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Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaVI‐DEC (Vídeos Didácticcos de Exxperimenntos Cienntíficos)FísicaDAANZA DEE LOS PÉNDULOOSSUMAARIOI.II.RRESUMEN Y OBJETIVOOCCONCEPTOOS BÁSICOSSII.1 IntrodducciónII.2 DefiniicionesII.3 Relacción entre la longitud y el periodo de unu pénduloII.4 Onda armónicaIII. EESTUDIO SOOBRE LA DAANZA DE LOOS PÉNDULLOSIIII.1 Condicioones que debben cumplir para que se origine la daanzaIIII.2 Estudio de las simettrías que se pproducen enn un primer ejjemploIII.2.1 Simmetría para ele inicio y el fifinal de la danzaIII.2.2 Simmetría para antesay despuués de la mittad de la dannzaIII.2.3 Simmetría para unu cuarto y trres cuartos ded la danzaIII.2.4 Simmetría para unu tercio y doos tercios de la danzaIII.2.5 Resumen de las simetrías eestudiadasIII.2.6 ConstrucciónIIII.3 Simetríaas en un segundo ejemplloIIII.4 Simetríaas en un terccer ejemploIIII.5 Generalizaciones paara cualquierr modeloIV. CCONCLUSIÓÓNREFEERENCIASANEXXO. Vídeos utilizadosuen el artículoI. RESUMEN Y OBJETIVOOEl fenómmeno conociddo como esfferas danzanntes o danzaa de péndullos consiste en elefectoo óptico quee se producee en un jueggo de pénduulos simples de longitudees diferentess y noacopllados, cuanddo se dejan libres partienndo de la missma posiciónn lateral. Loss péndulos dibujanuna sserie de ondaas que cambbian en el tiemmpo para repetirse al terrminar cada cciclo.En este artículoase deescriben las característiccas que un coonjunto de ppéndulos tienne quecumpplir para que se produzcaa la danza dde péndulos. Se estudiann, en detalle, las simetríaas quese prroducen en varios ejemplos de osccilación y see generaliza a un modeelo que cualqquieradeseee construir. En la introoducción se resumen loos conceptoos básicos dde física geeneral,necessarios para iniciar a cuaalquier persoona en la coomprensión ded este fenóómeno comoo son:Efectto óptico, Coomportamiennto colectivo o, en conjunto, Movimieento armónicco simple y Ondaarmóónica. Ademáás, se presenntan unos grráficos, dondde se ven lass posiciones de cada péndulo,segúnn el númeroo de oscilacciones que realiza desdde el inicio de la danzza. El tratammientodidácctico de estee fenómeno que aquí see hace, permmite acercarr el estudio de oscilacioones yondas a un públicco no expertoo.Dra. CCarmen Palaacios Estremera1cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaSe puedee ver esta daanza con múúsica en el vídeo 1. (Haccer clic sobree el recuadroo paraverlo)). Al observaar el movimiento, el cereebro trata dee sincronizarr la música ccon el movimmientode loss péndulos, realzando suu belleza.II. COONCEPTOSS BÁSICOSII.1 InntroducciónnEl estudioo de las osccilaciones y llas ondas ess apasionantte, ya que sse presentan en lanaturraleza en múúltiples aspecctos: los átommos, el soniddo, los emisoores y recepttores de radio o altirar uuna piedra al agua.En este artículoase vaan a abordarr las oscilaciones que see visualizan pperiódicamennte enun coonjunto de pééndulos de distintasdlong itudes.La parte ded la física teórica de esste comportamiento ha sido explicadaa con detallee en elartícuulo [1] y ha sidosampliammente utilizaada por muchhos autores sobre todo en internet, comopuede verse porr ejemplo enn [2, 3 y 4] . No obstannte, las múlttiples pregunntas que muchasonas hacen a los autoress muestran qque no lo lleggan a entender en profunndidad. A ellaas vanpersodirigiddas las expplicaciones ded este artíículo, con laa ilusión dee hacer máss comprensiva laobserrvación de taanta belleza como aparecce en este curioso experrimento.Estos pénndulos no accoplados (inddependientess unos de ottros) produceen el efecto ópticode onndas que cammbian con el tiempo. Se dice efecto óptico, ya quue estas onddas no transpportanenerggía, como reealmente lo hacenhlas onndas, por ejeemplo las olaas del mar a l llegar a la costa.Este es un ejempplo de compportamiento ccolectivo quee se presentta cuando u na señal continuaes exxaminada sólo en puntos concretos dde su eje.Otro ejemmplo de comportamiento colectivo ess el efecto esstroboscópicoo. En este caso elmovimmiento colectivo surge cuando unna señal coontinua es examinada en determinadosmomentos discreetos del tiempo. El efectoo óptico se producepal iluminar meddiante destelllos unobjetoo que se muueve de unaa forma rápi da y periódiica. El objeto se ve en movimiento lento,haciaa adelante o hacia atrás, según la frrecuencia dee destellos seas inferior o superior a la delmovimmiento del objeto.oVer ele vídeo 2. EEsto se obseerva, a vecees, cuando vvisualizamos en elcine eel movimientto de las rueddas de los trrenes o coches.Los dibujjos animados y el cine son escenas sucesivas en periodoss inferiores a unadécimma de seguundo, que ese lo que eel ojo humano necesita para detecctar dos escenasseparradas. Así, la visión hummana ve un movimiento continuo en lo que son escenas moovidasunas respecto dee otras.Estos efeectos ópticoss no tienen pposibilidad ded dar informmación de laa función continuaque ssubyace a loo largo de toddos los punttos del eje en el caso dee los pénduloos, o en cadda unode loss instantes, ene el caso deel movimientto del objeto.Dra. CCarmen Palaacios Estremera2cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaII.2 DDefinicionesOscillación. Es ele movimientoo repetido dde un péndullo en torno a suposicción de equiliibrio. Consideramos que es un movimmiento armónicosimplle y que se realizarsobree el eje Y. Ell recorrido dee una oscilaccióncomppleta consiste en ir desdde una posicción extremaa, A (Y 1), a laLotra, B (Y -1), y volverva la primera, A (YY 1), pasando dos veces porla possición centraal (Y 0).AY 1 Y 0Perioodo T. Es el tiempo queqtarda eel péndulo ene realizar unaBY -1oscilaación o ciclo.Fasee. Es cada unna de las poosiciones quee puede tomar el péndulo en una osscilación commpleta.Se mmuestran alggunos ejempplos para di stinguir las diferentes fases.fEn laas figuras see hanseparrado los recoorridos de idaa y vuelta. SSe muestran las fases parra: t 0, el péndulo está en A, inicio del ci clo: Ainicio, Y 1 t T/4, el pénddulo ha recorrido 1/4 del ciclo, está ene Y 0 t T/2, el pénddulo ha recorrido 1/2 cicloo, está en B, Y -1 t 3T/4, el pénndulo ha recoorrido 3/4 deel ciclo, está en Y 0 t T, el pénduulo está en A, final del cicclo: Afinal, Y 11Se ponen también ejemplosepaara ver las posicionest 0, Ainicio t T, AfinalY 1Y 0, t Y -1t Bt TT/2y las fasees en las quue seencueentra el pénddulo según laas oscilacionnes realizadaas.Cuando un pénduloo hace un nº enteroo de oscilaaciones012comppletas: siempre se encoontrará en A, Y 1. Aqquí ha realizzado 33A Y 1oscilaaciones.Cuando unu péndulo hacehun nº enntero de osccilaciones coompletas012 2,225Y 0más un cuarto (1/4)(de oscilación, siemmpre se encoontrará en Y 0. Aquíha reealizado 2,255 oscilacioness.Cuando unu péndulo hacehun nº eentero de osscilaciones coompletas012 2,55más media (1/2)) oscilación, siempre se encontrará ene B, Y -1. Aquí haB Y -1realizzado 2,5 oscilaciones.Cuando unu péndulo hacehun nº eentero de osscilaciones completascmás tres cuartoss (3/4) de osscilación, siemmpre se enccontrará en Y Y 0. Aquí012 2,752Y 0ha reealizado 2,755 oscilacioness.Dra. CCarmen Palaacios Estremera3cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaII.3 RRelación entre la longituud y el perioodo de un péénduloa es: L Estadonde g es la aceleeración de la gravedad gg 9,8 m/s2y L es la distancia enntre el centroo de gravedad del péndulo y el punto de sujeción.2Desppejando L y poniendoplos valores de g y se obtieene L(m) 00,248T y TT(s) 2,007La relacióón entre L y T de dos pénndulos, 1 y 2 es:Para L1 1 m y L2 0,225 m aproximmadamente ses obtiene: T1 2 s y T22 1 sII.4 OOnda armónica.quna ondda es armónnica cuandoo todos sus puntos haceen un movimmientoSe dice quearmóónico simple. Esta onda ese periódica: mpo. Cada pénduloptienee su periodo,, T, o tiempo de la oscilacción completta.En el tiem En el esppacio. Longiitud de ondaa, es la distancia mínima entre doos puntos enn fase,por ej. enntre dos crestas.YXIII.O SOBRE LAA DANZA DE LOS PÉNDDULOSESTUDIOIII.1 CCondicioness que debenn cumplir loss péndulos para que see origine la ddanzaEstar sepparados entrre sí una mmisma distanccia d. Este valor es arbbitrario. Se puedepelegirr el mínimo, para que loss péndulos noo choquen entreesí.n número enntero conseccutivo de osscilaciones, N n (n 00,1, 2, hassta unHacer unnúmeero arbitrarioo),en un tiempo T ( ciclo de la danza).EsteEtiempo T tiene quue sersignifficativamentee mayor que el periodo dde cada péndulo individuual. Fijados los valores N y T,queda definida cóómo va a serr la danza. A cada pénduulo le correspponde:Periodo: Tn ,Longitud: Ln (cm) 24,8xTTn2Dra. CCarmen Palaacios Estremera4Posicióón: xn n.dcpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2 EEstudio de las simetríass que se prooducen en unu primer ejemploPara estee estudio see ha elegido:: N 30, T 660 s, d 3,5 cm,c se utilizaan 12 pénduulos ycada péndulo se designa con el valor de ““n” que le corresponde.Se descriiben los datoos de interés en tres de estosepénduloos. El primeer péndulo, n 0, hace N n 30 oscilaciones en T 60 ss, su perioddo esT0 T/N 660/30 2s,estásitu adoenx0 0x3,5 0cmyeselmáslargo2L(m) 0,248T 0,99 m 99mcm. Elsegundo,n 1, haceN nn 31oscilaacionesen T 60s,superiodoes2 n) 60/31 1,935 s, estáá situado en x1 1x3,5 33,5 cm y L(mm) 0,248T 0,93T1 T/(N m 93 cmm. El 12º, n 11,nhace N n 41 osscilaciones ene T 60 s, su periodo es T11 T/(NN n) 60/41 1,4463s,esstásituadoenx11 11x3,5 38,5 cmyesselmás corto2L(m) 0,248T 0,53 m 53mcm.En el esqquema siguiiente se res umen los daatos de cada péndulo373865,3362,9331,5 351138,5413669,011053,203573,01Tn 9403477,3624,52283317,5 21882 1282,12100,5 147327656,89587,34431393,0693 0630992L( ) 24 8 TL(cm) 24,8xTNN n 30 n30Posicióón en cm: (xn n.d) 0 3,532390 159,80NNombre (n) Al analizar la evoluciónn temporal d el sistema, aparecenasimmetrías prod ucidas por laa faseen quue se encueentra cada péndulo.pLa ffase está reelacionada coon el númerro de oscilaccionesrealizzadas. Al separarlos de su posición de equilibrioo y soltarlos a la vez, toodos los pénndulosiniciaan sus movimmientos en faase, instantee llamado t 0 s, pero ennseguida se desfasan poor susdistinntos periodoss de oscilacción. Despu és de un tiiempo T (ciclo de la d anza), todoss hanrealizzado un númmero entero de oscilacionnes, N n, y vuelven a estaretodos dde nuevo enn fase,comoo para t 0 s, listos para reepetir la dannza.Dra. CCarmen Palaacios Estremera5cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaPintamos loos 12 péndulos con 4 co lores: - Rossa para n 0, 4 y 8. - Az ul para n 1, 5 y 9.- Rojoo para n 2, 6 y 10.-Veerde para n 3, 7 y 11.Pénduloos vistos dessde arribaPéndulos visstos de costaadoLa seleccióón de tiempoos se ha heccho en base a las simetríaas que se prroducen entree laprimeera y la seguunda mitad ded la danza y se muestra a continuación:A1) Inicioo de la danzaaA22) FinalB1) Un cuuartoB2)) Tres cuartosC1) Un teercioC2) DosD 4 3TT(11-1/4)45T604d (s)01520302T//3 T(1-1/3)400 4d3d2d3ddIII.2.11 Simetría para A1) inicio y A2) finaal de la danzzaA1) En el inicio de la danzaa, t 0 s, los péndulos haan hecho 0 oscilaciones,otodos ellos estánseparrados de la posición dee equilibrio, la máxima amplitud positiva, Y 1, cuando se mirandesdee arriba.Y 11Y 00Y --1A2) En el final de la danzaa, t T 60 s, todos los péndulos hann hecho un nnúmero enteero deoscilaaciones, commo se muestrra en la tablaa:Péndulo(n)nº osc. en 60 s (30 n)0123456789101130331332333433536373383940441Se distingguen dos tipoos de ondas::Dra. CCarmen Palaacios Estremera6cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaOnda “viisual”, la que dibujan loss péndulos. Todos ellos están en unna horizontal, Y 1,comoo para t 0 s. Su longitud de onda es v .Onda “reeal” es la que dibujaríían los péndulos si esttuvieran coloocados de formacontinnua, en vez de estar enn posiciones discretas, separadossuna distanciaa, d, entre ellos. Acada uno de elloss le separa deld otro una ooscilación coompleta. La longitud de eesta onda “reeal” es r d.Y 11Y 00Y --1 r dA continuuación se muuestran 4 seccuencias durrante el primmer segundoo desde el innicio yotras 4 simétricas durante ell último seggundo del final de la daanza. Observvar que en 1 s elpéndulo n 0 conn T0 2 s hacce media osscilación de t1 a t4 al innicio o de t55 a t8 al finaal. Porejempplo, para t2 0,35 s y parapt7 59,665 s, los pénndulos tienenn posicioness iguales, perro susmovimmientos estáán invertidos.A2) Final dde la danzaEl péndulo n 0 va reetrasado resspecto aln 1, va másmlento y detrás dee él. Elconjunto ese como unna onda quee avanzahacia la dcha. Primeroo sube la paarte dcha.y luego la izda.A1) Innicio de la daanza.El péndullo n 0, el dee mayor perioodo,se muueve más leento que el siguiente,sn 1, ypor ttanto va dettrás de él. El conjuntoo escomoo una onda que avanzaa hacia la izzda.Primeero baja la paarte dcha. y luego la izdaa.n 01 23 4567 8n 09 10 11t11 0 s12 3 45 6 78 9 10 11t8 660 st7 559,65 st22 0,35 st33 0,65 st6 559,35 st44 1 st5 559 sSe puueden relacioonar los avances de estaas ondas conn los de las olasodel mar.En A1) de t1 a t 4 va hacia la izda.Dra. CCarmen Palaacios EstremeraEn A2) de t5 a t8 va haacia la dcha.7cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2.22 Simetría para D) antess y despuéss de la mitadd de la danzaEn la mitaad de la danza a T/2 60//2 30 s, los péndulos haan hecho (N n)/2 oscilaciones,comoo se muestraa en la tabla:Péndulo(n)nº osc. en 30 s (15 n/2)0115 15,523456789116 16,5 177 17,5 18 18,5 19101119,5 20 20,5Cada pénndulo se separa ½ 0,5 osscilación del siguiente.Los pénddulos que haacen un númmero par de oscilacionesoen T 60 s, hacen un núúmeroenterro de oscilacciones en T/22 30 s, se eencuentran arribaaen Y 11, y los que hacen un núúmeroimparr de oscilaciones en T 660 s, hacen un número enteroemás mediamoscilaación en T/2 30 s,se enncuentran enn Y -1. Alternnativamente están en Y 1 e Y -1. Laa longitud de onda es de 2d. 2dY 1YY 0YY -1YSe muestra la siimetría entree t1 29,8 s yn 01 2 3 4 5 6 7 8 9 101 11t22 30,2 s. O seas 0,2 s anntes y 0,2 s después dee lammitad de la daanza.t11 29,8 sSe forman dos ondasoindeppendientes conclos péndulos alternativosay movimientoos inversos, ent1 se separan y en t2 se acercan. (La pparte izquierrdavaa siempre máás despacio que la dereccha).t22 30,2 sEn t1 estas dos ondasovan hhacia la izda. yenn t2 van haciia la dcha.Dra. CCarmen Palaacios Estremera8cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2.33 Simetría para B1) un cuartocy B2)) tres cuartoos de la danzaB1) En un cuartto de la danzza a T/4 60//4 15 s, los péndulos haan hecho (N n)/4 oscilaciones,comoo se muestraa en la tabla:Péndulo(n)nº oosc. en 15 s (7,5 n/4)017,577,75283458,25 8,5 8,7569789109,25 9,5 9,75 101110,25Cada pénndulo se separa ¼ 0,25 de oscilaciónn del siguiente.El péndullo n 0 ha heecho 7 más mmedia oscilaación, se enccuentra abajoo en Y -1. ElE n 1ha heecho 7 más 3/4 de oscilaación y se eencuentra enn Y 0. El n 22 ha hecho 8 oscilacionees, seencueentra arriba ene Y 1.En T/4 115 s, se pueede ver que el conjunto de los 12 péndulos ess una onda con 3crestaas que avanza hacia la izzquierda, coon longitud deeonda 4d. 4dComo ess lógico, al observar a t T/z cadaapéndulo se separra 1/z de osccilación del ssiguiente y laalongittud de onda es zd. See necesitan zz 1 péndulossentree una cresta y otra. En esste caso: z 44.Al mismoo tiempo se pueden veer z 4 ondassindeppendientes conc los tres péndulospquee están en laamismma fase y conn el mismo coolor.-LLos rojos estáán en Y 1 paara empezarr a bajar.-LLos rosas esttán en Y -1 para empezaar a subir.-LLos azules (ssuben) y los verdesv(baja n) estáneen Y 0.n 01 2 3 4 56 7 8 9 101 11t1 14,988 sA continuación se muestranm2 secuencias:para 0,02 s antes y 0,02 s despuésdde uun cuarto deela danza. EEn t1 14,98 s, los péndulos azules y verdes seet2 15,022 svvan aproximaando a Y 0 y EEn t2 15,02 s, se van aleejando.Dra. CCarmen Palaacios Estremera9cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaB2) EEn tres cuaartos de la danza a 3TT/4 3x60/4 45 s, los péndulos hann hecho 3(NN n)/4oscilaaciones, commo se muestrra en la tablaa:Péndulo(n)01nº ossc. en 45 s (222,5 3n/4) 22,5 23,2552243456789101124,755 25,5 26,225 27 27,755 28,5 29,225 30 30,755Cada pénndulo se separa 3/4 0,755 de oscilacióón del siguiente.El péndullo n 0 ha heecho 22 más media oscilaación, se encuentra abajjo en Y -1. ElE n 1ha heecho 23 máss ¼ de oscilaación, se enncuentra en Y 0.YEl n 2 ha hecho 244 oscilacionees, seencueentra arriba ene Y 1.En los dibbujos se mueestra las sim etrías entre B1) y B2):B1) t T/4B2) t 3T/4 44d v 4d r 4dd/3Los pénddulos ocupan las mismaas posicionees en B1) y B2), tienenn la misma onda“visuaal” de longituud de onda 4d,4 pero se innvierten los movimientosm. Las bolas qque suben o bajanen B11, bajan o suuben en B2.La longituud de la ondaa “real” en B22 es r 4d/33.n 0Se ppueden ver en B2 ondas similaressa laas de B1: 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11t1 44,95 sEEn t1 44,95 s los péndullos azules y los verdessse van aproxximando a Y 0 y t22 45,05 sEEn t2 45,05 s se van aleejando.Dra. CCarmen Palaacios Estremera10cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2.44 Simetría para C1) un tercioty C2) dos tercioss de la danzaaC1) En un tercioo de la danzza a T/3 60//3 20 s, los péndulos han hecho (N n)/3 oscilaciones,comoo se muestraa en la tabla:Péndulo(n)nº osc. en 20 s (10 n/3)012345678910 10,33 1 0,66 11 111,33 11,66 12 12,33 122,66 1310111133,33 13,66Cada pénndulo se separa 1/3 0,333 de oscilacióón del siguiente.El péndullo n 0 ha heecho 10 oscillaciones, se encuentra arriba en Y 1 . El n 1 ha hecho10 más 1/3 de osscilación, se encuentra ppor debajo ded Y 0, bajando. El n 2 ha hecho 100 más2/3 de oscilación,, se encuentrra por debajoo de Y 0, suubiendo.El conjunto de los 12 péndulos forrma una ondda con 4 cresstas, cada unna de un coloor queavanzza hacia la izquierda, coon longitud de onda 3d. Se cumplee que para tt T/z, zd, y senecessitan z 1 péndulos entree una cresta y otra. En esste caso: z 33.Al mismoo tiempo see pueden veer z 3 ondaasindeppendientes conclos 4 péndulos quee están en la 3dmismma fase, cadaa uno de un color:c 1ª onda, los péndulospquee están en YY 1. 22ª onda, los péndulospestán a 1/3 dee oscilación dedlaa 1ª bajando. 33ª onda, los péndulospestán a 1/3 dee oscilación dedlaa 2ª subiendoo.Tambbién se puedde ver cómo avanzan estaas ondas:n 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11t1 19,5 s En t1 19,5 s, 0,5 s anntes de T/3. En t2 19,9 s, 0,1 s anntes de T/3.t2 19,9 sDra. CCarmen Palaacios Estremera11cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaC2) EEn dos terccios de la danza a 2TT/3 2x60/3 40 s, los péndulos hann hecho 2(NN n)/3oscilaaciones, commo se muestrra en la tablaa:Péndulo(n)0123456789nº ossc. en 40 s (20 2n/3) 200 20,66 21,,33 22 22,666 23,33 24 24,66 25,333 261001126,666 27,33Cada pénndulo se separa 2/3 0,666 de oscilacióón del siguiente.El péndullo n 0 ha heecho 20 oscillaciones, se encuentra arriba en Y 1 . El n 1 ha hecho20 más 2/3 de osscilación, se encuentra ppor debajo dee Y 0, subieendo. El n 2 ha hecho 21 más1/3 de oscilación,, se encuentrra por debajoo de Y 0, baajando.En los dibbujos se mueestran las simmetrías entree C1 y C2:C1) tt T/3C2) t 2T/3 3d 3d 3d/2Los pénddulos ocupan las mismaas posicionees en C1) y C2), tienenn la misma onda“visuaal” de longituud de onda 3d,3 pero se innvierten los movimientosm. Las bolas qque suben o bajanen C11, bajan o suuben en C2.La longituud de esta onnda “real” enn C2 es r 33d/2.Se puueden ver enn C2 ondas similaressa laas de C1:n 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111t1 40 s EEn t1 40 s. LaL 1ª está en Y 1, la 2ª sse acerca aYY 0 y la 3ª see acerca a Y -1.Y EEn t2 40,3 s.s La 1ª se acerca a Y 0, la 2ª at2 40,3 sYY 1 y la 3ª see acerca a Y -1.YDra. CCarmen Palaacios Estremera12cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2.5 Resumen de las simeetrías estud iadasA1) Inicio de la danzaaA2) FinalB2) TTres cuartossB Un cuarrtoB1)C1) Un terrcioos terciosC2) /4T(s)015203004044560 4d3d2dd3d34d Osscilaciones realizadas0(N n)/4(N n)/33(N nn)/22(NN n)/333(N n)/4N nn 007,51015520222,530n 107,7510,3315,5200,6623,2531n 20810,66166211,332432010,2513,6620,5277,3330,7541 N 11 r 22d r d v 4d v 4d r 4d/3 v 3d v 3d r 3dd/2Dra. CCarmen Palaacios Estremera13cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.2.66 ConstruccciónEste primmer aparato fue construid o en un panel triangular de metacrilaato con agujeeros adistinntas alturas, para que toddos los pénd ulos llegarann a la mismaa horizontal. El panel se sujetóa un perchero. Uno de los toornillos de caada péndulo tiene una palomilla paraa facilitar el ajustede laa longitud deel hilo. Se puusieron pegaatinas con 4 colores a bolasbde aceero de 2,5 cmc dediámeetro. Todo ello se puede observar enn las fotos sigguientes.El víddeo 3 muesstra un ciclo de la danzaa con el aparrato completo. Se puedee parar y obsservarlas siimetrías descritas. El viddeo 4 muesttra dos cicloss de la danzza, viendo sóólo las esferaas. Sedan aalgunas expllicaciones paara observarr las ondas queq se formaan: al comieenzo, 1/3, ½, 2/3 yfinal del primer ciclo,cy a 1 ¼ y 1 ¾ y final del seegundo cicloo. Esto permmite observaar confaciliddad las simetrías descritaas.III.3 SSimetrías enn un segunddo ejemploSe utilizan 18 pénduloos con N 51 , T 60 s, d 3,5 cm.Los datoss de interés ene tres de esstos pénduloos son:El 1º, n 00, hace N n 51 oscilacioones en T 660 s, su perioodo es T0 T//N 60/51 1,176 s,2está ssituado en x0 n.d 0 cm y es el más llargo L0(m) 0,248T0 0,33433 m 34,333 cm.El2º,n 1,hacceN n 522oscilacionnesenT 60Ts,suoperiodoes2T1 T//(N n) 60/522 1,154 s, está situadoo en x1 n.dd 1x3,5 3,5 cm y L1(mm) 0,248T1 0,330 m 333,0 cm. 17, hace N n 68 osc. een T 60 s, sus periodo ess T17 T/(N nn) 60/68 0,888235El 18º, n s, esstá situado en x17 n.d 17x3,5 59, 5 cm y ess el más coorto L17(m) 0,248T172 00,1931m 199,31 cm.Dra. CCarmen Palaacios Estremera14cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaEn el esqquema siguieente se resummen los datoos de cada pééndulo52,55659,520,5021,13L 24,8xT2 (cm)0,923Tn 8024,5632122,4917,56214123,2323 2310,561723,993,560024,80(xn 59,29,51854730,62653531 7831,78452333,0251134,330N n 51 n(n)0,896 0,882 Las simeetrías que see obtienen soon las mismaas que en el primer ejemmplo. Lo únicco quevaría es el númeero de oscilaciones reaalizadas, éstaas aumentan respecto aal primer ejeemplocomoo se indica a continuaciónn:t(T)0T/4 15 sT/3 20 sT/2 30 s2T/3 40 s3T/4 455 sT 60 sOscilaaciones reallizadas0(N n)/4(N n)/3(N n)/22(N n)/333(N n))/4N nn 0 012,751725,53438,25551n 101317,332634,663952n 2013,2517,6626,535,3339,7555301722,663445,335168 NN 17Este seguundo aparatoo se hizo coolocando unaas clavijas de guitarra soobre una barra demadeera y ésta see sujetó con unosusoportees. Así, los péndulos llegaan a distintass alturas.El vídeoo 5 muestraa un ciclo de ladanzaa con tres vistas: de frennte, desde arrriba ydesdee el costadoo donde estáá el pénduloo máslargo.Dra. CCarmen Palaacios Estremera15cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaIII.4 SSimetrías enn un tercer ejemploeSe analizza un tercer ejemploecon los siguientees datos: N 16, T 16 s, dd 3 cm.Se utilizan 8 pénduloss. Los datos de interés en tres de esttos pénduloss son:0, hace N n 16 oscilacioones en T 166 s, su periodo es T0 T/NN 16/16 1 s,s estáEl 1º, n 02situaddo en x0 n.dd 0 cm y es ele más largo L0(m) 0,2488T0 0,2485 m 24,85 cmm.El 2º, n 11, hace N n 17 oscilacioones en T 16 s, su periodo es T1 T/((N n) 16/177 0,942s, esttá situado enn x1 n.d 1x33 3 cm y L1(mm) 0,248T1 0,22 m 22 cm.El 8º, n 77, hace N n 23 osc. en TT 16 s, su periodo es T7 T/(N n) 166/23 0,696 s,s está2situaddo en x7 n.dd 7x3 21 cmm y es el máss corto L7(m) 0,248T7 00,1202 m 122,02 cm.En el esqquema siguiiente se res umen los daatos de cada péndulo7PPosición en cm (xn ,0024,85L 24,8xT2 (cm)Tn 236225214203192171160N n 16 nNombrre (n) Ahora el periodo del péndulopmáss largo es de 1 s, la mitadd que en el pprimer ejemplo.Cuando ha pasado 1 s (F1) see ha realizaddo 1/16 de la danza y forma una ondasiméttrica a cuanddo han pasaddo 15 s (F2).A los 2 s (E1) se ha reealizado 1/8 de la danzaa y forma unaa onda siméttrica a cuanddo hanpasaddo 14 s (E2).A los 4 s (B1) se ha reealizado 1/4 de la danzaa y forma unaa onda siméttrica a cuanddo hanpasaddo 12 s (B2), casos estuddiados en loss ejemplos anteriores.aDra. CCarmen Palaacios Estremera16cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaA continuuación se muuestran las siimetrías estuudiadas:En las fotos se obbserva: Para las simetrías en B1) t T/4 y B2) tt 1-T/4, commo en los ejemplos anteeriores, la lonngitudde onnda es 4d, hay 5 pénddulos entre cresta y cresta, y se forrman 4 ondaas independientescon loos péndulos que estén en la misma ffase, que en este caso soon del mismoo color. Para las simetrías en E1) t T/8 y E2) tt 1-T/8 88d, se necesitan 9 pénduulos entre creesta ycrestaa, y se formaan 8 ondas inndependientees (imposiblees de observvar en este eejemplo). Para las simetríaas en F1) t T/16ty FF2) t 1-T/16 16d, se necesitan 117 péndulos entrecrestaa y cresta, y se forman 16 ondas (im posibles de observaroen este ejemploo).Este terccer aparato se construyyesobree un tableroo recortado para que laastuercas (pénduloos) lleguen a la mismmaontal. Se muuestra una footo de la partrtehorizode deelante y otra con un detaalle de la partrtede atrás.Dra. CCarmen Palaacios Estremera17cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaEl víddeo 6 muesttra un ciclo ded la danza ccon explicacciones y paraadas a 1, 2, 44, 8, 12, 14 y 16 spara ver las simetrías que se forman, coinncidiendo con las fotos dee la página aanterior.El víídeo 7 muestra tres cicclos para obbservar la reepetición connsecutiva dee la danza. Si nohubieera amortiguaación, la dannza se repeti ría indefinidaamente.III.6 GGeneralizaciones para cualquiercmmodeloA través deld desarrolloo realizado, se compruebba que para cualquier tieempo t1 T/z: Cada péndulo hace (N n)/z osccilaciones, por lo que se desplaza 1/z de oscilaciónrespecto de la posicióón del pénduulo anterior. La longituud de onda de las ondaas lineales que se forman es zd, ccon z 1 pénndulosentre cressta y cresta. Se formaan z ondas independienntes con loss péndulos queqestán een fase, es decir,separadoos por zd. Se produuce simetría en la forma de las ondaas para el tiempo t2 T-tt1, donde la ondaavanza ene sentido invverso al de t11 T/z.IV. CONCLUSIONNLo descrito en este arrtículo muesttra por qué apareceatanta belleza enn este experimmentoy perrmite acercaar el estudioo de las osccilaciones y las ondas a un amplioo público coon unconoccimiento eleemental de física. Se haa puesto de manifiesto queq el modeelo es generral, seformaan diferentess ondas siméétricas para l os tiempos, t1 T/z y t2 TT-t1. Siendoo T el periodoo de ladanzaa y z un númmero arbitrario.REFEERENCIAS[1] J. A. Flaten and K. A. Parendo, “Pend ulum waves: A lesson in aliasing”.AAmerican Jouurnal of Physsics, 69(7), 20001 pp. 778––782.hhttp://www.phhysics.iitm.acc.in/ arul/PHH1010/AJP0000778PendulumWaves2.pdf[2] Física con orddenador Cursso Interactivoo de Ángel [3] AArbor Scientiffic. Pendulumm wave seemms like magicc but its physsicshhttp://www.arrborsci.com/ccool/pendulu m-wave-seeems-like-maggic-but-its-phhysics[4] WWolfram Demmonstrations Proyect. Penndulum umWavves/Dra. CCarmen Palaacios Estremera18cpalaccios@unav.ees
Facuultad de CieenciasDpto. Física y Mattemática AplicadaANEXXO. Vídeos utilizados ene el artículoo:(Hacer clic sobre los recuadrosrpaara ver los víídeos)Vídeoo 1 F04 1 DanzaDde péndulos. Introoducción. (pgg. 2 del texto)Vídeoo 2 F04 2 EfectoEestrobboscópico. (ppg. 2 del textto)Ejemplo 1º:Vídeoo 3 F04 3 Ej.E 1º Un ciclo N 30 T 660. (pg. 14 deel texto)Muestra unu ciclo de la danza conn el aparato completo. SeS puede paarar y observvar lassimettrías descritaas en el textoo.Videoo 4 F04 4 Ej.E 1º Dos ciclos N 30 TT 60.(pg. 141 del texto)Muestra dosd ciclos dee la danza, vviendo sólo lasl esferas. Se dan alguunas explicaccionespara observar lass ondas quee se forman: al comienzo, 1/3, ½, 2//3 y final deel primer ciclo, y a1 ¼ y 1 ¾ y finaal del segunddo ciclo. Estoo permite obsservar con faacilidad las ssimetrías desscritasen el texto.Ejemplo 2º:Vídeoo 5 F04 5 Ej.E 2º Un ciclo N 51 T 60. (pg. 15 deld texto)Muestra unu ciclo de laa danza con tres vistas: de frente, deesde arriba y desde el coostadodonde está el pénndulo más laargo.Ejemplo 3º:Vídeoo 6 F04 6 Ej.E 3º Un ciclo N 16 T 166. (pg. 18 deel texto)Muestra unu ciclo de la danza conn explicacionnes y paradaas a 1, 2, 4 , 8, 12, 14 y 16 spara ver las simetrías descritaas en el textoo. 16. (pg. 18 del texto)Vídeoo 7 F04 7 Ej.E 3º Tres ciclos N 16 T Muestra trestciclos para observarr la repeticióón consecutivva de la dannza. Si no huubieraamorrtiguación, la danza se reepetiría indeffinidamente.Dra. CCarmen Palaacios Estremera19cpalaccios@unav.ees
, final del cic jemplos pa s oscilacion hace un ntrará en ace un nº en lación, siem. ace un nº e siempre se ace un nº e cilación, siem. 3 de un péndul es un movim recorrido de ión extrema Y 1), pasand l péndulo e puede tom stinguir las Se muestran clo: Ainicio, Y ciclo, está e o, está en B l ciclo, está lo: Afinal, Y 1 ra ver las .
