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1.2 Rappresentazione e deduzione.DUE SONO I MOMENTI FONDAMENTALI DELLA CONOSCENZA SCIENTIFICA: LACONSTATAZIONE E LA PREVISIONE. IN CORRISPONDENZA A CIO', NELPROCESSO DI MATEMATIZZAZIONE DELLA REALTA', ABBIAMO AD ESEMPIO LARAPPRESENTAZIONE CON NUMERI E LA DEDUZIONE TRAMITE IL CALCOLO.LA RAPPRESENTAZIONE DELLA REALTA' MEDIANTE QUESTI STRUMENTILINGUISTICI CHE SONO I NUMERI CORRISPONDE AL NOSTRO COMPORTAMENTOQUOTIDIANO NEI CONFRONTI DI UNA REALTA' CONCRETA MATERIALE CHEVOGLIAMO CONOSCERE.La rappresentazione e' solo uno dei momenti della conoscenzadella realta' mediante i numeri. La cosa veramente importante e'la deduzione, cioe' la capacita' di lavorare sul simbolo, inveceche sulla realta'.LETTURAQual e' il nostro primo comportamento nei confronti di una realta'concreta materiale che ci si presenta, che noi vogliamo conoscere,manipolare, e soprattutto della quale vogliamo prevedere ilcomportamento sotto le nostre manipolazioni? La constatazione e'infatti solo un momento della conoscenza scientifica, il piu'importante e' la previsione: che cosa succedera' quando accendo unfiammifero? I libri di storia della filosofia fanno tanto parlaresul metodo sperimentale, dicendo che la rivoluzione delmetodosperimentale, e che gli Aristotelici speculavano soltanto; e'anche vero, ma e' solo una parte della verita', e non e' la piu'importante; la parte veramente importante e' l'introduzione ' ,e'l' introduz ione della misura, che permette di rappresentare larealta'con una precisione molto superiore a quella delladescrizione qualitativa usata prima, e soprattutto di dedurre leconseguenze; questo aspetto non si trova sui libri di storia dellafilosofia, perche' i filosofi non capiscono il significato dellamatematica da questo punto di vista; basta leggere la Logica di B.Croce per constatare che egli non aveva capito per esempio tuttoil significato e la portata della rivoluzione logica di Peano edei suoi seguaci; del resto anche i matematici contemporanei diPeano non avevano capito. Resta il fatto che non molti sonp ingrado di apprezzare il significato di questa introduzione di unnuovo linguaggio della scienza, accanto beninteso al metodosperimentale. Ma il metodo sperimentale era gia' proclamato daAristotele, che diceva che bisogna partire dall'osservazione;invece l'introduzione della matematica metodica e' la granderivoluzione scientifica dell'eta' moderna.Quello dell'introduzione alla misura e' un discorso su cui ritornoquasi ogni volta perche' mi pare che sia abbastanza importante perquanto riguarda la costruzione di una teoria scientifica che siavvalga della matematica. I numeri stampati sull'elenco telefonicopossono chiamarsi numeri? Potrebbero essere gettoni, colori; si6

possono chiamare cifre forse, ma posso sommare due numeri deltelefono? per ottenere che cosa? L'uso abituale del linguaggiomatematico e del simbolismo che si crede matematico deve essere inqualche modo meditato, queste meditazioni le faremo, in modo davedere su quali fondamenti si basa la nostra rappresentazionedella realta' mediante questi strumenti linguistici che sono inumeri.Il momento della rappresentazione e' soltanto uno dei momenti diconoscenza della realta' mediante questi strumenti simbolici. Lacosa veramente importante e' poter dedurre, cioe' poter lavoraresullo strumento, cioe' sul simbolo, invece che sulla realta'.Anche la data e' un numero? Puo' essere un numero, che misura ladurata in anni dall'inizio dell'era cristiana ad oggi: pero' chesignificato ha? Posso sommare due date? Che cosa ottengo? Non e'come sommare due lunghezze, per esempio; pero' anche qui bisognadistinguere: se sono due lunghezze di segmenti allineati ottengola lunghezza di un segmento, se sono lunghezze di due segmenti chenon sono allineati ma perpendicolari come questi, e' un altrodiscorso.7

l1.3 Dalle grandezze alla proporzionalita'. Programma del Corso.PER ARRIVARE AL CONCETTO DI PROPORZIONALITA' PARTIREMO DALLAMANIPOLAZIONE SULLE GRANDEZZE E COSTRUIREMO IL CONCETTO DIMISURA.LA NOSTRA RIFLESSIONE SULLA REALTA' RELATIVA ALLA MISURA VERRA'INTRODOTTA ATTRAVERSO UN PROCESSO DI ASSIOMATIZZAZIONE, PERVEDERE QUALI IPOTESI SONO REALMENTE ESSENZIALI, QUALI SONO IPILASTRI DEI CONCETTI CHE ANALIZZIAMO, E COSI' EVITARE ILPERICOLO DI DIMENTICARE COSE UTILI, O DI DARNE PER SCONTATE ALTRECHE NON LO SONO, SFRONDANDO IL NOSTRO INSEGNAMENTO DA TUTTO CIO'CHE E' INUTILE CONTORNO.LA CONOSCENZA DI UNA CERTA STRUTTURA ASSIOMATICA PUO' AIUTARE APRESENTARE I CONCETTI E SOPRATTUTTO A FARE UNA VALUTAZIONE PIU'APPROPRIATA DELLA EVENTUALE GRAVITA' DEGLI ERRORI NEI COMPITIDEGLI omentomipareassolutamentecentralenella matematicaelementareenon.Sostanzialmente tutto il programmma della matematica elementareapplicata, come chiave di lettura di una realta' che noimanipoliamo con simboli e con concetti matematici, e' contenuto inquesti discorsi.Parleremo della proporzionalita' tra grandezze in particolare;quindi prima preciseremo il concetto di grandezza , poi parleremodel concetto di misura, cioe' della rappresentazione della realta'mediante quegli strumenti linguistici che sono i numeri; poi cisarebbe il discorso della legge di proporzionalita', cioe' diquesta relazione tra grandezze che cogliamo quasi istintivamente,che e' la prima relazione che mettiamo in opera quando si trattadi rappresentare un legame tra due grandezze fisiche che varianouna in funzione dell'altra.Parleremo dunque della proporzionalita' dal punto di vista teoricoe dal punto di vista pratico. Euclide nei suoi Elementi ne parlain due libri: in uno delle proporzioni tra numeri e nell'altrodelle proporzioni tra grandezze, tra quantita', tra cose; Euclideusa il neutro plurale, che come e' noto in greco e in latinoindica le cose. L'importante e' che Euclide parla non solo delconcetto ma anche delle regole per lavorarci rareefficacemente, praticamente il concetto. Non solo ma poi nel libroin cui tratta della proporzionalita' tra grandezze,il V,costruisce il concetto di numero razionale, discorso che ritornaper tutta la storia della matematica, da Talete in poi, e quindie' uno dei punti base della matematica applicata.Cercheremo di analizzare questi concetti andando al fondo dellecose, di fare cioe' una operazione come si suoI dire diassiomatizzazione non per pignoleria, ma perche' ci interessano ipilastri, in modo da evitare nell'insegnamento di dire coseinutili e di dimenticare cose utili, di dare per scontate cose chenon lo sono, oppure di introdurre ipotesi non necessarie.8

Significato del termine GRANDEZZA nel linguaggio comune e nellinguaggio scientifico.POICHE' SPESSO SI PRESENTA LA NECESSITA' DI PRECISARE, AI FINIDELL'USO MATEMATICO, IL SIGNIFICATO DI TERMINI CHE SI RIFERISCONOAI CONCETTI ASSOLUTAMENTE ELEMENTARI, CHE VENGONO SCELTI COME ICONCETTI PRIMITIVI SU CUI COSTRlRE UNA TEORIA, NEL SEGUITO VIENESPIEGATO CHE COSA SI INTENDE PER DEFINIZIONE D'USO O IMPLICITA.INOLTRE SI PRESENTA L'INTRODUZIONE ASSIOMATICA DELLE GRANDEZZEOMOGENEE.proprieta' del concetto di grandezza ci forniranno da un latola definizione implicita del concetto e dall'altro i fondamentiper costruirci la codificazione mediante numeri della realta'.Lepiu' che una presentazione assiomatica proponiamo una enzacomuneattraverso le proprieta' delle grandezze.Dalla costruzione concreta del concetto di grandezze continuediscendera' poi l'impostazione del concetto di frazione e dinumero razionale, la giustificazione dell'operazione di misura edell'uso che ne facciamo per rappresentare la realta ' e dedurreconclusioni.LETTURA IInsisto che, trattandosi di un termine del linguaggio comune, iltermine grandezza ha una enorme quantita ' di significati, quindise pretendiamo di analizzarli tutti non finiamo piu ' D'altraparte abbiamo detto che i termini del linguaggio comune hannomolti significati, ma uno dei grossi guai ·per il loro usoscientifico e ' dato dal fatto che il significato e ' molto spessoprecisato dal contesto, mentre per l'uso scientifico abbiamobisogno di termini che almeno in unamedesima teoria abbianosempre lo stesso significato, siano simbolizzabili in un modounivoco che puo' essere riconosciuto una tantum, senza bisogno dileggere l'intera pagina, ed e' questa la cosa veramente importantedell' impiego della matematica, la partenza necessaria per poterutilizzare il linguaggio matematico. Allora noi prenderemo inconsiderazione soltanto un significato ristretto di questotermine,che e'usato nellinguaggio comune,con questosignificato, che scegliamo e precisiamo. Questa e ' la procedurache si segue abitualmente quando si prende un termine dellinguaggio comune e lo si usa per la simbolizzazione matematica,ad esempio probabilita', informazione.Fatto questo discorso occorrerebbe parlare della definizione (v.Parte 1/1,5). Qui occorre sgombrare il campo dalle abitudininominalistiche che sono purtroppo in tanta trattazione: "lagrandezza e' . ". Non e ' detto che la precisazione di unconcetto debba necessariamente passare attraverso frasi di questotipo. Un esempio classico: Peano ha precisato il concetto dinumero naturale attraverso certi assiomi da lui scelti, che sono9

per cosi' dire le regole del gioco, cioe' sono le frasi inizialidi ogni teoria che voglia parlare di numero, almeno in questocontesto. In altre parole la definizione di tipo nominalistico nonda' il concetto, al livello di questi concetti assolutamenteelementari. Quando si parla di concetti fondamentali come quelliche trattiamo in questa sede si sceglie la definizione implicita,o definizione per postulati, o definizione d'uso. Quest'ultimaespressione si riattacca al discorso su Peano; Peano dice: laparola numero io la uso cosi', cioe' definisce implicitamente ilconcetto di numero parlando di esso, enunciando certe proposizionifondamentali, che descrivono il concetto di numero non in formaesplicita. La definizione del pezzo degli scacchi non sta nel nomedel pezzo, esempio Re, ma nelle regole del gioco stesso; ladefinizione di ogni pezzo finisce quando e' scritta l'ultimaregola per l'insieme di tutti i pezzi.Naturalmente e' piu' facile far dire la lezione, insegnare dellefrasi e verificarne la ripetizione, che far sorgere pian pianinouna razionalita' coerente e precisa dal patrimonio esistente. Ildiscorso formativo pero'segue questa strada,cioe'l'usorigoroso, codificato, cosciente del termine in certe circostanze.Questoe'l'atteggiamento dellamatematica,lacosiddettaassiomatica, che non impone verita' dal di fuori, ma va a cercarei fondamenti, le regole precise che noi intendiamo seguire perutilizzare un concetto, senza pretendere di dare una definizioneper genus et differentiam come voleva la logica classica, cioe'attraverso una frase che puo' suonare bene ma poi non dice un granche. Caso tipico, la prima frase con cui comincia i l trattatodegli Elementi di Euclide: "il punto e' cio' che non ha parti",oppure: "insieme e' una collezione di enti presi come un tuttounico",frasichesembrano suonarecomedefinizioni,madefinizioni non sono, perche' quando le ho pronunciate ne so comeprima, e non possono essere utilizzate nelle dimostrazioni. Non cisono dimostrazioni di Euclide che concludono: " questo e' veroperche' il punto e' cio' che non ha parti". E' semplicemente unrichiamo , una illustrazione, un chiarimento di termini, comediceva Hilbert. Del resto il termine greco usato da Euclide e'semeion, segno; il risultato dell'atto che io faccio quandoidentifico una certa posizione. E' chiaro che se la identifico e'quella li', non puo' avere parti.C'e' un discorso che purtroppo si legge su molti libri, prendi unamacchiolina piccola piccola . , comunque sia piccola io possosempre immaginare di romper la se la guardo al microscopio. Ma senoi seguiamo la strada di Euclide, che dice: un segno, unaposizione, ma non un segno materiale, bensi' l'identificazione diuna posizione nello spazio, allora diventa unica di per se'.seguiremo questa strada, di precisare il concetto di grandezza aifini dell'uso matematico, che si tradurra' come termine ultimonella costruzione e nella utilizzazione del concetto di misura Attraverso certe operazioni fondate sulle proprieta' del concettoche vogliamo precisare, arriviamo non solo a rappresentare larealta', ma a dedurre conseguenze, a fare i conti, quindi insostanza a scrivere le leggi di questa realta': questo e' ilfondamento della conoscenza fisico-matematica. si comincia di quie si arriva ad Einstein: il cammino e' lungo, ma la strada e'giusta. I grandi risultati, le metodologie fondamentali non siportano direttamente a scuola, ma informano la nostra azionedidattica, se ne siamo convinti.10

Mediteremo sulle proprieta' del concetto di grandezza, perche'sono esse che ci daranno da una parte la definizione implicita,dall'altra i fondamenti per costruirci la codificazione mediantenumeri e quindi l'inizio della conoscenza matematica dellarealta'. Di conseguenza verranno la rimeditazione sui roporzionalita': la regola del tre e cose analoghe dovrannoscaturire in modo quasi spontaneo dalla impostazione che noidaremo, non saranno imposte dal di fuori. Voglio smontare tutte leregole dateab extrinseco,non vorrei chel'insegnamentodiventasse come un rivestimento di cose puramente convenzionaliche il ragazzino memorizza e poi giustamente dimentica Vorrei arrivare alla semplicita', a dare quelle nozioni che sonoindispensabili alla vita civile di oggi in modo motivato,semplice, collegato, fondato, perche' allora si riesce a rendereunitario questo che dovrebbe essere l'approccio scientifico allarealta'. Ho detto che si arriva ad Einstein: e' vero, questa e' lastrada che l'umanita' ha percorso per costruire la scienza nelsenso moderno del termine; questa presa di coscienza esplicita viavia delle cose e la codificazione mediante un linguaggio bendeterminato e potentissimo come e' quello della matematica e' unodei fatti fondamentali della nostra civilizzazione. Oltre adessere importantissimo e' pero' anche estremamente semplice se noiriusciamo a metterlo nella luce giusta, a non scaricare regole onozioni o convenzioni (escluse quelle strettamente necessarie)nella testa dei ragazzini, che invece devono essere educati acapire ad analizzare e ad appropriarsi delle cose.Se si riuscisse a conciliare le necessarie convenzioni chedobbiamo insegnare e lo sfruttamento radicale dell'appropriazionedelle idee da parte dei piccoli clienti si arriverebbe a costruireuna vera e propria razionalita' e non funambolie di tipoalgoritmico che non sono affatto necessarie. Del resto anche iprogrammi della scuola elementare raccomandano di evitare esercizitroppo ripetitivi complicati ecc.LETTURA IIRiprendo il discorso sulle grandezze.Come precisiamo il significato del termine grandezza?Scegliamo questo concetto come concetto primitivo e quindi non nediamo la definizione per genus et differentiam, evitando cosi' dicadere nel nominalismo e nella fallacia che i logici antichichiamavano circolarita': idem per idem.Decidiamo quindi adottare i l termine grandezza come concettoprimitivo: rinunciamo a darne una def. nel senso classico deltermine, tuttavia non rinunciamo a precisarlo, ma cerchiamo dicircoscriverne mediante opportuni assiomi, come si suol direoggi, cioe' mediante opportune frasi, il significato. Questo e'cio' che i logici da piu' di un secolo, dopo Peano,chiamanodefinizione d'uso.Laprecisazione del significato nascedall uso, cioe'come suoI dirsi dalla definizione implicita.E' C1.0' che accade tutte le volte che i concetti che trattiamosono cosi' elementari che non e' possibile decomporli in altripiu' elementari; del resto se anche fosse possibile resterebbeancora l'onere di spiegare il significato dei termini elementari,e all'infinito non si puo' andare. Questo e' un discorso che fa11

anche Aristotele.Allora scegliamo questa procedura p r il termine grandezza, presodal linguaggio comune e da no usato per la matematica,cioe' cerchiamo di enunciare delle proposizioni elementari in cuientra il concetto di grandezza. Questo e' cio' che ho cercato difare in quel libro pubblicato dall'IRRSAE ("Per un curricolocontinuo di educazione matematica nella scuola dell'obbligo",quaderni IRRSAE n.13); noi lo faremo ad un livello molto piu'concreto, perche' dobbiamo sopprattutto allenare i nostri piccoliclienti alla razionalita', cioe' alla precisazione del significatoe alla coerenza del comportamento, scegliendo di fare l'esperienza, che ci aiuteranno a circoscrivere il concetto digrandezza, e quindi a darne una definizione implicita in soldoni.Del resto non si puo' trasferire nella scuola elementare unaimpostazione assiomatica. Gli stessi assiomi di Peano qualchevolta non sono capiti dai clienti (anche piu' maturi). siomatizzazione cosi' rigorosa e astratta di un concetto chea noi sembra del tutto elementare, certe acrobazie logicherischiano di far diminuire la stima che i nostri clienti hanno delragionamento e della dimostrazione.lo scelgo quasi sempre di seguire una strada che e' piu' vicinaall'esperienza comune, perche' noi dobbiamo sapere quali sono ledifficolta' logiche e gli eventuali tranelli in cui possiamocadere presentando una certa cosa in un modo piuttosto che in unaltro.ESEMPIVediamo di partire allora con gli esempi concreti, secondol'impostazione data sopra e che ora riassumero'.Noi abbiamo una quantita' di cose che classifichiamo abitualmentesotto il concetto di grandezza (v. Parte I/I,4) perche' perrappresentar le utilizziamo il linguaggio della matematica e dellinguaggio matematico.Ad esempio lunghezze, aree, volumi per la geometria, energia,velocita', distanze, durate, per la fisica, somme di denaro,prezzi, per l'economia, ecc. Tutte cose che manipoliamo, o ancheche paghiamo: per esempio il prezzo al chilowattora nella bollettadella luce. Questa grandezza che noi chiamiamo consumata, sarebbemeglio dire trasformata, perche' non e' che si consumi, ma abbiamoutilizzato per trasformar la in un'altra fonte di energia, oabbiamo sprecato, e' codificata mediante numeri, e' codificatomediante numeri da parte dell'Enel anche il prezzo unitario, eun'operazione del tutto banale nel linguaggio matem

dipartimento di matematica iif. enriques . ii. progetto nazionale di ricerca (40" kurst) "ricerche di matematica ed informatica per la didattica" anno accademico 1991-92 . educare alla razionalita' l'insegnamento delle grandezze nella scuola dell'obbligo. a cura di adriana davoli albini e maria angela manara may