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Draft for Release R2020aGeneral Mission Analysis Tool(GMAT)Mathematical SpecificationsDRAFTMarch 6, 2020NASA Goddard Space Flight CenterGreenbelt RDGreenbelt, MD 20771
Draft for Release R2020aContents1 Time1.1 Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Atomic Time: TAI and A.1 . . . . . .1.1.2 Universal Time: UTC and UT1 . . . .1.1.3 Dynamic Time: TT, TDB and TCB .1.2 Time Formats . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Julian Date and Modified Julian Date1.2.2 Gregorian Date . . . . . . . . . . . . .1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Coordinate Systems2.1 General Coordinate SystemTransformations . . . . . . . .2.2 Pseudo-Rotating CoordinateSystems . . . . . . . . . . . . .2.3 ITRF and ICRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Transformation from ICRT to MJ2000Eq . . . . . . . . . .2.5 The FJ2k Inertial System and FK5 Reduction . . . . . . . .2.5.1 Overview of FK5 Reduction . . . . . . . . . . . . . .2.5.2 Precession Calculations . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.3 Nutation Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.4 Sidereal Time Calculations . . . . . . . . . . . . . .2.5.5 Polar Motion Calculations . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Deriving RJ2k ,i and ṘJ2k ,i for Various Coordinate Systems2.6.1 Equator System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.2 MJ2000 Ecliptic (MJ2000Ec) . . . . . . . . . . . . .2.6.3 True of Epoch Equator (TOEEq) . . . . . . . . . .2.6.4 Mean of Epoch Equator (MOEEq) . . . . . . . . . .2.6.5 True of Date Equator (TODEq) . . . . . . . . . . .2.6.6 Mean of Date Equator (MODEq) . . . . . . . . . . .2.6.7 Mean of Date Ecliptic (MODEc) . . . . . . . . . . .2.6.8 True of Date Ecliptic (TODEc) . . . . . . . . . . . .2.6.9 Topocentric Horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.10 Celestial Body Fixed . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.11 Body Inertial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.12 Object Referenced . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.13 Geocentric Solar Ecliptic (GSE) . . . . . . . . . . .2.6.14 Geocentric Solar Magnetic (GSM) . . . . . . . . . .2.6.15 Body-Spin Sun Coordinates . . . . . . . . . . . . .2.7 Appendix 1: Derivatives of ObjectReferenced Unit Vectors .2.7.1 Basic Rotation Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 8292929293132323434353638.3 Calculation Objects433.1 Spacecraft State Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Draft for Release R2020aCONTENTS3.23.1.2 Cartesian State to Keplerian Elements . . . . . . . . . .3.1.3 Keplerian Elements to CartesianState . . . . . . . . . .3.1.4 Equinoctial Elements to Cartesian State . . . . . . . . .3.1.5 Cartesian State to Equinoctial Elements . . . . . . . . .3.1.6 Cartesian State to SphericalAZFPA State . . . . . . . .3.1.7 SphericalAZFPA State to Cartesian State . . . . . . . .3.1.8 Cartesian State to SphericalRADEC State . . . . . . . .3.1.9 SphericalRADEC State to Cartesian State . . . . . . . .3.1.10 Keplerian or Cartesian, to Modified Keplerian Elements3.1.11 Modified Keplerian Elements to Keplerian Elements . .Simple Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 A1Gregorian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 A1ModJulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4 AOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5 Apoapsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.6 AZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.7 BdotT and BdotR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.8 BetaAngle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.9 BVectorAngle and BVectorMag . . . . . . . . . . . . . .3.2.10 C3Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.11 DEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.12 DECV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.13 ECC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.14 FPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.15 EA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.16 Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.17 HMAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.18 HX,HY, and HZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.19 HA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.20 INC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.21 Latitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.22 Longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.23 LST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.24 MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.25 MHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.26 MM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.27 OrbitPeriod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.28 PercentShadow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.29 RA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.30 RAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.31 RAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.32 RadApo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.33 RadPer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.34 RLA and DLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.35 RMAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.36 SemilatusRectum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.37 SMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.38 TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.39 TAIModJulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.40 TTModJulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.41 TTGregorian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.42 Umbra and Penumbra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.43 UTCModJulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17172727273
Draft for Release R2020a4CONTENTS.737374747475757578794 Dynamics Modelling4.1 Orbit Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1 Orbital Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2 Coordinate Systems for Integration of the Equations of Motion .4.1.3 Orbit Variational Equations and the State Transition Matrix . .4.1.4 Mass Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.5 Multiple Spacecraft Propagation and Coupled Propagation of the4.2 Force Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 n-Body Point Mass Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Non-Spherical Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3 Atmospheric Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4 Solar Radiation Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5 PercentShadow Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.6 Relativistic Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.7 Spacecraft Thrust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Spacecraft Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1 RF Hardware Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2 Thruster Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3 Tank Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.4 Mass Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Environment Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1 Ephemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2 Atmospheric Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Flux and Geomagnetic Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.1 File Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2 Historical (Observed) data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3 Near Term Daily Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.4 Long Term Monthly Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Equations of Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171171171181181185 Optimal Control Functions and Jacobians5.0.1 State Transformations and Associated Jacobians5.0.2 Patched Conic Flyby Boundary Constraint . . .5.0.3 Patched Conic Launch Constraints . . . . . . . .5.0.4 Celestial Body Rendezvous . . . . . . . . . . . .5.0.5 Patched Conic Encounter . . . . . . . . . . . . .5.0.6 Simple Linkage Constraint . . . . . . . . . . . . .5.0.7 Integrated Flyby Constraint . . . . . . . . . . . .1251251271291301311321326 Numerical Integrators6.1 Runge-Kutta Integrators . . . . . . . . . . . . . .6.1.1 Constructor & Destructor Documentation6.2 Prince-Dormand Integrators . . . . . . . . . . . .6.3 Adams Bashforth Moulton . . . . . . . . . . . . .1351351361361363.33.43.53.63.2.44 VelApoapsis . .3.2.45 VelPeriapsis . .3.2.46 VMAG . . . .Other Calculations .3.3.1 MA to TA . . .3.3.2 EA to TA . . .3.3.3 HA to TA . . .Libration Points . . .Barycenter . . . . . .Ground Station Model.
Draft for Release R2020aCONTENTS6.46.56.65Bulirsch-Stoer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Stopping Condition Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Integrator Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377 Measurement Modeling7.1 General Form of the Measurement Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1.1 Ideal Observables: Geometry, Coordinate Systems, and Notation . . .7.1.2 One Way Range Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Light-Time Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2.1 One-Way Light Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2.2 Partial Derivatives of the One-Way Light Time . . . . . . . . . . . . .7.3 Computed Value of Two-Way Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.2 NASA Ground Network (STDN) and Universal Space Network (USN)7.3.3 NASA Space Network (TDRSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.4 NASA Deep Space Network (DSN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4 Computed Value of Averaged Two-Way Doppler . . . . . . . . . . . . . . . .7.5 NASA Deep Space Network (DSN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6 Computed Values of Optical Angles Observables . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Geometric Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7.1 Geometric Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7.2 Geometric Range Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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