1 js3 10Tema 7: Control por realimentación del estado13Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial2.2. TRANSFORMACIÓN DEL MODELO DE ESTADO A VARIABLES DE FASE:Si partimos de una representación cualquiera del estado del sistema a controlar, será necesariorealizar una transformación a variables de fase para poder calcular adecuadamente los coeficientes dela matriz de realimentación.Supongamos que el sistema es controlable. En este caso, la matriz Q tiene rango n, es invertible, y suinversa estará compuesta por n filas[Q BABA2 B K An 1 B]eiT (n es el orden del sistema): e1T T e 1Q 2 M T en La inversa de la matriz de transformación necesaria se construye a partir de la última fila, de lasiguiente forma: enT T e A 1TC n M T n 1 en A Tema 7: Control por realimentación del estado14
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialMediante esta matriz cambio de base, pasamos de cualquier representación del sistema a larepresentación en variables de fase, también denominada FORMA CANÓNICA CONTROLABLE: 0 0 1A TC ATC M 0 a0 C CT [b0 bn a01001MM00 a1 a20 K0 KKM 1 OK an 1 0 0 1B TC B M 0 1 b1 bn a1 K bn 1 bn an 1 ]Cuando tenemos esta representación del estado, sí que es posible calcular la matriz de realimentación: Ar A B K C K C [k1 k 2 k3 K k n ] [α 0 a0 α1 a1 α 2 a2 K α n an ]Donde el polinomio característico del sistema original es: P(s ) sI A s n an 1s n 1 K a1s a0Y el polinomio característico del sistema realimentado (polinomio deseado) es:() PR (s ) sI A B K C s n α n 1s n 1 K α1s α 0Tema 7: Control por realimentación del estado15Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEl estado que al que se le debe aplicar la matriz de realimentación calculada es el representado envariables de fase 1 r x TC x , es decir, el esquema del sistema realimentado quedará:Lo cual equivale a aplicar una matriz de realimentaciónTema 7: Control por realimentación del estado 1K KC TC .16
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEjemplo 2:Dado el siguiente sistema continuo:62.5 4.5 0.5 r& r x 4.5 5 1.5 x 0.5 u 3.5 5 2.5 0.5 ry [9 3 6] xSe pide calcular la realimentación del estado necesaria para que los polos del sistema realimentadoqueden posicionados en:s1, 2 1 js3 10Tema 7: Control por realimentación del estado17Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial3. AJUSTE DEL RÉGIMEN PERMANENTE.Tal y como se ha estudiado, la realimentación del estado permite la localización de los polos delsistema en los puntos que se desee mediante la modificación de los parámetros del polinomiocaracterístico. En cambio, el polinomio del numerador (posición de los ceros) permanece invariable.Esto provoca que se modifique la ganancia del sistema y, por tanto, el régimen permanente. Antes de realimentar, el sistema es:G (s ) Y (s ) bn s n bn 1s n 1 K b1s b0 U ( s ) s n an 1s n 1 K a1s a0 Tras la realimentación, el sistema se ha convertido en:Y (s ) bn s n bn 1 s n 1 K b1 s b0G (s ) R ( s ) s n α n 1 s n 1 K α1 s α 0 El error en régimen permanente es: erp r ( ) y ( )¾ Cuando la entrada del sistema realimentado es un escalón de amplitud K r :r (t ) K r R (s ) Krs b erp r ( ) y ( ) K r 1 0 α0 Tema 7: Control por realimentación del estado[ y(t )] lim[s Y (s )]donde: limt s 018
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrialerpb0¾ Expresándolo como error relativo a la entrada: K 1 αr0¾ Para que erp 0, se debe cumplir que b0 α 0 . Sin embargo, b0 viene impuesto por elsistema, y α 0 se ha fijado de forma que se cumplan unas determinadas especificacionesen el transitorio, por lo que no se puede modificar.Una posible solución para ajustar el régimen permanente consiste en incluir una ganancia delante de laentrada:El modelo de estado del sistema queda:rrrx& (t ) [ A BK ]x (t ) BK s r (t )rrry (t ) [C DK ]x (t ) DK s r (t )Tema 7: Control por realimentación del estado19Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEs decir, la matriz Ar no cambia con la inclusión de dicha ganancia.La nueva función de transferencia queda:G (s ) Y (s ) (bn s n bn 1 s n 1 K b1 s b0 ) K s R( s)s n α n 1 s n 1 K α1 s α 0Con lo cual, el nuevo error en régimen permanente cuando la entrada es un escalón de amplitud K rqueda:erpKr 1 b0 K sα0Dicho error se puede disminuir ajustando adecuadamente el valor de la ganancia K s .Problemas de este método: Saturación de la señal de control. Muy sensible a errores de modelización del sistema ( b0 no lo conozco de forma exacta). Amplifica las posibles perturbaciones del sistema.Solución: Inclusión de un regulador integral.Ejemplo 3:En el problema anterior, calcular la ganancia Ks para que (i) la ganancia estática del sistemarealimentado sea 1 e (ii) que el sistema realimentado tenga la misma ganancia que el sistema inicial.Tema 7: Control por realimentación del estado20
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEjemplo 4:Dado el siguiente sistema continuo: 1.6 1.8 r 0.4 r x (t ) x& (t ) u (t ) 0.2 0.4 0.2 ry (t ) [1 2] x (t )Se pide diseñar un sistema de control por realimentación del estado, de forma que el sistemarealimentado tenga una sobreoscilación máxima menor al 20% y un tiempo de establecimiento menor a1 s, con un error de posición menor a 0.01 unidades.Tema 7: Control por realimentación del estado21Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial4. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS.4.1. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN:La forma de calcular la realimentación necesaria en el caso de un sistema discreto es idéntica alproceso descrito para sistemas continuos.Dado un sistema discreto:rrx (k 1) Gx (k ) Hu (k )ry (k ) Cx (k ) Du (k )Si realimentamos el estado con una matrizK C [k1 k2 K kn ] , la entrada u queda:ru (k ) r (k ) K C x (k )Por tanto, el nuevo sistema es:rrx (k 1) (G HK C )x (k ) Hr (k )ry (k ) (C DK C )x (k ) Du (k )Por tanto, como en un sistema continuo, mediante la realimentación se puede cambiar la matriz G y,por tanto, los polos del sistema. Para obtener un sistema de ecuaciones compatible del que se puedan[despejar los componentes de la matriz de realimentación K C k1 k 2 Kexpresar las matrices G y H en la forma canónica controlable (variables de fase).Tema 7: Control por realimentación del estadokn ] , es necesario22
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialSupongamos que el sistema es controlable. En este caso, la matriz Q tiene rango n, es invertible, y suTinversa estará compuesta por n filas ei (n es el orden del sistema). La inversa de la matriz detransformación necesaria se construye a partir de la última fila:[Q HGHG 2 H K G n 1H] e1T T e 1Q 2 M T en TC 1 enT T e G n M T n 1 en G Mediante esta matriz cambio de base, pasamos de cualquier representación del sistema a larepresentación en variables de fase, también denominada FORMA CANÓNICA CONTROLABLE: 0 0 1G TC GTC M 0 a0 C CT [b0 bn a010M01M0 a10 a2 1 OK an 1 KKK00M 0 0 1H TC H M 0 1 b1 bn a1 K bn 1 bn an 1 ]Que corresponde a la función de trasferencia:G (z ) Y ( z ) bn z n bn 1 z n 1 K b1 z b0 nU ( z)z an 1 z n 1 K a1 z a0Tema 7: Control por realimentación del estado23Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialDonde el polinomio característico del sistema original es: P( z ) zI G z n an 1 z n 1 K a1 z a0Si una vez realimentado el sistema, deseamos que el nuevo polinomio característico sea (este nuevopolinomio se calcula a partir de los polos deseados):() PR (z ) zI G HK C z n α n 1 z n 1 K α1 z α 0Entonces, la matriz de realimentación necesaria para conseguir este nuevo polinomio característicoes: K C [k1k2k3 K k n ] [α 0 a0 α1 a1 α 2 a2 K α n an ]Tras la realimentación, el sistema se ha convertido en:G(z ) Y (z ) bn z n bn 1 z n 1 K b1 z b0 R( z ) z n α n 1 z n 1 K α1 z α 0Por lo que, al igual que en sistemas continuos, se ha modificado la ganancia del sistema y, por tanto,también se habrá visto modificado el error ante entrada escalón.Tema 7: Control por realimentación del estado24
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialPara ajustar el error en régimen permanente también se podría optar por introducir una ganancia Ks alprincipio del diagrama de bloques.Cuando trabajamos con sistemas discretos, cabe tener en cuenta que la transformada de la secuenciaescalón unitario es:r (k ) {1,1,1,1,1, K} R( z ) 11 z 1Y que el teorema del valor final es:[()]lim [ y (k )] lim 1 z 1 Y (z )k z 0Tema 7: Control por realimentación del estado25Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial4.2. RESPUESTA CON OSCILACIONES MUERTAS:La realimentación de un sistema discreto ofrece una posibilidad de situación de los polos muyinteresante.La solución de la ecuación de estado de un sistema discreto, tal cual se estudió en el tema 4, es:k 1rk rx (k ) G x0 G k 1 i H u (i )i 0Cuando trabajamos con un sistema realimentado, dicha solución será:k 1rk rk 1 i()()(H DK C ) u (i )x k G HK C x0 (G HK C )i 0Cuando aparece una perturbación en el sistema, se provoca un incremento en el estado. Aldesaparecer la perturbación, el estado evolucionará libremente hasta el valor que tenía antes de laperturbación. De este modo, podemos estudiar cómo se comporta el sistema ante una perturbación,sometiendo al sistema a un estado inicial y estudiando como evoluciona hasta el estado de equilibrio.rk rx (k ) (G HK C ) x0Tema 7: Control por realimentación del estado26
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrialrk rx (k ) (G HK C ) x0Si la matriz G HK C tiene todos sus valores propios (polos del sistema) dentro del círculo unidad, elsistema es estable y la perturbación provocará una respuesta dada por una exponencial decreciente,tanto más rápida cuando cuanto más lejanos estén los polos del límite de estabilidad (circunferenciaunidad).Si fijamos todos los polos del sistema en z 0, tendremos el sistema más rápido posible y, por tanto,anulará las perturbaciones en el menor número posible de muestras. Dicha respuesta se conoce comoRESPUESTA CON OSCILACIONES MUERTAS.Un sistema de orden n que tiene una respuesta con oscilaciones muertas elimina cualquierperturbación (estado inicial) en n muestras.En este caso, el polinomio característico deseado es:PR ( z ) z nα n 1 K α1 α 0 0Por lo que la matriz de realimentación necesaria será: K C [k1k2k3 K k n ] [ a0 a1 a2 K an ]Al realimentar con esta matriz, obtendremos una nueva matriz G:Tema 7: Control por realimentación del estado27Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería Industrial 0 0 GR G HK C M 0 01 0 K 0 0 1 K 0 M M K M 0 0 O 1 0 0 K 0 Esta matriz de denomina matriz de potencia nula, y cumple la propiedad de que:(G )nR 0Por tanto, independientemente de lo que valga el estado inicial, en el instante n y sucesivos el estadodel sistema valdrá:( )r n rx (n ) GR x0 0En este tipo de respuestas no existe ningún tipo de libertad de diseño. El único parámetro quepodemos variar es el periodo de muestreo T, de forma que el tiempo de establecimiento será n·T.-Si T es muy pequeño, se elimina rápidamente la perturbación, pero esto supondrá valores dela señal de control muy altos, que pueden saturar el sistema.-Si T es alto, no se corre el riesgo de saturar el sistema, pero se eliminan las perturbacionesmás lentamente.Tema 7: Control por realimentación del estado28
Sistemas Electrónicos y Automáticos4º Ingeniería IndustrialEjemplo 5:Dado el siguiente sistema discreto, en el que el periodo de muestreo es de 0.1 segundos:1 r 0 0 r x (kT ) u (kT )x ((k 1)T ) 0.16 1 1 ry (kT ) [1 2] x (kT )Se pide diseñar un sistema de control por realimentación del estado, de forma que el sistemarealimentado se comporte:a) Respuesta con oscilaciones muertas.b) Respuesta subamortiguada una sobreoscilación máxima menor al 20% y un tiempo deestablecimiento menor a 1 s, con un error de posición menor a 0.01 unidades.Tema 7: Control por realimentación del estado29
Tema 7: Control por realimentación del estado 8 Realimentación del estado: Dado un sistema lineal e invariante: ()() y() ()t Cx t Du t x t Ax t Bu t r r r r& r r Cuando realimentamos el estado del sistema, las ecuaciones quedan: Donde K [k1 k2 k3 K kn]
