Transcription
Tareas de Matemáticas para realizar en el período de suspensión de la asistenciapresencial al Instituto. 3º trimestre.Actividades de AMPLIACIÓN.I.E.S. Sánchez Cantón1º de Bachillerato. Período del 9 al 19 de Junio(Entregar antes de las 23:59 h del jueves 18 de Junio)GEOMETRÍA MÉTRICA Y ANALÍTICAIntroducciónLo que verás en este tema pertenece a una introducción a partes de la Geometría modernadenominadas Geometría métrica y Geometría Analítica. La Geometría métrica, como indica sunombre, consiste en “medir” objetos geométricos (segmentos, distancias, ángulos, áreas. etc.)pero sin usar instrumentos geométricos físicos (regla, compás, cartabón, etc.). Para poder“medir”, esa parte de la Geometría transforma los objetos geométricos en “numero”. Es decir, elvértice de un triángulo en un plano pasa de ser un punto visible a un par de números ordenados.Por ejemplo, los puntos A (2,5), B (-3,4) y C (2,-6) determinan el triángulo ABC. En esetriángulo se podrían medir los lados y los ángulos con regla y un transportador de ángulos sirepresento gráficamente los puntos. También podría calcular su área, midiendo su altura conayuda de una escuadra graduada o una escuadra y una regla. La Geometría métrica mide ycalcula las longitudes de los lados, los ángulos y el área usando las coordenadas de los puntosA, B y C. Eso proporciona mayor exactitud en la medidaUsando pocas palabras, se podría decir que lo que se pretende con esa Geometría, tan diferentede la Geometría griega de regla y compás de Euclides, es conseguir que todo aquello que sepuede dibujar se pueda calcular. Es decir: si puedo medir una longitud con una regla, puedomedir una longitud calculando. Pero va más allá: si puedo dibujar una recta puedo calcular unaexpresión algebraica de esa recta, si puedo dibujar una circunferencia puedo calcular suexpresión algebraica, etc. La recta, la circunferencia, etc., se denominan en este ámbito “lugaresgeométricos”. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinadacondición. Por ejemplo, una circunferencia la forman los puntos que cumplen que su distancia aun punto, llamando centro, es siempre una cantidad determinada llamada radio. Hace ya muchosaños que sabes trazar o dibujar una circunferencia con un compás si conoces su centro y suradio. Pero ahora “calcularás” la expresión algebraica que deben cumplir los puntos parapertenecer a la circunferencia. Es decir, la expresión algebraica del lugar geométrico“circunferencia”. Si un punto de la circunferencia es de la forma P (x,y), el centro es C (a,b) y elradio es r, verás en el futuro que la expresión algebraica de la circunferencia es( x a ) ( y b)22 r 2 . Esa expresión se denomina “ecuación cartesiana” de la circunferencia1
porque usa las coordenadas cartesianas de un punto. Esa vinculación de Geometria con elÁlgebra y Análisis se denomina Geometría Analítica y dio sus primeros pasos firmes con Fermaty Descartes (allá por el s. XVII).Como verás en el futuro, uno de los problemas que resuelve la Geometría Analítica es calcularla ecuación o expresión algebraica de un lugar geométrico. Es decir, calcular una ecuación apartir de una condición geométrica.También verás en el futuro que se pueden usar otro tipo de coordenadas. Por ejemplo, lascoordenadas polares (¿recuerdas la expresión polar de un complejo?). En muchos casos delugares geométricos se determina la “ecuación polar” o “ecuación en coordenadas polares”porque usará las coordenadas polares de los puntos en vez de las coordenadas cartesianas. Larazón es resultará más sencillo deducir la ecuación o más útil para el fin que se busca.En este tema te ocuparás de la ecuación cartesiana de la recta en el plano métrico o euclídeo (2) y de algunos problemas métricos del plano. El curso próximo lo harás en el espacio 3 ,estudiando rectas y planos.Ecuaciones de la recta en el plano cartesianoSi en una clase se pregunta, “¿qué se necesita para determinar una recta?”, lo más probable esque la respuesta mayoritaria sea “dos puntos”. Es decir, dos puntos determinan una recta:Pero en lo que sigue, las ecuaciones de la recta en el plano no se determinarán a partir de dospuntos inicialmente. Verás cómo se determina la ecuación de la recta a partir de dos puntos, peroen principio se usará un punto de la recta y un vector:2
Si sé que la recta pasa por el punto P y es paralela al vector u , puedo trazar la recta:Precisamente es así como determinaremos las ecuaciones de la recta en el plano. Mediante:-un punto cualquiera que pertenece o por el que pasa la recta-un vector que es paralelo a la recta o, lo que es lo mismo, que proporciona la “dirección”de la recta. Como el vector proporciona la dirección de la recta recibe el nombre de vectordirectorUn vector director no es más que un vector con lamisma “dirección” de la recta. Eso quiere decir queel número de posibles vectores directores de unarecta es infinito.En lo que sigue:-la recta recibe el nombre de r (lo habitual es nombrar las rectas usando la letra r enadelante: r, s, t, etc.). la forma de dar la ecuación de una recta a la que se ha asignado unnombre es: r: ecuación de la recta-X es un punto cualquiera de la recta de coordenadas X (x,y)-P es un punto cualquiera conocido que pertenece a la recta. Sus coordenadas sonP ( x 0 , y0 )3
-u es un vector director de la recta de coordenadas u ( a, b )Determinar la ecuación de la recta representará cómo calcular un punto cualquiera de la recta(punto X (x,y)) a partir de las coordenadas conocidas de un punto por el que pasa la rectaP ( x 0 , y 0 ) y las coordenadas conocidas de un vector director de la recta ( u ( a, b ) ).Si realizo la operación con vectores P u , obtengo un vector QSi realizo la operación P 2 u obtendré unvector RSi considero las coordenadas de Q y R comocoordenadas de puntos del plano, lo que habréobtenido son dos puntos Q y R de la recta r.4
Resumiendo: si realizo la operación P t u, t e interpreto el resultado como las coordenadasde un punto del plano, por cada valor posible de t obtendré un punto de la recta r1.Si realizo la operación con todos los infinitos valores posibles de t, obtendré todos los puntos dela recta r. Es decir:X P t u, t Siendo:X un punto cualquiera de la rectaP un punto perteneciente a la recta conocidou un vector director de la rectaEsa es la primera de las ecuaciones cartesianas de la recta que hemos obtenido. Recibe elnombre de ecuación vectorial.Sustituyendo X (x,y), P ( x 0 , y 0 ) y u ( a, b ) :X P t u, t ( x, y ) ( x 0 , y0 ) t ( a, b ) , t Ec. Vectorial de la rectaFíjate que X y P se consideran al mismo tiempo puntos y vectores. En la ecuación son vectores(la operación es entre vectores, el resultado es un vector) pero se trata de la ecuación de unarecta, es decir, X(x,y) y P ( x 0 , y 0 ) son puntos de la recta.Ejemplo:La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector director u ( 2,3)es: ( x, y ) ( 4,5 ) t ( 2,3 ) , t El resto de las ecuaciones de la recta, como verás a continuación, se deducen a partir de laecuación vectorial. Incluyendo la ecuación vectorial son un total de seis ecuaciones. Algunas yalas has usado este curso y en cursos anteriores. ¿Por qué tantas? Porque, en un contextoconcreto, una ecuación es más útil o cómoda que otra. Además, cada una de las ecuacionesposee ventajas e inconvenientes. Por ejemplo: la ecuación vectorial posee la ventaja de queaparece expresamente un punto de la recta y un vector director pero si deseo generar puntos deDescarga el archivo GeoGebra Ecuación vectorial de la recta (ecuac vector recta.ggb) y podrásobtener puntos de una recta, fijando un vector director y un punto conocido de la recta.15
la recta, debo dar valores a t y realizar la operación indicada en la ecuación vectorial. Como verásy ya has viso, con otras ecuaciones de la recta generar puntos de la recta es más cómodo.Desarrollando la expresión ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) t ( a, b ) , t ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) ( at, bt ) ,:t ( x, y ) ( x 0 at, y 0 bt ) , t a c Dos puntos del plano son iguales si son iguales sus coordenadas ( a, b ) ( c, d ) :c d x x 0 at, t y y 0 bt Ecuación paramétrica x x 0 at, t y y0 bt Ec. paramétrica de la rectaEjemplo:La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector directoru ( 2,3) :( x, y ) ( 4,5 ) t ( 2,3) , t ( x, y ) ( 4,5 ) ( 2t,3t ) , t ( x, y ) ( 4 2t,5 3t ) , t x 4 2t, t y 5 3tEvidentemente, podría haberse deducido directamente a partir de la expresión que se haobtenido, sin hacer el desarrollo.El resto de las ecuaciones se deducen a partir de la expresión que resulta de eliminar t en laexpresión. Eliminaremos t despejando su valor en ambas ecuaciones e igualando resultados: x x 0 at, t y y 0 bt x x0 t ax x 0 y y0 ab t y y0 bx x 0 y y0 Ecuación continua de la rectaabRecuerda que X (x,y) es un punto cualquiera de la recta, , P ( x 0 , y 0 ) es un punto decoordenadas conocidas de la recta y u ( a, b ) es un vector director de la recta.6
Ejemplo:La ecuación continua de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector director u ( 2,3) : x 4 2t, t y 5 3t x 4 y 5 23El resto de las ecuaciones se deducen de la ecuación continua.x x 0 y y0b y y0 ( x x 0 )abaSi u ( a, b ) es un vector director de la recta,bes el valor de la pendiente de la recta.ab m pendiente de la recta.ay y 0 m ( x x 0 ) Ecuación punto-pendiente de la rectaSiendo m la pendiente de la recta y P ( x 0 , y 0 ) un punto de coordenadas conocidas pertenecientea la recta.Esta ecuación es la que has usado en la ecuación de la tangente a la gráfica de una función enun punto.Ejemplo:La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector directoru ( 2,3) :x 4 y 53 y 5 ( x 4)232x x 0 y y0 b ( x x 0 ) a ( y y 0 ) bx ay bx 0 ay 0 0abA bB aC bx 0 ay 0Ax By C 0Ax By C 0 Ecuación general o implícita de la rectaA bB a7
Ejemplo:La ecuación general de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector director u ( 2,3) :x 4 y 5 3x 12 2y 10 3x 2y 22 023x x 0 y y0ay bx 0b bx bx 0 ay ay 0 ay bx bx 0 ay 0 y x 0abaabm aay bx 0n 0ay mx n Ecuación explícita de la rectam pendiente de la rectan ordenada en el origenEjemplo:La ecuación explícita de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector director u ( 2,3) :x 4 y 53 3x 12 2y 10 2y 3x 12 10 y x 11232Comentarios y recomendacionesTodos los ejercicios y problemas relacionados con las ecuaciones de una recta implican el cálculode puntos pertenecientes a rectas y/o el cálculo del vector director de una recta.El cálculo de puntos pertenecientes a una recta ya lo has hecho muchas veces al generar unatabla de valores para representar gráficamente la recta. Todas las ecuaciones que has vistopermiten calcular puntos pertenecientes a la recta. En definitiva, las ecuaciones de una recta sonexpresiones algebraicas que expresan la condición que deben cumplir esos puntos parapertenecer a la recta. No todas son igual de cómodas para calcular puntos de la recta. La quehas usado más es la ecuación explícita. La razón es que, quizá es la que hace más sencillo elcálculo de puntos de la recta.Si la recta es y 3x-1, calcular puntos de la recta se reduce a dar valores a la x para obtener lacorrespondiente y. Recuerda que la ecuación no es más que la condición que debe cumplir unpunto (x,y) para pertenecer a la recta. El dar un valor a la x y calcular el valor de la y no representaotra cosa que “garantizar” que el punto (x,y) que se obtiene cumpla la ecuación.8
Por ejemplo: si x 1, obtengo un valor de y e igual a 2. Es decir, un punto de la recta será el punto(1,2). Pertenece a la recta porque cumple su ecuación (y 3x.-1; 2 3 1 1).Si quisiera obtener más puntos de la recta, sería suficiente con tomar otros valores de x, sustituiry calcular el y que corresponde a ese x.Lo mismo que he hecho con la ecuación explícita podría hacerlo con las otras, adaptando elcálculo a las características propias de la ecuación. Por ejemplo, si se trata de la ecuacióngeneral de la recta 3x 2y 3 0, podría hacer algo parecido a lo que se hizo en la ecuaciónexplícita:Si x -1: -3 2y 3 0 y 0. El punto (-1,0) pertenece a la recta 3x 2y 3 0Si se trata de la ecuación vectorial o la paramétrica, el cálculo cambia. Si la recta es, por ejemplo,( x, y ) (1,5) t ( 3, 4 ) , t , para calcular puntos daré valores a t:Si t 1 (x,y) (4,9). Es decir, el punto (4,9) pertenece a la recta.Si la ecuación fuese una ecuación paramétrica, haría algo parecido: x 4 5t, t y 5 7t x 4 10 x 6Si t 2 el punto (6,19) pertenece a la recta y 5 14 y 19El cálculo de un vector director de una recta puede hacerse a partir de la ecuación que se hadeducido teóricamente. Por ejemplo, si la ecuación es 3x 2y 3 0, teniendo en cuenta queAx BY C 0; A b, B -a, obtendremos que un vector director será u ( 2,3 )Si la recta esx 1 x x 0 y y0 y 4 , un vector director será u ( 3,1) b 3 aSi se trata de la ecuación punto-pendiente o la explícita, lo que aparecerá expresamente en lab ecuación será la pendiente ( y mx n; y y 0 m ( x x 0 ) ; m . Por ejemplo si y 3x 2,a bcomo la pendiente es 3, el resultado de m será 3. Cualquier vector en el que dividiendo laasegunda coordenada (b) entre la primera (a) de como resultado 3, será un vector director de larecta. Por ejemplo, el vector u (1,3) .Calcular vectores directores como hemos indicado obliga a estudiar de memoria las ecuacionesy el significado de cada elemento de la ecuación. Es decir, para aplicar lo anterior en el caso deuna ecuación general, debo saber que en esa ecuación Ax BY C 0 el valor de A es la segundacoordenada del vector director (b) y el valor de B, el de la primera pero cambiada de signo (-a).9
Hay quien prefiere tener otra opción o una “segunda opción” por si duda de su memoria o,simplemente, porque no quiere aprender muchas fórmulas de memoria. Consiste en calcular elvector director a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.Si conozco dos puntos A y B de la recta r, el vector AB es un vector director de la recta:Ejemplo:Calcula un vector director de la recta r:2x 5y-4 01ª opción. Usar las fórmulas.La ecuación de la recta es la ecuación general (Ax By C 0). Como A b y B -a si un vectordirector es u ( a,b ) u ( 5,2 ) es un vector director de la recta r.2ª opción. Calcular el vector a partir de dos puntos de la recta.Si y 0 x 2 (2x 0-4 0). A (2,0) es un punto de la recta.S y 2 x -3. B (-3,2) es un punto de la recta.AB B A ( 3,2 ) (2,0) ( 5,2 ) u ( 5,2 ) es un vector director de la recta r.(Es posible que el resultado de hacerlo de una forma u otra no sea el mismo. Recuerda queuna recta posee infinitos vectores directores).Lo mismo que se ha dicho para el cálculo de vectores directores es válido para el cálculo deecuaciones concretas u otros ejercicios con rectas.Es decir, existen dos formas básicas de afrontar la pregunta “¿cómo estudio esto?”1ª.- Estudiar de memoria todas las ecuaciones en su forma teórica y el significado o quérepresentan todos los elementos que intervienen.La recta r pasa por el punto P (-4,3) y tiene vector director u ( 2,1)10
X (x,y) es un punto cualquiera de la recta, P ( x 0 , y 0 ) es un punto de coordenadas conocidasde la recta y u ( a, b ) es un vector director de la rectaEcuación vectorial:X P t u, t ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) t ( a, b ) ,t ( x, y ) ( 4,3) t ( 2,1) , t Ecuación paramétrica: x x 0 at, t y y 0 bt x 4 2t, t y 3 tEcuación continua:x x 0 y y0 abx 4 y 3 x 4 y 3 21 2 Ecuación punto-pendientey y0 m ( x x 0 )m bay 3 1( x 4)2Ecuación general:Ax By C 0A bB a(dada la forma de la expresión que permite el cálculo de C, no suele estudiarse de memoria cómose calcula. Se calcula a partir del punto conocido de la recta).x 2y C 011
P 4 6 C 0 C 2x 2y-2 0Ecuación explícita:y mx nb pendiente de la rectaan ordenada en el origenm (normalmmente, el punto conocido de la recta no es la ordenada en el origen. Dada la expresiónque permite el cálculo del valor de n, suele procederse como en el cálculo de C en la ecuacióngeneral: se calcula su valor a partir del punto que pertenece a la recta).1y x n2P 3 1( 4) n n 121y x 122ª Estudiar solo las fórmulas que se consideran imprescindibles y deducir el restoPor norma general, la ecuación vectorial y la ecuación continua. También la ecuación generalporque es la ecuación más usada. El resto de las ecuaciones se deducen tal y como se ha hechoen el desarrollo teóricoEcuación vectorial:X P t u, t ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) t ( a, b ) ,t ( x, y ) ( 4,3) t ( 2,1) , t Ecuación paramétrica:( x, y ) ( 4,3) t ( 2t, t ) , t ( x, y ) ( 4 2t,3 t ) , t x 4 2t, t y 3 t12
Ecuación continua: x 4 2t, t y 3 tx 4 y 3 2 x 4 t 2 , t t y 3 x 4 y 3 2 Ecuación punto-pendientex 4 y 3 2y 3 1( x 4)2Ecuación general:x 4 y 3 x 4 2y 6 x 2y 2 02Ecuación explícita:x 4x 41 y 3 y 3 y x 1 2 22Ejemplo:Calcula las ecuaciones vectorial, general y explícita de la recta r que pasa por los puntos A(7,3)y B(-1,4).Vector director: u AB B A ( 1, 4) ( 7,3) ( 8,1)1ª.-( x, y ) ( x 0 , y0 ) t ( a, b ) ,t ( x, y ) ( 7, 4 ) t ( 8,1) , t r: ( x, y ) ( 7, 4 ) t ( 8,1) , t Ec. Vectorial de la recta rAx By C 0A bB ax 8y C 0B r 1 32 C 0 C 31x 8y-31 0 Ec. general de la recta r13
y mx nm b pendiente de la rectaa1y x n8131131B r 4 ( 1) n n y x Ec. explícita de r88882ª:( x, y ) ( x 0 , y0 ) t ( a, b ) , t ( x, y ) ( 7, 4 ) t ( 8,1) , t r: ( x, y ) ( 7, 4 ) t ( 8,1) , t Ec. Vectorial de la recta rx 1 y 4 x 1 8y 32 x 8y 31 0 Ec. general de la recta r 81x 1 y 4131 x 1 8y 32 x 31 8y y x Ec. explícita de r 8188En resumen: a la hora de estudiar las ecuaciones de la recta se puede optar por estudiar su“forma”, el significado de cada elemento de la ecuación y cómo se calcula o solo estudiar su“forma” o, lo que es lo mismo, qué tipo de ecuación es. En definitiva se trata de tomar una decisióna la hora de estudiar: qué estudiar de memoria, qué deducir, qué es importante a la hora deestudiar y qué es secundario, etc. Como verás en el futuro, deberás tomar ese tipo de decisionesporque en Matemáticas (y en Física y otras disciplinas también) no es posible estudiar todo dememoria.Ejercicios:1.- Calcula las ecuaciones vectorial, continua, punto-pendiente y general de la recta r que pasapor el punto A (2,-5) y tiene vector director u ( 3, 2 ) .2.- calcuia las ecuaciones paramétrica, general y explícita de la ercta r que pasa por los puntosP (3,-2) y Q (-4,5)Paralelismo y perpendicularidadEstudiar si dos rectas son paralelas o perpendiculares o calcular una recta paralela operpendicular a otra recta es uno de los cálculos que surgen al resolver problemas métricos y degeometría analítica.Por ejemplo:Las rectas r: 3x-2y 4 0 y la recta s: -6x 4y 7 0 son paralelas:14
Un vector director de r es u ( 2,3) y un vector vector director de s es v ( 4, 6 ) (A b; B -a):Ambos vectores “proporcionan” la misma dirección, por lo que las rectas serán paralelas.Lo mismo podríamos hacer, por ejemplo, estudiando las pendientes. La pendiente de r es m y la de s,32 6 3 . Como poseen misma pendiente, son paralelas. 4 2Si las rectas son r: x-2y 4 0 y s: x 3y 7 0, los vectores directores respectivos serían u ( 2,1)y v ( 3,1) , que poseen direcciones diferentes:Si en vez de calcular vectores directores calculo las pendientes, son distintas:11y23Por tanto, las rectas no son paralelas.La perpendicularidad se estudia, por norma general, usando la ortogonalidad de los vectoresdirectores (recuerda: dos vectores son ortogonales si forman un ángulo .de 90 . Dos vectoresson ortogonales si su producto escalar es 0).Por ejemplo, las rectas r: 3x-2y 4 0 y la recta s: 2x 3y 7 0 son perpendiculares:u ( 2,3) vector director de r. v ( 3, 2) vector director de su v ( 2,3) ( 3, 2 ) 6 6 0 r y s son perpendiculareslas rectas r: 3x-2y 4 0 y la recta s: x y 7 0 no son perpendiculares:15
u ( 2,3) vector director de r. v (1, 1) vector director de su v ( 2,3) (1, 1) 2 3 0Ejemplos:Calcula la ecuación continua de la recta s, paralela a la recta r: 3x-2y-1 0 que pasa por el puntoP (5,1)u ( 2,3) vector director de r y, por tanto, de la recta paralela.P s x 5 y 1 x 5 y 1212Calcula la ecuación general de la recta s, perpendicular a la recta r: 3x-2y-1 0 que pasa por elpunto P (5,1)u ( 2,3) vector director de r.v ( 3, 2) u((2,3)(-3,2) 0)Ecuación general de la perpendicular a r: 2x 3y C 0P s 2 5 1 C 0 11 C 0 C 11s: 2x 3y-11 0Ejercicio3.- Calcula la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a la recta r: 4x-5y 3 0 que pasa porel punto A (5,7). Calcula la ecuación explícita de la recta perpendicular a r que para por el puntoA.Ángulo que forman dos rectasDe nuevo, se usan los vectores directores. Elángulo que forman las dos rectas se definecomo el menor de los dos ángulos que forman.Coincide con el ángulo que forman los vectoresdirectores pero con una salvedad: dos vectorespueden formar un ángulo mayor de 90 y dosrectas no.16
Por ese motivo aparecerá en la fórmula un valor absoluto. De esa forma, el coseno del ánguloserá positivo y el ángulo estará comprendido entre 0 y 90 :Ángulo que forman las rectas r y s:u vector director de r; v vector director de sα ángulo que forman r y s (comprendido entre 0 y 90 cos ( ) u vu vEjemplo:Determina el ángulo que forman las rectas r: (x,y) (3,-5) t ( 6,-5 ) , t y s: y 7x 2 .7 b Los vectores de r y s son: u ( 6, 5) ; v (1, 7) m 7 1 a cos ( ) u vu vu 36 25 61v 1 49 5 2u v (6, 5) (1, 7) 29cos ( ) 29 58.325 61 5 217
Posiciones relativas de rectasEl estudio de la posición relativa de rectas consiste en determinar si dos rectas (o más) sonsecantes (se cortan en un punto), son paralelas o son coincidentes.No hay un solo método para estudiar las posiciones relativas de rectas. Aquí describiremos unmétodo concreto, basado en la resolución de un sistema de ecuaciones porque en 2º deBachillerato se utiliza la resolución de sistemas para el estudio de posiciones relativas en 3 .Como se va a resolver un sistema de ecuaciones asociado a las ecuaciones de las rectas, pornorma general, se utilizan las ecuaciones generales de las rectas.Supongamos dos rectas r y s de ecuaciones generales r: Ax By C 0 y s: A’x B’y C’ 0. Si seplantea el sistema de ecuaciones lineal: Ax By C 0 Ax By C ' ''''' A x B y C 0 A x B y CAl resolverlo pueden ocurrir tres cosas:-El sistema tiene una única solución. Existe un único valor de x y un único valor de yque es solución del sistema. Esos valores x e y, interpretados como las coordenadas deun punto (x,y) del plano, será un punto que cumple la ecuación de la recta r y que, además,cumple la ecuación de la recta s. Es decir, se trata de un punto que pertenece a las dosrectas y es el único que pertenece a ambas rectas Las dos rectas se cortan en un únicopunto las rectas son secantes (la solución del sistema es el punto de corte).-El sistema tiene infinitas soluciones. Existen infinitos valores de x y de y que sonsolución del sistema. Esos valores x e y, interpretados como las coordenadas de puntos(x,y) del plano, serán infinitos puntos que cumplen la ecuación de la recta r y que, además,cumplen la ecuación de la recta s r s tienen infinitos puntos en común las rectas soncoincidentes.-El sistema no tiene solución. No existen valores de x y de y que cumplan al mismotiempo las dos ecuaciones no existen puntos (x,y) que pertenezcan a ambas rectas las rectas son paralelas.18
Ejemplos:-Dadas las rectas r: 2x 4y-16 0 y s: 3x-4y 6 0, estudia su posición relativa. 2x 4y 16 3x 4y 65x 10 x 22x 4y 16 4 4y 16 y 3x 2; y 3 es la solución del sistema las rectas solo tienen en común el punto (2,3) las rectasson secantes y el punto de corte es el punto P (2,3).-Dadas las rectas r: 2x-4y-16 0 y s: -6x 12y 6 0, estudia su posición relativa. 2x 4y 16 6x 12y 48 6x 12y 6 6x 12y 60 42El sistema no tiene solución las rectas solo tienen en común las rectas son paralelas.-Dadas las rectas r: 2x-4y-5 0 y s: -6x 12y 15 0, estudia su posición relativa 2x 4y 5 6x 12y 15 6x 12y 15 6x 12y 150 0El sistema tiene infinitas soluciones las rectas tienen infinitos puntos en común las rectasson coincidentes.Ejercicios4.- Dada la recta r, determinada por los puntos A(3,-1) y B(7,2), y la recta s: 3x - 4y - 8 0.a) Estudia la posición relativa de r y s.b) Si son secantes, calcula su punto de corte y el ángulo que forman.19
Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos que se utilizará se denominaeuclídea o euclidiana. Se corresponde con la distancia entrepuntos que siempre has usado y que consiste en medir lalongitud del segmento de recta que deterrminan los puntos. Ladistancia entre los puntos A y B se representará como d(A,B).En el futuro es posible que estudies otras distancias diferentesde la euclídea.Como el módulo de un vector es la longituddel segmento de recta que una A y B, Ladistancia euclídea se calcula como elmódulo del vector AB :d(A, B) ABEjemplo:La distancia entre el punto A (2,5) y B (7,6) será:d(A, B) ABAB B A ( 7,6 ) ( 2,5) (5,1)d(A, B) 25 1 26 unidadesNota: Se ha incluído “unidades” porque la distancia entre dos puntos se corresponde con unamagnitud: la longitud de un segmento. Al asociar un número a una magnitud se utilizan las“unidades de medida” de la magnitud. Así, el término “unidades” se refiere a la unidad de medidade longitud. Si cada división de los ejes cartesianos fuese un centímetro, las “unidades” seríancentímetros. Si cada división representase un metro, serían metros, etc. Si se mide un área y lasdivisiones de los ejes no se identifican con una unidad de medida de área concreta, el resultadoserán “unidades cuadradas”. Si se trata de un volumen, “unidades cúbicas”.20
Distancia de un punto a una rectaSe define como la menor distancia quepuede determinar una línea recta que una elpuntoylarecta.Esadistanciasecorresponde con la longitud del segmentodeterminado por la perpendicular a la rectapasando por el punto.El cálculo se realiza usando la ecuacióngeneral de la recta r.r : Ax By C 0P ( x 0 , y0 )A x 0 B y0 Cd(P, r) A 2 B2Ejemplo:Distancia del punto P (1,3) a la recta r :r:x 2 3 y: 52x 2 3 y 2x 4 15 5y x 5y 11 052d(P, r) A x 0 B y0 CA B22 1 15 1155 26 unidades261 2526Punto medio de un segmentoEn los problemas de geometría métrica y analítica, amenudo es necesario calcular el punto medio de unsegmento (cálculo de medianas, mediatrices, etc.)M AB 1 ( A B)221
Ejemplo:El punto medio del segmento AB , siendo A(4,5) y B (8,11) es:111MAB ( A B) ( ( 4,5) (8,11) ) (12,16 ) ( 6,8)222Nota: también se podrían calcular los puntos que dividen el segmento en terceras partes223 1 1 ( A B ) ; ( A B ) cuartas partes ( A B ) ; ( A B ) ; ( A B ) , etc.344 3 4 Ejercicio:5. Dado el triángulo determinado por los puntos A(2,4), B(8,-2) y C(10,6):a) Determina el tipo de triángulo en función de sus lados.b) Determina el tipo de triángulo en función de sus ángulos.c) Determina la ecuación de la mediana correspondiente al vértice C.d) Determina la ecuación de la mediatriz correspondiente al lado determinado por los vértices Ay B.e) Calcula el área del triángulo.Nota: En este tipo de ejercicios o problemas, lo habitual es que existan varias formas deresolverlos. Por ejemplo, el cálculo de un ángulo del triángulo podría realizarse usando losvectores determiandos por los vértices, usando el ángulo que forman las rectas que determinanlas rectas, utilizando el teorema del seno o el coseno si se conocen tres datos del triángulo, .22
P x ,y un punto de coordenadas conocidas perteneciente a la recta. Esta ecuación es la que has usado en la ecuación de la tangente a la gráfica de una función en un punto. Ejemplo: La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P (-4,5) y tiene vector director : x 4 y 5 3 y 5 x 4 2 3 2 00 0 0 0 0 00
