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C u r s o : MatemáticaMaterial N 25GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19UNIDAD:ÁLGEBRA Y FUNCIONESFUNCIONESDEFINICIÓNSean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cadaelemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.f: A Bx yxy123455,562332,5345yRecorridoSe expresa como:543210Dominioy se lee “f es una función de A en B”. 1 2 3 4 5 6 xSe dice que y es la imagen de x mediante f lo cual se denota y f(x), y que x es preimagen de y.Dominio de una función: es el conjunto formado por todas las pre-imágenes (x) y se denota Df.Recorrido de una función: es el conjunto formado por todas las imágenes (y) y se denota Rf.OBSERVACIÓN:y se denomina variable dependiente y x se denomina variable independiente.EJEMPLOS1.¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [a, b]?I)II)aA)B)C)D)E)Sólo ISólo IISólo I y III, II y IIINinguno de ellosbIII)abab

2.¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [a, b]?yA)ayB)ab xa3.ab xyD)yC)xyE)b xbaxbSi f es la función señalada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones esverdadera?yA)B)C)D)E)Df [1, 4]Rf [0, 3[La imagen de 4 es 0.x 5 tiene imagen.la pre-imagen de 1 es 0.3fig. 114.34En la ecuación 2x – 3y – 1 0, al despejar y en función de x, se obtieneA) y B) x C) x D) y E) y 5.22x 1331y 2221y–3321- x 3321x–33El dominio de la función f(x) A)B)C)D)E)lRlRlRlRlR––––x 5esx 4{4}{-4}{-5}{-4, -5}25x

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓNPara encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la fórmulaque define la función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entre paréntesis.Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta lavariable dependiente.Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variabledependiente disminuye.Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, lavariable dependiente toma un único valor.EJEMPLOS1.Sea f: lR lR, una función definida por f(x) 3x 2. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?I) Df RfA)B)C)D)E)2.-2.3III) La pre-imagen de 11 es 3.Sólo ISólo IISólo IIISólo I y IIII, II y IIISi f(x) x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?A)B)C)D)E)3.II) La imagen de 0 esf(-1) f(1)f(1) f(3)f(-2) f(1)f(0) 0f(0) f(-1)Si f(x) 4, y h(x) x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?A) 2B) 3C) 4,5D) 6E) 163

4.Sea f(x) x2 – 2x 1. Entonces, f(x 2) A)B)C)D)E)5. 1)(x – 2) 1)2– 1) 2)2 2)(x 1)Con respecto al gráfico de la función f de la figura 1, ¿cuál de las siguientes alternativas esfalsa?yfig. 1A)B)C)D)E)6.(x(x(x(x(x2f(-2) -f(2)f(0) f(0,5)f(1) f(3)f es creciente en el intervalo [-2, 3].f es decreciente en el intervalo [2, 3].1-2 -1123x-2Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?yI) f(x) es creciente.f(x)II) g(x) es decreciente.III) h(x) es decreciente.g(x)A)B)C)D)E)7.Sólo ISólo IISólo I y IIISólo II y IIII, II y IIIh(x)g(x 3) g(x)?f (x 3) f (x)Si f(x) x y g(x) 3, ¿cuál es el valor deA) 3B) 2C) 1D) 0E) -38.Si f(x – 1) x2, entonces el valor de f(3) esA) 1B) 4C) 9D) 16E) 254xfig. 2

FUNCIONES PARESSon aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valoresiguales.f(x) f(-x)FUNCIONES IMPARESSon aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valoresopuestos.f(x) -f(-x)Las funciones pare tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de lasordenadas, mientras que las funciones impares tiene gráficas respecto del origen.OBSERVACIÓN:EJEMPLOS1.¿Cuál de las siguientes funciones es impar?A)B)C)D)E)2. x3 1x2 – 1xx3 23x4 – 2¿Cuál de las siguientes funciones es x)f(x) x2 2x x x3x52x7¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función impar?A)-1B)y1x-3C)yy2D)x2 35x-3E)y3xy-22x

TRASLACIÓN DE FUNCIONESSea y f(x) una función. La función y f(x) k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k 0 el desplazamiento es en elsentido negativo (fig. 1 y 2). La función y f(x – h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h 0el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h 0 es en el sentido negativo(fig. 3 y 4). La función y f(x – h) k es la función f desplazada k unidades en el eje y, yh unidades en el eje x.Si h y k son positivos, entonces:y f(x) ky f(x) – kyy f(x – h)yy f (x h)yfyfxxfig. 1ffxfig. 2xfig. 3fig. 4EJEMPLOS1.En la figura 1, se tiene la gráfica de la función f(x) 3x. ¿Cuál es la gráfica de la funciónf(x) 3x 3?y321fig. 11 2 3 x-3 -2 -1-2-3A)B)y321-3 -2 -1-2-3C)y1 2 3 x-3 -2 -1-2-3D)y3213211 2 3 x-3 -2 -1-2-36E)y3211 2 3 x-3 -2 -1-2-3y3211 2 3 x-3 -2 -1-2-31 2 3 x

2.La figura 2, muestra la gráfica de la función y x 2. ¿Cuál es la gráfica de la funcióny (x 1)2?yfig. 2xA) yB)C)yx3.D)yxE)yxLa figura 3 muestra la gráfica de la función y yxxx . ¿Cuál es la gráfica de y 1 x 1?yfig. 3xA)B)yC)yx4.D)E)yyyxxxxLa gráfica de la función y x3 es la que aparece en la figura 4. ¿Cuál es la gráfica dey (x – 2)3 2?y8fig. 4-2x2-8A)B)yC)yD)yx22x-2-2xx7E)yy211 2x

Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) mx n, con m y n números reales.Su representación gráfica es una recta, su pendiente m determina si la función afín es creciente,constante o decreciente.yyym 0m 0xcrecientem 0xxconstantedecrecienteEn el caso que el coeficiente de posición n sea igual a cero, la función se denomina lineal. Estafunción pasa por el origen.OBSERVACIÓN:La función lineal f(x) mx, cumple las siguientes propiedades: Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple quef(a b) f(a) f(b) Para todo a perteneciente al Df y lR se cumple quef( · a) f(a)EJEMPLOS1.¿Cuál es la ecuación de la función afín representada en el gráfico de la figura 1?A) y B) y C) y D) y E) y 2.3x–443x 444- x 434x 433- x 44y4fig. 1x-3¿Cuál es la ecuación de la función lineal representada en el gráfico de la figura 2?yA) y -2x1B) y x2C) y -41D) y - x2E) y 2xfig. 22x-48

3.Si en la ecuación y – 3 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x,¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?I)II)III)A)B)C)D)E)4.su dominio es el conjunto de los números reales.Su recorrido es el conjunto {(0, 3)}.Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas.Sólo ISólo IISólo I y IISólo II y IIII, II y IIIEn una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de 900. Sabiendo que el modelode cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m 3 se facturó el mespasado 6.000, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x m3 de agua?6.000x15 15 · 6.000 x– 15 · 6.000 x6.000 900 x156.000 - 900–x15A) G 900 B) G 900C) G 900D) G 900E) G 9005.¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior?A)GB)GGC)6.0006.0006.0009009009005 10 15 xD)5 10 15 xGE)5 10 15G6.0006.0009009005 10 15x95 10 15xx

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número real no negativo. x si x 0f(x) x , x lR -x si x 0Representaciones gráficasyf(x) x -22OBSERVACIÓN: x -1 012x1-2 -1yf(x) - x -1012x-2x2EJEMPLOS1.Si f(x) x – 1 , entonces f(2) – f(-1) A) -1B) 0C) 1D) 2E) 32.Dada la función f(x) 1 – x – 4, ¿Cuál(es) es (son) la(s) preimagen(es) de 2?A) 7B) 6C) -5D) -5 y 7E) 5 y -510

3.El gráfico que mejor representa a f(x) x – 1 1, esyA)yB)22111 12x-1yC)yD)x-x112yE)112-14.-12xx¿Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 1?yA)B)C)D)E)5. x x x x x 1 2– 2 1 2 – 1– 2 – 1– 1 22fig. 11-21-132x¿Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 2?yA)B)C)D)E)5.fig. 21 x -1 x 1 - x x -1 x 1 x¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) x x – 1 ?A)yB)y11x-1D)12321x1 2E)y321-1yC)y211 2x111xx

FUNCIÓN PARTE ENTERAf(x) [x] con x lRDado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor oigual a x.ySu representación gráfica esOBSERVACIÓN:4f(x) x 3x-1,7-1-0,300,511,622,321f(x)-2-1-1001122-4 -3 -2 -11 2 3 4-1-2-3-4A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.EJEMPLOS1.¿Cuál es el valor de la expresión [0,99] [1,11]?A) 3B) 2C) 1D) 0E) -12.¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdaderas(s)?I)II)III)A)B)C)D)E)3.[ ] 4[- ] -4[ 2] 2Sólo ISólo IISólo I y IIISólo II y IIII, II y IIISi f es una función tal que f(x) [x] – x 1, entonces f(-2,2) f(2,2) A) 1B) 0,8C) -1,4D) -3,4E) -4,212x

4.El gráfico de la función f(x) [x 1] esA)3yB)yC)3D)322211111 2 3x-2 -1-1-2-21 2 3x-2 -1-11 2 3x-3 -2 -1yE)Ninguna delas anterioresx1 2-2-2¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura 1?yA) [x 2]B) [x – 2]C) 2[x ][x]D)2 x E) 2 6.y2-2 -1-15.321-2fig. 102-1x4La tarifa para una obra de teatro es la siguiente:* Niños de 10 o menos años* Jóvenes entre 10 y 20 años* Adultos de 20 o más años: No pagan: 2.000: 3.000¿Cuál de los siguientes gráficos es el que representa la función tarifa?A) B) C) D)E) 300030003000300030002000200020002000200007.10 20 años010 20 años0 10 20 años0 10 20 años010 20 añosUna oficina de turismo organiza visitas guiadas sólo para grupos de 4 personas. Si xrepresenta el número de personas interesadas, ¿cuál es la función que representa el númeroN de visitas a organizar?[x]4 x B) N 4 C) N 4 [x] x 4 D) N 1 4 A) N x E) N 1 4 13

EJERCICIOS1.¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [-2,2]?yI)211-2 ólo ISólo I y IISólo I y IIISólo II y IIII, II y IIILa figura 1, muestra el gráfico de una función y f(x), definida en los reales. ¿Cuál es elvalor de [f(-3) f(3)] · f(0) – f(2)?yA)B)C)D)E)6876405421Si f(x) I)II)III)A)B)C)D)E)fig. 13-4 -3 -2 -13.-1-11 2 3 4x4x 1, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?x 2941f(0) 2f(2) 7f(-2) Sólo ISólo IISólo I y IISólo II y IIII, II y III14

4.De acuerdo al gráfico de la curva h(x) de la figura 2, se puede afirmar que:I)II)III)5.y2A)B)C)D)E)1Sólo ISólo I y IISólo I y IIISólo II y IIII, II y III-2–––––fig. 2-1-11 23 4x-2¿Cuál es el dominio de la función f(x) lRlRlRlRlRh(x)3Es (son) verdadera(s)A)B)C)D)E)6.La función es creciente en [-2,4].Dom h [-2,4]Rec h [-2,3]x 1x2 4?{1}{4}{-2, 2}{-2, 1, 2}{1, 4}Se llama función mantisa a aquella que a cada elemento x le hace corresponder la diferenciaentre el número x y su parte entera. Su fórmula es M(x) x – [x]. ¿Cuál es el valor deM(8,75) M(-3,75)?A) 7B) 1C) 0,5D) 0E) -77.La función f(x) x – 2 3 está representada porA)yyB)3yC)332 xx-2yD)E)321-22 xy1x15-2 -1-2-32x

8.El gráfico de la figura 3, ¿a cuál(es) de las siguientes función(es) representa(n)?I)II)III)A)B)C)D)E)9.AAAAAf(x) [x 1]f(x) [x] – 1f(x) [x] 1y4fig. 33I solamente.I y a II solamente.I y a III solamente.II y a III solamente.I, a II y a III.21-3 -2 -11 234x-2El gráfico que representa la función f(x) 1 – x – 2 esyA)yB)yC)22112 x-22x-2-2-2yD)E)y2-222x1 2-2-210. ¿Cuál de las siguientes funciones es par?x2 – 4x2 2x 1x2xxE) f(x) 2A)B)C)D)f(x)f(x)f(x)f(x) 11. Dadas las funciones f(x) 4 – x2 y g(x) A) 4 xB) x – 4C) (2 x )(2 –x)D) ( x 2)( x – 2)E) 1 – x216x , entonces f(g(x)) es2 xx