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El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.com1Gustavo Ernesto PiñeiroPreparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroReseñaGeorg Cantor fue el primero en abordar con rigor matemático unconcepto de tanto calado filosófico como el infinito. Lo hizo a partirde una forma nueva de entender las matemáticas, la teoría deconjuntos, y fruto de su trabajo son nociones tan contrarias a laintuición como que hay infinitos «mayores» que otros. Antes de susaportaciones fundamentales, planteadas en el último cuarto delsiglo XIX, el infinito se consideraba una ficción útil, en unatradición de pensamiento que se remontaba a Aristóteles.El atrevimiento le salió caro: sus ideas despertaron el rechazofuribundo de muchos de sus contemporáneos, circunstancia quebien pudo ser el desencadenante de la locura que le llevó a lamuerte.2Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroÍndiceIntroducción1. El comienzo del infinito2. Cardinales3. El cálculo y el infinito4. Los ordinales infinitos5. Los álef6. Las paradojas del infinitoLecturas recomendadas3Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroIntroducciónCuando contemplamos el cielo en una noche estrellada y sin luna,lejos de la interferencia de las luces de la ciudad, y nos sentimosmaravillados por el espectáculo sobrecogedor que se despliega antenosotros, en ese mismo momento desde lo más profundo de nuestroser nace un sentimiento que nos abruma con la idea de lo pequeñosque somos comparados con el infinito.El infinito no es solo una sofisticada idea matemática; la dualidadentre lo infinito, palabra que literalmente significa «aquello quejamás termina», y su opuesto, lo finito, lo que sí acaba alguna vez,ha acompañado a la humanidad probablemente desde que el primerHomo sapiens se preguntó si el cielo termina alguna vez, si se puedellegar hasta el horizonte, o si nuestra vida realmente termina o si dealguna manera puede seguir indefinidamente.Pero el infinito también es vértigo y, según el filósofo griego Zenónde Elea, hasta puede inmovilizar al universo; veamos qué queremosdecir con esta idea En el siglo VI aC., Parménides de Elea —segúnmuchos autores, el padre de la metafísica occidental— postuló laexistencia del ser. La característica fundamental del ser, segúnParménides, es, justamente, la de existir; el ser existe, el ser es.De esta premisa Parménides dedujo que el ser abarca todo eluniverso, porque si hubiera aunque sea alguna pequeña región deeste donde el ser no estuviera, en esa región el ser no existiría; perodecir que el ser no existe es una contradicción de términos, esimposible. El ser, entonces, ocupa todo el universo; en otras4Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiropalabras, el universo entero, nosotros incluidos, constituye el ser.Pero además, el ser es inmutable, no puede cambiar, porque sipasara, digamos, de un estado A a un estado B, entonces dejaría deexistir en el estado A, y eso es imposible, porque el ser no puededejar de existir. El ser es, en consecuencia, todo el universo, y esinmutable; por lo tanto, el universo es inmutable. Esto significa queel cambio y el movimiento que creemos ver a nuestro alrededor enrealidad no existen; el tiempo no existe, en el ser no hay pasado nifuturo, solamente hay riederazonamientos, conocidos como las paradojas de Zenón, con los queintentó demostrar, en respaldo de las ideas de su maestro, que elcambio y el movimiento no existen, que lo que creemos ver no esmás que un engaño de los sentidos, y que la mente y la razón,guiadas por la lógica, son capaces de demostrar este hecho.Todas las paradojas de Zenón involucran el infinito de algún modo;una de ellas dice que si arrojamos una piedra hacia un árbol queestá a un metro de distancia delante de nosotros, entonces,contrariamente a lo que la vista parece mostramos, la piedra jamásllega al árbol; de hecho, jamás abandona nuestra mano.Para demostrarlo, Zenón decía que antes de llegar al árbol la piedradebe recorrer primero medio metro; pero antes de eso, debe recorrerun cuarto de metro; y antes debe recorrer un octavo de metro; yantes, un dieciseisavo de metro; y así sucesivamente. En realidad,para llegar al árbol la piedra debe completar una cantidad infinitade pasos previos, pero es imposible completar infinitos pasos en un5Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirotiempo finito; por lo tanto, deduce Zenón, la piedra jamás llega alárbol. Más aún, el mismo razonamiento que hemos hecho para unadistancia de un metro, vale también para el primer milímetro o laprimera milésima de milímetro; por lo que la piedra, en realidad, talcomo dijimos antes, nunca abandona nuestra mano. El infinito,como se ha expuesto, permite demostrar, según Zenón, que eluniverso es inmutable.En el siglo IV a.C., Aristóteles —el padre del estudio sistemático dela lógica y tal vez de la ciencia en general— escribió su Física, untratado que contiene, entre otras cuestiones, un estudio delmovimiento de los cuerpos; pero, desde luego, antes de estudiar ientorealmente existe; es decir, debía refutar los argumentos deParménides y de Zenón.Si el ser esencialmente es, ¿cómo puede entonces cambiar deestado, cómo puede dejar de ser algo? Aristóteles dice que el ser es,en efecto, pero que a veces es en potencia y a veces es en acto.Cuando un niño crece y se transforma en adulto, no es que deje deser un niño, sino que siendo niño era un adulto en potencia y alcrecer pasa a ser un adulto en acto. Es decir, muta del estado de serun adulto en potencia, al estado de ser un adulto en acto; el niñocambió, pero nunca dejó de ser. Una semilla es una planta enpotencia, una hoja en blanco es un texto en potencia, y asísucesivamente. Siglos más tarde, Miguel Ángel expresaría una ideasimilar al decir que la escultura ya existía en el bloque de mármol yque él se limitaba a quitar lo que sobraba. Aristóteles reconcilia de6Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiroesta manera la idea del ser de Parménides con la posibilidad delcambio.Demostrado que el ser puede mutar, ¿cómo se refutan losargumentos de Zenón? Todas las paradojas de Zenón suponen queel espacio o el tiempo son infinitamente divisibles. En la paradojadel árbol, por ejemplo, hay infinitos pasos en el espacio que mediaentre la mano y el árbol. Para refutar estos argumentos, Aristótelesafirmó que el infinito no existe; o, mejor dicho, que existe, perosolamente en potencia, nunca en acto. Infinito en potencia refiere auna cantidad que puede crecer tanto como se quiera, pero que todoel tiempo es finita; infinito en acto es una cantidad que, de hecho,es infinita. Esta distinción es muy importante a la hora de pensar elinfinito y volveremos varias veces a ella a lo largo de esta obra.Podemos admitir —dice Aristóteles— la existencia de cantidades quecrecen indefinidamente, pero que son finitas todo el tiempo; sinembargo, no podemos admitir la existencia de cantidades infinitasde hecho. Podemos dividir la distancia entre la mano y el árbol endiez partes, o en cien, o en mil, o en cualquier cantidad finita tangrande como queramos, pero no podemos asumir que está divididaen una cantidad de partes que sea de hecho infinita.Aristóteles no se limitó a postular la inexistencia del infinito en acto,sino que dio una serie de argumentos para sustentar estaafirmación; como los argumentos de Aristóteles serán analizados alo largo de este libro, no los comentaremos aquí. Sin embargo, sídiremos que el rechazo aristotélico al infinito en acto marcó durantemás de dos mil años la ortodoxia del pensamiento occidental; y,7Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiroademás de la fuerza de los argumentos de Aristóteles, muyprobablemente este dominio estuvo favorecido también por doscircunstancias.La primera es que la mente humana es incapaz de representarseuna imagen del infinito en acto, por lo que resulta muy fácil aceptarque en realidad no existe. En efecto, sí podemos concebir, quizá, elinfinito en potencia, podemos pensar en una cantidad que creceilimitadamente; pero, insistimos, no el infinito en acto. ¿Qué seríarepresentarse, por ejemplo, la imagen de una recta cuya longitud esinfinita en acto? Sería pensar en una línea completa (es decir, lo que«vemos» con la mente no debería ser solo un fragmento) cuyalongitud es de hecho infinita. Pero la mente no puede abarcar esaimagen; sí podemos pensar en una línea que se pierde en elhorizonte y decimos que sigue indefinidamente, pero en realidadestaríamos «viendo» una recta infinita en potencia, ya que nuestra«vista» solo abarca una parte. O pensemos en los números 0, 1, 2, 3,4, 5,.; visualizarlos como un infinito en acto sería pensarlosescritos todos juntos en una lista, todos sin excepción, una lista queestá completa, pero que a la vez nunca termina, una imageninabarcable para nuestra mente finita.El segundo motivo por el que el rechazo aristotélico al infinito enacto resultó convincente es que, al razonar a partir del infinito,parece casi inevitable caer en contradicciones lógicaso enconclusiones extrañas que son contrarias al sentido común; comoen el caso de Zenón, a quien el infinito le permitió demostrar lainexistencia del cambio y del movimiento. Otro ejemplo lo tenemos8Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiroen el siglo XVII, cuando Galileo Galilei se encontró también concontradicciones que lo llevarían a rechazar la idea del infinito enacto; en el siglo XIX, por su parte, el matemático checo BernardBolzano intentó desarrollar una teoría del infinito matemático, ersatisfactoriamente; estos dos casos serán comentados a lo largo delpresente toalpensamiento aristotélico; por ejemplo, en el siglo I d.C., el filósofo ypoeta romano Lucrecio, en su poema didáctico De rerum natura(Sobre la naturaleza de las cosas), argumentó que el universo debeser infinito; en caso contrario —dice Lucrecio—, tendría unafrontera, y si arrojáramos un objeto hacia esa frontera con lasuficiente fuerza como para atravesarla, entonces ese objeto pasaríaa existir fuera del universo; pero es imposible porque, por definición,nada puede existir fuera del universo. Hoy sabemos, sin embargo,que el argumento de Lucrecio es falaz, que el universo puede serfinito sin tener una frontera, de la misma manera que la superficiede una esfera es finita, pero sin tener una frontera. De hecho, segúnlas modernas teorías cosmológicas, es muy probable que el universoen su conjunto sea finito. Pero las disidencias fueron escasas yaisladas, y el pensamiento aristotélico sobre el infinito, como dijimosantes, dominó en la filosofía y también en las matemáticas; almenos hasta la década de 1870. En esa época, el matemático rusoalemánGeorg Cantorinvestigaciones,casise vio llevado por lacontrasu9voluntadlógica desegúnsussuspropiasPreparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiropalabras, a introducir en las matemáticas el estudio del infinito enacto. La tarea no fue fácil, no solo por las dificultades que ellaconlleva, sino también por la dura oposición que encontró entremuchos de sus colegas; no era fácil romper con una tradición demilenios y Cantor llegó a ser tratado de «científico charlatán» y«corruptor de la juventud».Sin embargo, Cantor no se detuvo, e impulsado por la convicción deque una teoría matemática del infinito era posible, y hastanecesaria, y guiado por una lógica inflexible, desarrolló una de lasteorías más asombrosas que hoy se conocen; pero abrió además laposibilidad de un modo nuevo de pensar a las matemáticas en suconjunto, un modo más libre y potente.Uno de los conceptos más originales que introdujo Cantor es el delos ordinales; la teoría de los ordinales será comentada en lassiguientes páginas, por lo que no entraremos aquí en sus detalles;basta decir que se trata, esencialmente, de números que permitencontar más allá del infinito. Después de los infinitos números 0, 1,2, 3, 4, 5,. —dice Cantor—, viene el número infinito (es decir, elordinal) ω, el símbolo es la letra griega omega minúscula; luegovienen ω 1, ω 2, ω 3,.; y después de esta nueva serie deinfinitos ordinales viene ω ω, y luego ω ω 1, ω ω 2,.; y asísucesivamente.Pero, ¿es lícito inventar números así como así? ¿Qué representa ese«número» ω? Hasta el siglo XIX, todos los conceptos con los dosaproblemas que podemos llamar «concretos», a situaciones que10Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiropodían ser visualizadas o asociadas con hechos reales; como ladescripción de fenómenos físicos, el estudio de las propiedades delos objetos geométricos, o las propiedades de las cantidades finitas(1, 2, 3, 4,.). El número 0, por ejemplo, que representa una«cantidad que no es», debió esperar muchos siglos antes de serreconocido como un número de pleno derecho; otro tanto puededecirse de los números negativos, cuya existencia, por ejemplo, eratodavía rechazada por Leibniz, en una fecha tan cercana comoprincipios del siglo XVIII. Los números, en general, solo eranaceptados si representaban, de algún modo, una cantidad quepudiera visualizarse de manera concreta.El número ω representa una cantidad infinita en acto, no representaningún objeto concreto ni ningún fenómeno físico, ni puedevisualizarse más que con los ojos de la mente. Pero Cantor, con supensamiento riguroso, nos obligó a aceptarlo como existente, y sumodo de entender las matemáticas debió cambiar para adaptarse aeste hecho. Es así como, hoy en día, ya no se exige a los nlarepresentación de un fenómeno concreto; solo se les pide coherencialógica, y dentro de esa única exigencia los matemáticos actuales sonlibres de crear, estudiar, manipular y analizar conceptos, ideas yteorías.La esencia de las matemáticas cambió después de Cantor, y élmismo hubiera visto con enorme satisfacción este nuevo estado decosas, estado en el que los matemáticos pueden crear librementeteorías y conceptos. Podemos afirmar que Cantor lo hubiera visto11Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirocon satisfacción, porque fue él quien dijo que las matemáticas purasdebían ser llamadas con más propiedad, matemáticas libres, porque,según sus propias palabras, «la esencia de la matemática radicaprecisamente en su libertad».Cronología1845El 3 de marzo, en San Petersburgo, Rusia, nace GeorgFerdinandLudwig PhilippCantor,hijo de GeorgWaldemar Cantor y de María Anna Böhm.1856La familia Cantor se muda a Alemania.1862Cantor desea estudiar matemáticas, pero su padre seopone e ingresa en el Politécnico de Zúrich paraestudiar ingeniería. Pocos meses después, el padre leda su permiso para que estudie matemáticas, en elmismo centro.1863Muere su padre; Georg y su madre se mudan a Berlín,donde completará sus estudios de matemáticas.1867Obtiene el doctorado en matemáticas en la Universidadde Berlín.1869Comienza a trabajar en la Universidad de Halle.1872Conoce a Richard Dedekind. Muchas de las ideas deCantor sobre el infinito saldrán a la luz por primera vezen cartas escritas a Dedekind.1874Se casa con Vally Guttmann; los Cantor tendrán seishijos. Ese mismo año se publica su artículo «Sobre unapropiedad característica de la totalidad de los números12Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiroreales algebraicos», donde aparecen por primera vez susideas sobre el infinito, aunque, por recomendación deKarl Weierstrass, esas ideas están «ocultas».1878Se publica «Una contribución a la teoría de lasvariedades», donde Cantor plantea explícitamente susideas sobre el infinito. Leopold Kronecker pone en juegotoda su influencia para evitar que el artículo sepublique.1883Publicación de «Fundamentos para una teoría generalde variedades», que constituye el punto culminante dela creatividad matemática de Cantor.1884En mayo sufre un ataque depresivo, y abandona todainvestigación matemática durante más de cinco años.1890Se crea la Unión Matemática Alemana y Cantor eselegido como su primer presidente.1892Se publica «Sobre una cuestión elemental de la ostración de la diagonal».1895Publicación de la primera parte de «Contribuciones a lacreación de una teoría de los conjuntos transfinitos»; lasegunda parte vio la luz en 1897.1899El 16 de diciembre muere su hijo Rudolf, de trece años.La pérdida desencadena en Cantor una enfermedadmental de la que nunca se recuperó.1918Fallece en la clínica psiquiátrica de Halle el 6 de enero.13Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.com14Gustavo Ernesto PiñeiroPreparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroCapítulo 1El comienzo del infinitoHay algunas preguntas que han acompañado a lahumanidad desde que los primeros hombres y mujeres sesentaron alrededor del fuego a pensar e indagar acerca detodo aquello que los rodeaba. ¿El mundo existe desdesiempre o comenzó a existir en algún momento? ¿Dejaráalguna vez de existir? ¿Tiene el cielo un final o podríamosviajar por él indefinidamente? Detrás de todas estaspreguntas subyace uno de los conceptos más potentes ymaravillosos jamás concebidos: el infinito.Casi todas las ramas de las matemáticas son el resultado de unlargo proceso histórico que se fue desarrollando a lo largo dedécadas o siglos, con el aporte de muchas personas, y en el quesuele ser muy difícil, por no decir imposible, señalar claramente unúnico iniciador. Por supuesto, este es el caso de las ramas másantiguas de las matemáticas, como la geometría o el álgebra, Mesopotamia; pero también es el caso de ramas más recientes,como el cálculo, por ejemplo, que fue creado a finales del siglo XVIIsimultánea e independientemente por dos ilustres matemáticos, elinglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz,quienes en realidad dieron forma a ideas que muchos precursoreshabían estado investigando durante siglos (hablaremos un poco mássobre la historia del cálculo en el capítulo 3).15Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroSin embargo, la teoría matemática del infinito (y la teoría deconjuntos, ya que, como veremos en estas páginas, ambas teoríasson esencialmente la misma) es el fruto del talento y de laimaginación de un solo hombre, que la creó casi de la nada, elmatemático ruso-alemán Georg Cantor.Los padres de Cantor, Georg Waldemar Cantor y María Anna Böhm.Él era un reconocido comerciante, y ella una virtuosa violinista.Inclusive es posible señalar el momento casi exacto en el que Cantordio el salto creativo que le llevó a su teoría; en una carta fechada el5 de noviembre de 1882 le escribió a su amigo y colega RichardDedekind:16Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroPrecisamente desde nuestros últimos encuentros en Harzburg yEisenach [ciudades alemanas en las que ambos se habíanencontrado en septiembre de 1882], Dios Todopoderoso me speradas en la teoría de conjuntos y en la teoría de números[se refiere, como veremos en el capítulo 4, a números infinitos], o,más bien, que encontrara aquello que ha fermentado en mídurante años y que he buscado tanto tiempo.¿Cómo alcanzó Cantor estas «aclaraciones tan notables»? ¿Quédesencadenó ese «fermento»? Para comprenderlo, iremos avanzandopaso a paso a lo largo de estas páginas por el camino que siguieronlas ideas de Cantor. Comenzaremos, como corresponde, por elprincipio.De San Petersburgo a HalleGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació en San Petersburgo,Rusia, el 3 de marzo de 1845. Su padre, Georg Waldemar Cantor,era un exitoso comerciante de origen danés, muy religioso y amantede la cultura y de las artes. Su madre, María Amia Böhm, era hijade dos eximios violinistas rusos y, ella misma también, una virtuosadel violín. El propio Georg heredó ese talento para la música y añosmás tarde, un poco en broma, un poco en serio, se lamentaría deque su padre no le hubiera permitido convertirse en violinistaprofesional.17Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroLa música y el arte en general fueron siempre muy importantes enla vida de Cantor.Placa conservada en la casa de San Petersburgo donde nació Cantor.En ella, en ruso, se lee: «En este edificio nació y vivió entre 1845 y1854 el gran matemático y creador de la teoría de conjuntos, GeorgCantor».De hecho, el arte y las matemáticas no eran para él dominiosalejados entre sí; por el contrario, siempre creyó que el trabajo delmatemático estaba muy ligado a la creatividad artística (idea que escompartida por muchos matemáticos actuales, entre quienes secuenta el autor de estas líneas). Por ejemplo, en 1883, en el artículodonde volcó las «notables aclaraciones» de las que hablaba en su18Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirocarta a Dedekind, Cantor escribió: «La esencia de la matemáticaradica precisamente en su libertad» (las cursivas son del original).En ese mismo texto dice:Debido a esta posición destacada, que la distingue de todas lasdemás ciencias y proporciona una explicación del carácterrelativamente fácil y desenvuelto que el ocuparse de ella tiene,merece especialmente el nombre de matemática libre, unadenominación a la que, si fuese mía la elección, daríapreferencia sobre la de matemática «pura», que ha llegado a serusual.Es decir, el matemático tiene la libertad de dejar volar suimaginación, la libertad de crear conceptos, siempre y cuando scontradicciones lógicas no se producen entonces, afirmaba Cantor,puede asegurarse que los objetos así creados existen realmente. Elmatemático, al tener el poder de crear nuevos conceptos, es tantoun científico como un artista. Estas ideas, además de reflejar elpensamiento de Cantor, teman para él, en ese histórico artículo enparticular, una finalidad «estratégica» de la que hablaremos en lospróximos capítulos.Pero volvamos ahora una vez más a los primeros años de la vida deCantor. Su padre tenía una salud muy frágil y a causa de ello en1856 los médicos le aconsejaron que dejara los crudos inviernos deSan Petersburgo y se mudara a alguna región de clima mástemplado. Cantor padre liquidó entonces todos sus negocios y se19Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirotrasladó con la familia a Alemania. Inicialmente, los Cantor vivieronen la ciudad de Wiesbaden, donde Georg asistió al Gymnasium (elequivalente alemán de la escuela secundaria), pero poco tiempodespués se trasladaron a iaenSanPetersburgo, más aún, a pesar de que vivió en Alemania el resto desu vida, nunca se sintió completamente a gusto allí. Es interesanteagregar que, hasta donde se sabe (y esto es característico de supersonalidad romántica y a veces exaltada), desde 1856 en adelantenunca volvió a escribir en ruso.La Universidad de Berlín en 1880, en la que Cantor obtuvo eldoctorado en matemáticas en 1867.Durante sus años en el Gymnasium los informes escolaresdestacaron siempre la notable habilidad de Cantor para lasmatemáticas, y aunque en un principio su padre insistió en que20Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeiroestudiara ingeniería, finalmente en 1863 ingresó en la Universidadde Berlín para estudiar la que era su verdadera vocación, podríamosdecir que su pasión, las matemáticas. En esa época, la Universidadde Berlín era uno de los centros de investigación matemática losrenombrados matemáticos Karl Weierstrass y Ernst Kummer, quefueron ambos profesores de Cantor. También lo fue LeopoldKronecker, quien volverá más adelante a estas páginas, dado quellegaría a transformarse con el tiempo en uno de los enemigos másimplacables de la teoría del infinito.Cantor se doctoró en Berlín en 1867 y dos años más tarde obtuvouna plaza de profesor en la Universidad de Halle. Hablaremos en elpróximo capítulo de sus primeros tiempos en esta ciudad, peropodemos adelantar que fue allí, en Halle, donde Cantor desarrollósu teoría del infinito matemático, es decir, donde hizo losdescubrimientos que le llevaron a ocupar el lugar destacado quetiene en la historia de las matemáticas.Pero estas ideas no se impusieron fácilmente, sino que hallaronmucha resistencia Como muestra de esa resistencia ya hemosmencionado a Kronecker, quien haría todo lo posible para que lasideas de Cantor no se difundieran. Otro ejemplo que podemosañadir data de 1874, cuando Cantor quiso publicar sus primerosdescubrimientos acerca del infinito. Al ver el borrador de suartículo, Weierstrass le aconsejó que no hiciera mención a lasconsecuencias más radicales de los teoremas expuestos en él; de21Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirohecho, le aconsejó que no incluyera ninguna referencia explícita alinfinito.¿Por qué se produjeron estas reacciones tan adversas? ¿Quéconsecuencias implicaba el artículo de 1874 y por qué esasconsecuencias eran tan revolucionarias? Para responder estaspreguntas, tenemos que conocer primero la historia del infinito.En potencia o en acto¿Qué es el infinito? Con mayor precisión, ¿qué queremos decircuando afirmamos que una colección de objetos es infinita? Antesque nada, aclaremos que usaremos aquí la palabra «objeto» en susentido más amplio, incluyendo objetos abstractos o imaginarios.Podríamos hablar, por poner un ejemplo, de la colección formadapor todos los días del mes de diciembre del año 3000.Hecha esta aclaración, volvamos a la pregunta inicial, y paracomenzar a acercamos a su respuesta analicemos primero elconcepto opuesto, mucho más familiar, de finitud. Preguntémonosentonces qué significa que una colección de objetos sea finita.La palabra «finita» quiere decir, literalmente, «que termina», «que nosigue indefinidamente». Con esta idea en mente, podemos afirmarque una colección de objetos es finita si es posible, al menos enteoría, contar uno por uno todos los objetos que la forman de modoque la cuenta termine en algún momento.La colección de todos los días del mes de diciembre del año 3000,que mencionábamos antes, es finita Para mostrar otro ejemplo,imaginemos que a cada una de las personas adultas que viven hoy22Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto Piñeirosobre la Tierra le pedimos que cierre herméticamente una botellallena de aire. La colección formada por todas las moléculas deoxígeno contenidas en esos miles de millones de botellas también esfinita. Por supuesto, en este último caso sería extremadamentedifícil en la práctica contar uno por uno todos los objetos queforman la colección, pero las dificultades prácticasno sonrelevantes para el concepto de finitud, el punto importante es elhecho teórico de que la cuenta terminaría en algún momento, auncuando ese momento tarde siglos en llegar.Por oposición, una colección es infinita si al intentar contar uno poruno todos los objetos que la forman resulta que esa cuenta nuncatermina. Conviene enfatizar que en esta definición no estamosusando la palabra «nunca» en un sentido metafórico, como sinónimode «por muchísimo tiempo», sino que, por el contrario, «nunca» debeser entendida aquí en el sentido más potente y literal de «jamás portoda la eternidad».La idea del infinito, y esta distinción que haremos es muyimportante, puede ser entendida a su vez de dos maneras biendiferentes. El infinito puede ser en potencia o puede ser en acto.Para comprender la diferencia entre una y otra manera de ver elinfinito imaginemos un escriba que se ha propuesto la tarea deanotar, uno por uno, todos los números naturales (que son losnúmeros que se obtienen a partir del 0, sumando 1 cada vez; esdecir, los números 0, 1, 2, 3, 4, )El escriba comienza a anotar y después de un rato llega al númerocien, más tarde al mil y más adelante al diez mil.23Preparado por Patricio Barros
El infinito en matemáticaswww.librosmaravillosos.comGustavo Ernesto PiñeiroObservemos que el trabajo que el escriba se ha impuesto nuncaterminará porque, por ejemplo, cuando llegue al número cien mil,deberá seguir con el cien mil uno, cuando llegue al millón, deberáseguir con el número un millón uno, y así sucesivamente.Nunca llegará al último número natural, simplemente porque talúltimo número natural no existe; siempre habrá un número máspor escribir, y otro, y otro.«Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algocompleto, lo que en matemáticas nunca se permite.»Carl Friedrich Gauss, en una carta escrita en 1831.En algún momento el escriba se da cuenta de que no le alcanzará lavida para completar la tarea, y entonces entrena a un discípulo paraque, llegado el momento, continúe con el trabajo de anotar losnúmeros. Este segundo escriba, a su vez, entrenará a su propiodiscípulo, y así sucesivamente p
El infinito en matemáticas www.librosmaravillosos.com Gustavo Ernesto Piñeiro 5 Preparado por Patricio Barros palabras, el universo entero, nosotros incluidos, constituye el ser. Pero además, el ser es inmutable, no puede cambiar, porque si pasara, digamos, de un estado A a un estado B, entonces dejaría de existir en el estado A, y eso es imposible, porque el ser no puede
