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ÁLGEBRA

ÁLGEBRAIng. Javier León CárdenasEscuela Superior de Ingeniería Química e Industrias ExtractivasInstituto Politécnico NacionalPRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014GRUPO EDITORIAL PATRIA

mxDirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezProducción: Gerardo Briones GonzálezDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísIlustraciones: Adrian Zamorategui BerberFotografías: ThinkstockphotoDiagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.Revisión técnica: Alex Polo VelázquezUniversidad Autónoma MetropolitanaÁlgebraDerechos reservados: 2014, Javier León Cárdenas 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro Núm. 43ISBN ebook: 978-607-438-893-0Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.Impreso en MéxicoPrinted in MexicoPrimera edición ebook: 2014

PrólogoEn la antigüedad, los egipcios y los babilonios utilizaron el álgebra para resolver problemascotidianos que tenían que ver con la repartición de los alimentos. Hacia el siglo ix, el matemático y astrónomo persa Al-Jwarizmi desarrolló diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, por lo que es considerado el padre del álgebra. Siglos mástarde, en 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muycómoda y sencilla, que se utiliza hasta nuestros días.El álgebra es una de las ramas más importantes de las matemáticas; es considerada degran utilidad para la vida cotidiana de cualquier persona, por esa razón es muy importanteque todos los estudiantes de nivel universitario conozcan y practiquen álgebra, estos conocimientos les serán de utilidad a lo largo de toda su formación profesional.Este material de álgebra, más que un libro de texto, es un libro de apoyo para cualquierestudiante universitario que desee poner en práctica cada uno de los conceptos y principiosdel álgebra.Por su estructura y metodología, el lector tiene la oportunidad de desarrollar diferentes habilidades y capacidades, las cuales le serán de utilidad para la solución de distintosproblemas algebraicos; en otras palabras, los estudiantes serán competentes para resolverdiferentes situaciones con la aplicación del álgebra.El libro es totalmente flexible; entre sus ventajas destaca el hecho de que el alumno oel profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la información del libro, y no seven forzados a estudiar capítulo por capítulo; es decir, es posible ajustarlo a las propias necesidades de cada lector.Los problemas resueltos que se incluyen en todas las unidades de estudio, ofrecen alalumno la posibilidad de entender, paso a paso, la solución a dichos problemas, proporcionando las herramientas necesarias para resolver, él mismo, los problemas que se encuentranal final de cada unidad.La obra se divide en cinco unidades. La unidad 1 está dedicada al estudio de los números reales; mientras que en la unidad 2 se presenta y analiza el tema de los númeroscomplejos; en la unidad 3 se expone el tema de los polinomios; la unidad 4 está dedicadaal estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y, por último, en la unidad 5 se aborda eltema de matrices y determinantes. También se incluyen dos apéndices: Estructuras algebraicas y Formulario de matemáticas.

ContenidoUnidad 1 Números reales1.1  Conceptos básicos de la teoría de conjuntos121.2  Números reales11Problema retoReferenciasDirecciones electrónicas353535Unidad 2Números complejos372.1  Introducción382.2  Unidad imaginaria382.3  Formas de expresar un número complejo382.4  Desigualdad del triángulo412.5  Forma polar o trigonométrica de un número complejo422.6  Producto y cociente de números complejosen forma polar 462.7  Potencia de un número complejo502.8  Conjugado de un número complejo522.9  Soluciones complejas de una ecuación de segundogrado 532.10  Igualdad de números complejos552.11  Operaciones aritméticas552.12  Leyes del álgebra compleja58Problema retoReferenciasDirecciones electrónicas707070VII

ContenidoUnidad 3Polinomios713.1  Conceptos básicos723.2  Productos notables773.3  Factorización de polinomios843.4  División sintética893.5  Número de raíces de un polinomio913.6  Fórmula general para la ecuación de segundo grado1013.7  Fórmula general para resolver una ecuación cúbica1033.8  Ecuación cuártica106Problemas retoReferenciasDirecciones electrónicas114114114Unidad 4Sistemas de ecuaciones lineales1154.1  Ecuación lineal1164.2  Ecuación lineal con dos incógnitas1184.3  Sistema de ecuaciones1214.4  Sistemas con dos incógnitas1234.5  Método de solución de sistemas de ecuacionesde Gauss-Jordan 1294.6  Ecuaciones con tres incógnitas1344.7  Sistemas homogéneos142Problema retoReferenciasDirecciones electrónicas146146146Unidad 5VIIIMatrices y determinantes1475.1  Introducción1485.2  Matrices1485.3  Clasificación de matrices de acuerdo a la forma150

Grupo Editorial Patria 5.4  Clasificación de matrices de acuerdo conlos elementos 1505.5  Operaciones con matrices1525.6  Independencia lineal1585.7 Rango de una matriz1605.8 Aplicaciones de matrices1615.9 Determinantes1625.10 Regla de Sarrus para calcular determinantes1645.11 Propiedades de los determinantes1655.12 Matriz inversa1685.13 Matriz adjunta1725.14  Sistemas de ecuaciones lineales resueltascon matrices 1735.15 Regla de Cramer176Problema retoReferenciasDirecciones electrónicas186186186Apéndice 1 Estructuras algebraicas187Topología188Estructura algebraica188Operación binaria188Definición de grupo. Propiedades elementalesde los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo189Definición de anillo, tipos de anillo. Definiciónde dominio entero191Definición de campo. Números racionales, númerosreales y números complejos, como ejemplos de camposcon la adición y la multiplicación192Espacio vectorial193Isomorfismos y homomorfismos entre gruposy entre anillos. Propiedades elementales193ReferenciasDirecciones electrónicas195195IX

ContenidoApéndice 2 Formulario de matemáticas 196Fórmulas básicas de álgebra197Exponentes y radicales197Fórmulas básicas de trigonometría197Valores de las funciones de ángulos importantes198

UNIDAD1Números realesObjetivosUtilizar diversos conjuntos de números.Utilizar el lenguaje de los símbolos y de los sistemas matemáticos formales.Utilizar y demostrar fórmulas y expresiones simbólicas.Comunicarse en, con y sobre las matemáticas, es decir, interpretar textos escritos en diversos lenguajes.¿Qué sabes?¿Por qué son importantes los conjuntos?¿Qué tipo de operaciones se pueden realizar con los conjuntos?¿Quién fue Giuseppe Peano?¿Cuáles son los números naturales?¿Conoces las operaciones mal definidas de los números naturales?

UNIDAD1Números reales1.1 Conceptos básicos de la teoría de conjuntosLa expresión conjunto es un término matemático introducido en 1879, por Georg Cantor (1845-1918).Un conjunto es un grupo o una colección de objetos; cada objeto que pertenece al conjunto se denomina elemento o miembro del conjunto.Si T es un conjunto, la notación x T significa que x es un elemento de T. La notación x T significaque x no es un elemento de T.Un conjunto se puede expresar de las siguientes maneras:Descripción verbal: “El conjunto de los números naturales pares menores que 15”.AlertaEl símbolo significa“tal que”.Extensión: El conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves, por ejemplo: A { 2, 4,6, 8, 10, 12, 14 }.Por compresión o en forma constructiva del conjunto: { x x es un número natural par menor que15 }.Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto olas relaciones entre conjuntos.AlertaPor ejemplo, el conjunto de números naturales pares menores que 9:Los conjuntos se denotanentre llaves {   }. Porejemplo, el conjunto denúmeros naturales menoresque 9: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }.6248Figura 1.1 Diagrama de Venn del conjuntode números naturales pares menores que 9.Problema resueltoDada la descripción verbal: “El conjunto de los días de la semana”, expresarla por extensión, en suforma constructiva o por compresión y por diagrama de Venn.SoluciónPor extensión: V { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }En su forma constructiva o por compresión: V { x x es un día de la semana }Por diagrama de ngoFigura 1.2  Diagrama de Venn.

Grupo Editorial Patria SubconjuntosSi cada elemento de un conjunto A es también un elemento delconjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. La notaciónA B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”.AA BBB AFigura 1.3Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso, la notación A B significa que A no es un subconjunto de B.A BBAB AFigura 1.4Un conjunto que no contiene elementos se conoce como conjunto vacío o conjunto nulo. Se utilizael símbolo para denotar el conjunto vacío; sin embargo, es un error escribir { }, ya que el conjuntovacío no tiene elementos. Por ejemplo, el número de mujeres mayores de 500 años que aún vive.Un conjunto universo U es aquel que contiene a todos los elementos a considerar. Gráficamentese le representa mediante un rectángulo.UFigura 1.5 Conjunto universo.El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universo U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota por Ac:Ac { x U x A }UAAcFigura 1.6

UNIDAD1Números realesEjemplo:Un dígito es cada una de las cifras que componen un número en un sistema determinado; en el sistemadecimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.U { x x son todos los dígitos decimales } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }A { x x son todos los dígitos decimales pares } { 2, 4, 6, 8 }B { x x son todos los dígitos decimales impares } { 1, 3, 5, 7, 9 }C {x x 0} {0}Obsérvese que: A U, B U, C UUC{0}B{1, 3, 5, 7, 9}A{2, 4, 6, 8}Figura 1.7Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.Ejemplos:A { x x es el número de días de la semana }B { x x es el número de alumnos en una universidad dada } Igualdad de conjuntosSi A y B son conjuntos, entonces el conjunto A será igual al conjunto B siempre que se cumplan las doscondiciones siguientes:a) todo elemento de A es un elemento de B, yb) todo elemento de B es un elemento de A.Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados.La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que tiene. Se denota pormedio de los símbolos N o #. Por ejemplo, de los conjuntos anteriores N(A) 7, N(B) 1 500.Para un conjunto infinito, su cardinalidad no está definida.Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos; se denota por el símbolo .A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }B { x x es un dígito }A B Operaciones con conjuntosLa unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementosde B, sin repetir ninguno, y se denota por A B:A B {x x A o x B}