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Matemáticas I1º BachilleratoTEMA 8. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINIDAD.1. Concepto de función.2. Dominio e imagen de una función.3. Tipos de funciones.4. Operaciones con funciones.5. Concepto de límite.6. Cálculo de límites.7. Continuidad de una función.8. Asíntotas.9. Propiedades de funciones.1. Concepto de función.Función: relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento x del conjunto inicialun único elemento y f(x) del conjunto final.x variable independientey f(x) variable dependienteDominio de una función f, D(f) o Dom (f): conjunto de todos los valores posiblesde x.Recorrido o imagen de una función R(f), Rec(f) o Im (f): conjunto de todos losvalores de y f(x).Trabajamos con funciones reales de variable real, es decir, el dominio y la imagenson números reales.1
Matemáticas I1º BachilleratoFormas de expresar una función:- Enunciado (descripción verbal).- Fórmula.- Tabla.- Gráfica.2
Matemáticas I1º BachilleratoPor tanto, una recta vertical solo puede cortar una vez la gráfica de una función.2. Dominio e imagen de una función.Dominio de una función f, D(f) o Dom (f): conjunto de todos los valores posiblesde x.Recorrido o imagen de una función R(f), Rec(f) o Im (f): conjunto de todos losvalores de y f(x).El cálculo gráfico del dominio de una función se realiza a partir de la gráficabuscando sobre el eje horizontal los valores de x tales que la recta vertical que pasapor x corta a la gráfica de la función.El cálculo de la imagen de una función se realiza a partir de la gráfica buscandosobre el eje vertical los valores de y tales que la recta horizontal que pasa por ycorta a la gráfica de la función.Cálculo algebraico del dominio de una función: a partir de la fórmula quedescribe una función podemos encontrar el dominio de la misma:a) El dominio de funciones polinómicas f(x) P(x) son todos los números reales.Ejemplo:3
Matemáticas I1º Bachillerato b) El dominio de funciones racionalesson todos los números realesque hacen el denominador distinto de cero.Ejemplos: En una fracción algebraica el denominador no puede ser cero.1f ( x) 1xen el punto x 0 no existe la función, por tanto:D ℜ {0}23c) El dominio de las funciones irracionales de índice impardominio del radicando g(x).Ejemplos:12 ℝ ℝ 0Otros ejemplos: 9 4 es el
Matemáticas I1º Bachilleratod) El dominio de las funciones irracionales de índice par sontodos los números reales que hacen el radicando mayor o igual que cero 0.Ejemplos: En una raíz de índice par el radicando no puede ser negativo.f ( x) 1xsi x 0 no existe la función, por tanto: D [0, )La solución de la inecuación es el dominio2 Otros ejemplos: 9 2e) El dominio de las funciones logarítmicas log son todos losnúmeros que hacen mayor que cero la expresión de la que se calcula el logaritmo 0.Ejemplo: El argumento de un logaritmo no puede ser un número negativo ocero.12f ( x ) Lxsi x 0 ó x 0 no existe la función, por tanto: D (0, ) log 3 2 3 2 0 La solución de la inecuación es el dominio , 1 2, 5
Matemáticas I1º Bachillerato3. Tipos de funciones.A) FUNCIONES POLINÓMICAS.- Primer grado:- Segundo grado:Observa que una parábola es simétrica respecto a un eje que se sitúa en elvértice.6
Matemáticas I1º Bachillerato- Grado mayor que dos.Puede tener distintas formas.7
Matemáticas I1º BachilleratoB) FUNCIONES RACIONALES 8
Matemáticas I1º BachilleratoC) FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL.Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas entre sí.9
Matemáticas I1º BachilleratoD) FUNCIONES IRRACIONALES.E) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:Las funciones trigonométricas: ,- ;F) FUNCIONES A TROZOS:10 ./ ; 0
Matemáticas I1º BachilleratoG) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:Al desarrollarlas se convierten en funciones a trozos:a) 2 b) 2 5 0 0 2 2 2 0 2 011 2 2 2 2 2
Matemáticas I1º BachilleratoH) FUNCIÓN PARTE ENTERA: 6-0 7 8es el mayor número entero menor o igual que x.xy-1,5-2-1-1-0,5-1000.50111,624. Operaciones con funciones.A) SUMA, RESTA, PRODUCTO Y COCIENTE. La expresión algebraica se obtiene sumando, restando, multiplicando odividiendo respectivamente las expresiones algebraicas de las funcionesoriginales. Los dominios de las funciones suma, resta y producto, están formados porla intersección de los dominios de las funcionesque tienen en común).12y(es decir lo
Matemáticas I1º Bachillerato El dominio del cociente es la intersección de los dominios de las funciones además se quita del dominio los valores que anulen eldenominador0.B) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Existe una operación específica de las funciones que se llama composición yconsiste en:1º. Aplicamos una función a un número.2º. Aplicamos otra función al resultado obtenido.13
Matemáticas I1º Bachillerato En general, la composición de funciones no es conmutativa. Para que un número x pertenezca al dominio de 14 debe cumplir:
Matemáticas I1º BachilleratoC) FUNCIÓN INVERSA. La función inversa (o recíproca) de una función Donde es otra funcióntal que: es la función identidad.No toda función tiene inversa, solo las funciones inyectivas tienen inversa.Una función es inyectiva si a cada valor de le corresponde un único valorde .Ejemplos de funciones inyectivas:Ejemplos de funciones no inyectivas: Para obtener la función inversa, seguimos los siguientes pasos:15
Matemáticas I1º Bachillerato Esto no siempre es posible realizarlo, ya que no siempre se puede despejar lax o el resultado al hacerlo no es único:(ambas son funciones no inyectivas) Si existe la inversa de una función es única. Gráficamente una función y su inversa son simétricas con respecto a larecta ? que es la bisectriz del 1er y 3er cuadrantes (función identidad).Ejemplos: 2 La función log no es inyectiva en todo su dominio, pero si se separa porintervalos: 70, 16 , 08
Matemáticas I1º Bachillerato El recorrido o imagen de una función se puede obtener, además de por sugráfica, teniendo en cuenta que si la función tiene inversa, la imagen de lafunción es el dominio de la inversa.Ejemplo 1.La función 2 ℝE 70, La función log 70, E ℝEjemplo 2.5. Concepto de límite.A) LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremoscapaces de acercarnos todo lo que queramos. En matemáticas: sea una función y dos números @, A ℝlim Ase lee: “límite cuando x tiende al número a de la funciónes igual al valor b”El límite de una función en un punto, tiene sentido de “lugar” hacia el que sedirige el valor de la funcióncuando la variable independienteaproxima a un valor determinado.17se
Matemáticas I1º BachilleratoEjemplo 1.Ejemplo 2.18
Matemáticas I1º BachilleratoB) LÍMITES LATERALES.limFLímite lateral por la izquierda (tomamos valores próximos al números a pero menores).limGLímite lateral por la derecha (tomamos valores próximos al números a pero mayores).Ejemplo 1.lim Definición:limF limG 1A lim ACuando los límites laterales existen y son iguales, existe el límitede la función cuando @.Ejemplo 2.19
Matemáticas I1º BachilleratoEl lim y el valor de@ pueden coincidir o no.Ejemplo 3.C) LÍMITES INFINITOS.Ejemplo 1.20
Matemáticas I1º ,00110000000,0011000000 0 0 Ejemplo 2.Ejemplo 3.21
Matemáticas I1º BachilleratoD) LÍMITES EN EL INFINITO.En este caso estudiamos: lim Ejemplo 1. Sea la funciónxyxy-1010010100-1000100000010001000000 - - lim I lim IEjemplo 2. Sea la funciónlim I1lim I221
Matemáticas I1º Bachillerato6. Cálculo de límites.El primer paso para calcular el límite de una función en un punto es sustituir la variablepor el valor al que tiende. Se obtienen dos resultados posibles: límites determinados ylímites indeterminados:A) LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS.Ejemplo 1.x 2 1 32 1 8lim 2x 3 x 13 1 4El límite está determinado, puede calcularse directamente.Más ejemplos:Ejemplo 2.limx 1x 2 1 12 1 0 ?x 11 1 0El límite está indeterminado. No significa que no exista, si no queno puede calcularse directamente.B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.Donde x 0 puede ser un número ℜ ó 23
Matemáticas I1º BachilleratoC) OPERACIONES CON Y 0. aPOTENCIAS.También:JK1 0I 00L 20 M 0 M 0Ejemplos:70 10 12 ;011 011 1200Hay ocasiones en las que no sabemos de forma inmediata el resultado, decimos quees “indeterminado”.Indeterminado no significa que no pueda existir el límite, sino que será necesariorealizar algunas operaciones previas para poder determinar si existe, y su valor.24;
Matemáticas I1º BachilleratoRESUMEN DE INDETERMINACIONES:D) CÁLCULO DE DISTINTOS TIPOS DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DEINDETERMINACIONES.D1. Límite de una función definida “a trozos”.a) En el punto de ruptura: 2 x 5 x 3f ( x) x 7 x 3Para calcular el lim f(x) en x 3, se calculan los límites laterales:lim 2 x 5 6 5 1 lim x 7 3 7 4 x 3 x 3 como los límites laterales no son iguales no existe el límite de f(x) en el puntox 325
Matemáticas I1º Bachilleratob) En otro punto del dominio de la función:lim f ( x ) lim 2 x 5 2 5 3x 1x 1lim f ( x ) lim x 7 7 7 0x 7x 7D2. Límite de funciones racionalesP ( x)Q( x)a) Si el denominador se anula: Indeterminaciónk( k 0)0P( x) k hay que estudiar los límites lateralesx c Q ( x )0lim(se estudia el signo deP ( x)en valores próximos a c)Q( x)Ejemplo:00Se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifica.b) Si el numerador y el denominador se anulan: IndeterminaciónEjemplo:26
Matemáticas I1º BachilleratoD3. Cálculo de límites cuando x y cuando x .a) Límites de funciones polinómicas:Depende del signo del coeficiente de mayor grado:lim 3x 4 5 x 3 lim 3x 4 x x lim 5 x 3 7 x 2 9 lim 5 x 3 x x Cuando x hay que tener en cuenta si el exponente es par o imparlim 3x 3 5 x 2 7 lim 3x 3 x x lim 2 3 74 3lim 7 4 lim x 2 8 lim x 2 x x lim x 4 5 lim x 4 x x k 0x P ( x )b) Funciones inversas polinómicas: limEjemplo:limx 44 ; expresión no real pero que tiende a 0.x c) Funciones racionalesP ( x) . IndeterminaciónQ( x) La forma de resolver este tipo de indeterminación es dividir el numerador yel denominador por la potencia de mayor grado de la variable.27
Matemáticas I1º BachilleratoEn resumen:Observa que:P ( x). Indeterminación .Q( x)Puede resolverse realizando la operación indicada.d) Funciones racionales28
Matemáticas I1º BachilleratoD4. Cálculo de límites de funciones irracionales.a) Indeterminación0e : Se multiplica y se divide por el radical0conjugado.La expresión conjugada de A B es A - B.Ejemplo:Ejemplo: . Se divide numerador y denominador por la potencia máxima de la variable.b) IndeterminaciónEjemplo:limx 13 x 24 x 2 3x 2 limx 13 x 22 13 13 13xxx lim x 23 244 x 2 3x 24 2x xx2x2 x229
Matemáticas I1º BachilleratoD5. Resolución de indeterminaciones del tipo 1 . Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de lasiguienteforma:30
Matemáticas I1º BachilleratoOtro método:31
Matemáticas I1º Bachillerato7. Continuidad de una función. Idea intuitiva de la continuidad “una función continua es aquella cuya gráficapuede dibujarse sin levantar el lápiz del papel”. La continuidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo oen todo su dominio. Definición de continuidad en un punto:Es decir, una función es continua en un punto cuando existe el límite en esepunto y coincide con el valor de la función en ese punto. Propiedades de las funciones continuas:Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales,logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio.Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no esténdefinidas y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio.Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en esepunto.32
Matemáticas I1º Bachillerato Algunos tipos de discontinuidades:A) Discontinuidad evitable, se produce cuando: x2 1 x 1 Ejemplo: f ( x) x 1 3 x 1 limx 1x2 1( x 1)( x 1) lim lim x 1 2x 1x 1 x 1 ( x 1)pero f(1) 3La función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x 1Una función que tenga límite en un punto se puede completar paraque sea continua en él. Si tomamos f(1) 2 f(x) es continua.B) Discontinuidad inevitable: se produce cuando existen los límites laterales enel punto pero son distintos.limF limG 33
Matemáticas I1º BachilleratoEl valor Q lim @ lim @Q se llama salto de la función en ese punto. Elsalto de la función puede ser finito o infinito. Continuidad lateral:Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por laderecha en él y coincide con el valor de la función en ese punto.lim f ( x) f (c)x c Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por laizquierda en él y coincide con el valor de la función en ese punto.lim f ( x) f (c)x c Continuidad en un intervalo:-Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continuaen cada uno de sus puntos.Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es entodos sus puntos y además es continua por la derecha de a y por laizquierda de b.34
Matemáticas I1º Bachillerato35
Matemáticas I1º Bachillerato8. Asíntotas.Las asíntotas de una función (en caso de existir) son rectas del plano a las que la funciónse aproxima tanto como queramos.A) ASÍNTOTA VERTICAL (A.V.): la funcióntiene una asíntota vertical en la@ cuando existe al menos uno de los siguientes límites:rectaLas posibles asíntotas verticales de una función estarán en los puntos de la función queno pertenezcan a su dominio.B) ASÍNTOTAS HORIZONTALES (A.H.): la funcióntiene una asíntotahorizontal en la recta A cuando existe al menos uno de los siguientes límites:Para las funciones del tipoexiste A.H. si el grado del numerador es menoro igual que el grado del denominador.36
Matemáticas I1º BachilleratoC) ASÍNTOTA OBLICUA (A.O.): la función R - cuando existen los límites:tiene una asíntota oblicua en la rectaAdemás m 0Para las funciones del tipoexiste A.O. si el grado del numerador supera enuna unidad al grado del denominador.NOTA: Si una función racionaltiene asíntota horizontal, no las tieneoblicuas.37
Matemáticas I1º Bachillerato9. Propiedades de funciones.A) SIMETRÍAS. Una función par es aquella que cumple: Es simétrica respecto al eje de ordenadas.38
Matemáticas I1º Bachillerato Una función impar es aquella que cumple: Es simétrica respecto al origen de coordenadas.39
Matemáticas I1º BachilleratoB) TRASLACIONES. Traslaciones verticales: Dada una funciónM 0, la gráfica de las funciones de y un número real positivo M, M son como lapero trasladadas M unidades hacia arriba o hacia abajo,respectivamente.40
Matemáticas I1º Bachillerato Traslaciones horizontales: Dada una funciónM 0, la gráfica de las funciones de y un número real positivo M , M son como lapero trasladadas M unidades hacia la derecha o hacia laizquierda, respectivamente.C) SIGNO DE UNA FUNCIÓN.Se señalan sobre el eje X los puntos de corte de la función con él y los puntos dediscontinuidad y se estudia el signo de la función en los intervalos obtenidos.41
Matemáticas I1º BachilleratoD) PERIODICIDAD.Una funciónes periódica si existe un número T tal que ST se llama período.Ejemplo 1.T 1Ejemplo 2.Las funciones trigonométricas senx, cosx, tgx42
2. Dominio e imagen de una función. Dominio de una función f, D(f) o Dom (f): conjunto de todos los valores posibles de x. Recorrido o imagen de una función R(f), Rec(f) o Im (f): conjunto de todos los valores de y f(x). El cálculo gráfico del dominio de una función se realiza a partir de la gráfica
