WIXLIB

Determinación de parámetros para los modelos elastoplásticos Mohr-Coulomb y Hardening Soil en suelos arcillososDonde el multiplicador plástico λ define eltipo de comportamiento del material (λ 0, paracomportamiento netamente elástico; y λ 0 en elcaso de comportamiento plástico). Las ecuacionesanteriores componen la relación fundamental delmodelo Mohr-Coulomb entre esfuerzos efectivos ydeformaciones para elastoplasticidad [6], [8]: g f Tασ ' De De d σ' σ' fT gDe donde d V' V'79Coulomb es el modelo básico más utilizado en lapráctica geotécnica, a pesar de su incapacidad parareproducir adecuadamente los cambios de rigidezdel suelo y modelar situaciones donde diferentestrayectorias de esfuerzos son experimentadas.Tabla 1. Parámetros del modelo Mohr-CoulombParámetro ε ; (8)DescripcióncCohesiónϕÁngulo de fricciónψÁngulo de dilatanciaΕMódulo de YoungυRelación de PoissonFuente: Elaboración propiaDe esta forma, la formulación del modelo exigecinco parámetros básicos de entrada: el módulo deYoung E, la relación de Poisson υ, la resistencia porcohesión del suelo c, el ángulo de fricción internaϕ, y el ángulo de dilatancia ψ, (tabla 1). Dado quelos ingenieros están por lo general familiarizadoscon los cinco parámetros anteriores y ocasionalmente disponen de información adicional acercade otros parámetros del suelo, el modelo Mohr-2. MODELO HARDENING SOILEl modelo Hardening Soil o de suelo con endurecimiento isotrópico es un modelo avanzadocapaz de simular el comportamiento de variostipos de suelo tanto cohesivos como granulares.Considerado como una aproximación de segundoorden, constituye una variante elastoplástica del–σ1–σ1–σ3–σ2a)–σ3–σ2b)Figura 2. a) Superficie de fluencia del modelo Mohr-Coulomb b) Superficie de fluencia del modeloHardening Soil - espacio de esfuerzos principales (suelo sin cohesión)Fuente: [5]Revista Ingenierías Universidad de Medellín, volumen 8, No. 15, pp. 75-91 ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/146 p. Medellín, Colombia

80Andrés Nieto Leal, Javier Fernando Camacho Tauta, Edwin Fernando Ruiz Blancomodelo hiperbólico [9],[8]. A diferencia del modelo elastoplástico perfecto, la superficie de fluenciadel modelo no es fija en el espacio de los esfuerzosprincipales, sino que puede expandirse debido adeformaciones plásticas y en función del esfuerzode pre-consolidación. En general la función defluencia del modelo tiene la forma:(9)f f – γρDonde f corresponde a una función depen-diente de los esfuerzos considerados y de losparámetros de rigidez del modelo, mientras queγ ρ es función de las deformaciones plásticas. Larepresentación del contorno total de fluencia esmostrada en la figura 2b.La capacidad del modelo para simular elcomportamiento del suelo en situaciones cargay descarga mediante la definición del módulo derigidez en descarga-recarga Eur, la incorporaciónde la representación del estado deformacional delsuelo en situaciones de compresión unidimensional (módulo edométrico Eoed), y la consideraciónde la dependencia de la rigidez del suelo en funciónde un estado de esfuerzos específico (parámetro m)constituyen los desarrollos más importantes delmodelo de endurecimiento.De esta forma, el modelo Hardening Soil incluye dos elementos primordiales referentes a loscambios de rigidez experimentados en el suelo:el endurecimiento por fricción que presenta lossuelos en estado plástico (friction hardening); y lacompactación irreversible ocasionada por la aplicación de una compresión primaria (cap hardening).En adición, el modelo de suelo con endurecimiento supera en alto grado los elementos propuestos por Kondner [10], y los desarrollados en elconocido modelo hiperbólico de Duncan y Chang[11]. En primer lugar, por hacer uso de la teoría dela plasticidad en lugar, de la teoría de la elasticidad. En segundo, por incluir en su formulación elfenómeno de dilatancia en el suelo; y por último,por la introducción de una superficie de fluenciaUniversidad de Medellínvariable en el espacio (yield cap). La formulaciónbásica del modelo parte de la relación hiperbólicatípica observada en las pruebas triaxiales entre ladeformación axial vertical εa, y el esfuerzo desviador q, como se muestra en la figura 3.Esfuerzo desviador σ1–σ3 asíntotalínea de fallaqaqfDeformación axial–εaFigura 3. Relación hiperbólica esfuerzodeformación para ensayos triaxialesFuente: [3]Estas curvas observadas en los ensayos experimentales pueden ser descritas mediante lasiguiente expresión:Ha 1q para q qf2 E 50 1 qaq(10)Donde qa es el valor asintótico de la resistencia al corte del suelo, y E50es el módulo de rigidezcorrespondiente al 50 % del esfuerzo desviadorde falla La expresión que establece el esfuerzodesviador de falla qf, es derivada del criterio defalla Mohr-Coulomb involucrando los valores deresistencia de c’ y ϕ’; mientras que qa resulta seruna fracción de qf dada por la relación de falla Rf,como se describe a continuación:qf (c 'cot ϕ ' σ '3 )qa qfRf2 sin ϕ '1 sin ϕ '(11)(12)De este modo cuando q qf el criterio de fallase satisface, y la plasticidad perfecta ocurre, tal y

Determinación de parámetros para los modelos elastoplásticos Mohr-Coulomb y Hardening Soil en suelos arcillososcomo es establecida en el modelo Mohr-Coulomb.El modelo Hardening Soil establece un total de 11parámetros los cuales se describen en la tabla 2.Tabla 2. Parámetros del modelo Hardening SoilParámetro DescripcióncCohesiónϕÁngulo de fricción internaψÁngulo de dilatanciaEref50Rigidez secante en ensayos triaxialesErefoedRigidez tangente para carga primariaedométricamErefurDependencia de la rigidez al estado deesfuerzosRigidez en descarga-recargaυurRelación de Poisson en descarga-recargap refEsfuerzo de referenciak0 ncRfCoeficiente de presión lateral de tierrasRelación de fallaFuente: Elaboración propia81en elementos es denominada discretización, y cadauno de estos subdominios, elemento finito. Apartir del cálculo de las variables involucradas enlas relaciones básicas que describen el fenómenoconsiderado, se obtiene una solución aproximadaal problema en estudio [12].4. METODOLOGÍA4.1 Investigación experimentalCon un programa de laboratorio se examinaron las principales características físicas y mecánicas del suelo en estudio y se obtuvo la informaciónexperimental básica para la determinación de losparámetros de entrada a los modelos considerados.De esta manera, y con el objetivo de llevar a caboun programa experimental bajo condiciones controladas y de estudiar un material de característicascohesivas, se definió la utilización de muestrasde suelo reconstituidas en laboratorio de caolíncomercial (mineral de arcilla - silicato de aluminiohidratado).3. ELEMENTOS FINITOS4.1.1 Reconstitución y preparación del espécimenEl método de elementos finitos (FEM, por sussiglas en ingles) hace parte de una técnica numérica muy general para la resolución de diversosproblemas geotécnicos y variados fenómenosfísicos de interés en ingeniería, y se ha convertidoactualmente en la herramienta más utilizada pararesolver problemas esfuerzo-deformación, casos deinteracción suelo-estructura, y en particular, situaciones cuyo nivel de complejidad es tal (geometría,escala, ecuaciones gobernantes) que su soluciónanalítica es prácticamente imposible de obtener.De manera general, el FEM establece la división de un cuerpo, estructura o dominio (mediocontinuo) en varios elementos que comparten características particulares, y sobre los que se definenciertas ecuaciones que describen su comportamiento físico (modelos constitutivos). Dicha particiónSe prepararon tres bloques de muestras de suelo elaboradas a partir de la mezcla de agua y caolínamarillo seco, considerando una humedad inicialde aproximadamente 63% para todos los especímenes (1.5 veces el límite líquido del material). Larelación entre la cantidad de caolín y la cantidadde agua (proporción en peso) para las mezclas fuede 1.6. El total de muestras elaboradas fue sometido a un proceso de consolidación (anisotrópica)bajo un ambiente controlado de total saturacióndurante aproximadamente 20 días, y se alcanzóuna presión de consolidación máxima al final dela reconstitución de 90,45 kPa.4.1.2 Caracterización físicaEl proceso de caracterización del materialincluyó diversos ensayos de laboratorio comoRevista Ingenierías Universidad de Medellín, volumen 8, No. 15, pp. 75-91 ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/146 p. Medellín, Colombia

82Andrés Nieto Leal, Javier Fernando Camacho Tauta, Edwin Fernando Ruiz Blancocontenido de humedad, límites de Atterberg y gravedad específica, así como otros procedimientosy relaciones que complementaron la descripciónfísica del suelo en análisis. A partir de la caracterización el suelo es clasificado como una arcillade baja plasticidad CL. Los resultados obtenidosde los ensayos de caracterización se muestran enla tabla 3.se trabajó con muestras de 50 mm de diámetro y100 mm de altura. Los esfuerzos de consolidaciónaplicados a todas las muestras fueron superioresal alcanzado en la reconstitución, garantizando uncomportamiento normalmente consolidado. Estosesfuerzos de consolidación fueron de 300, 350 y400 kPa, respectivamente.Tabla 3. Resultados ensayosde caracterización física4.2 Obtención de parámetros del modeloMohr-CoulombVariable de ensayoResultadoLímite líquido, LL42 %Límite plástico, LP25 %Índice de plasticidad, IP17 %Humedad natural*, w45 %Índice de liquidez, IL1,18Gravedad especifica de sólidos, Gs2,70Contenido de arcilla, Ca37,8 %Peso unitario húmedo*,γh17,5 kN/m3Peso unitario seco*, γd12,1 kN/m3Peso unitario saturado*, γsat17,9 kN/m3Peso unitario efectivo*, γ’7,9 kN/m3Relación de vacíos*, ePorosidad*, n1,160,537* Valores promedio para tres bloques de muestraFuente: Elaboración propia4.1.3 Pruebas triaxialesSe realizaron ensayos de compresión triaxialconsolidados no drenados (CU) a tres muestrasde arcilla. Esta cantidad de muestras fue escogidaporque en la ingeniería práctica esta es la cantidad de muestras necesarias para determinar losparámetros de resistencia al corte mediante unacompresión triaxial. El tamaño de las muestrasfue establecido de tal manera que se evitaran fallascerca del cabezal o pedestal, que suelen sucedercuando las muestra son pequeñas; por esta razónUniversidad de MedellínEn el apartado 2 se trataron las principalescaracterísticas, variables y formulación básica delmodelo elastoplástico perfecto Mohr-Coulomb. Acontinuación se describe en detalle la metodologíadesarrollada para la determinación de los parámetros del modelo.4.2.1 Parámetros de resistenciaA. Ángulo de fricción ϕEl ángulo de fricción es uno de los parámetrosmás comunes en la mecánica de suelos y es utilizado para numerosos procedimientos de diseño defundaciones y otras estructuras geotécnicas. Engeneral, el ángulo ϕ hace referencia a la medida dela resistencia cortante debida a la fricción mecánicadirecta entre las partículas de suelo [13].El valor del ángulo de fricción caracteriza notoriamente a cada tipo de suelo, y puede ser determinado a partir de procedimientos de laboratorioy de campo, a través de correlaciones y gráficos;y si no se cuenta con ninguna otra informaciónpuede obtenerse a partir de tablas. En este sentido,la prueba triaxial es uno de los ensayos más adecuados para evaluarlo mediante la representacióngráfica del criterio de falla Morh-Coulomb. La determinación del ángulo de fricción total y efectivopara el suelo en estudio se muestra en la figura 4a partir de los resultados de los ensayos triaxiales(CU) efectuados.

Determinación de parámetros para los modelos elastoplásticos Mohr-Coulomb y Hardening Soil en suelos Pa)(kPa)ϕ7 ij ºc 0 kPaF N3D300300350350400400505000250250Confinamiento (kPa)Confinamiento(kPa)350350450450550550ϕ’ 10 ij ºc’ 0 kPaF N3D300300100100τW (kPa)N3DN3DτW (kPa)10010083350350400400505000150150250250ı σ(kPa)N3D350350450450ı σ(kPa)N3DFigura 4. Determinación del ángulo de fricción y de la resistencia por cohesiónFuente: elaboración propiaB. Cohesión cLa resistencia por cohesión es definida comola medida de las fuerzas que cementan las partículas de suelo [13]. La cohesión del suelo puede serestablecida a partir de variados procedimientos;sin embargo, a partir de la información disponiblede los ensayos triaxiales ejecutados y del trazadode la envolvente de falla del suelo, esta puede serdeterminada como el intercepto de la línea de fallacon el plano vertical.Como se aprecia en la figura 4 el valor de lacohesión es cero, un valor típico para arcillas normalmente consolidadas [14]. No obstante, en loscálculos computacionales es aconsejable valoresligeramente mayores para un mejor desempeñoen el cálculo numérico.C. Ángulo de dilatancia ψEl ángulo de dilatancia puede tener una influencia significativa en la modelación del comportamiento del suelo, especialmente en arenas densasy arcillas altamente sobreconsolidadas. En el casode las arenas este parámetro puede ser determinadomediante la evaluación de las deformaciones unitarias volumétricas en un ensayo triaxial drenado,considerando de manera particular la variacióndel parámetro con el grado de sobreconsolidación(OCR) del suelo. Dado que de manera general ladilatancia corresponde a un fenómeno particularde suelos granulares, y por tratarse de especíme-nes de suelo con comportamiento normalmenteconsolidado es recomendable usar el valor de cerogrados para este parámetro [3].4.2.2 Parámetros elásticosA. Módulo de Young EPlaxis usa el módulo de Young como un módulo de rigidez, y dado el comportamiento no linealtípico de los suelos normalmente consolidados, noes conveniente usar el módulo de rigidez tangentea la parte inicial de la curva esfuerzo deformación(zona elástica) sino que se recomienda usar el módulo de rigidez correspondiente a la pendiente dela recta entre el origen y el punto correspondienteal 50% de la resistencia máxima como se presentaen la figura 5. Este módulo de Young es denotadocomo E50 y es el más indicado para representar dicharespuesta. El valor de este parámetro se determinógráficamente a partir de la información experimental obtenida de las pruebas triaxiales (gráfico q - εa).1qE50εaFigura 5. Definición del módulo de rigidez secante E50Fuente: [5]Revista Ingenierías Universidad de Medellín, volumen 8, No. 15, pp. 75-91 ISSN 1692-3324 - julio-diciembre de 2009/146 p. Medellín, Colombia

84Andrés Nieto Leal, Javier Fernando Camacho Tauta, Edwin Fernando Ruiz Blanco100100100100q (kPa)q (kPa)qq 320003200 İεaa50500058080qq 3780037800İaεa5050σı33 N3D300 kPa0120120qq 4500045000İaεa4040σı33 N3D350 kPa00σı33 N3D400 kPa00004488İεaa004481212Figura 6. Determinación del módulo de Young efectivo E’50Fuente: elaboración propiaDado que el modelo Mohr-Coulomb no considera en su formulación la dependencia de esteparámetro de rigidez con el estado de esfuerzosdel suelo, se consideró la medición gráfica de losvalores de este módulo para cada uno de los tresestados ensayados (esfuerzos de confinamientode 300, 350 y 400 kPa), y debido a que se estámodelando el comportamiento drenado del suelo,el módulo de Young o módulo de rigidez está entérminos efectivos (E’50 ), Figura 6.Para verificar la suficiencia de la determinación de este parámetro mediante el procedimientográfico y comprobar la validez de algunas correlaciones disponibles para suelos arcillosos, se evaluaron los valores del módulo de Young E’ utilizandola siguiente relación:8115000Su(13)E ' G; G Eu; Eu 33IPDonde E’ es el módulo de Young efectivo, elmódulo de corte, es el módulo de Young no drenado, es la resistencia la corte no drenada y elíndice de plasticidad. Los resultados del análisis semuestran en la tabla 4.De los resultados se aprecia una correspondencia muy favorable entre las dos metodologías. Noobstante, en el presente trabajo se consideraronpara todas las modelaciones numéricas los valores obtenidos de la medición gráfica, es decir, elmódulo de Young efectivo (E’50) para el 50% de laresistencia máxima.B. Relación de Poisson υSe trata de uno de los parámetros más difícilesde evaluar en el contexto de la mecánica de suelos,pero al mismo tiempo, de uno de los más relevantes en el análisis numérico por elementos finitosy particularmente en el modelo Mohr-Coulomb.Normalmente, la relación de Poisson efectiva puedeser evaluada a través de la realización de un ensayotriaxial drenado, midiendo las distintas variablesde deformación unitaria. Durante la etapa de fallaen los ensayos triaxiales CU no se presenta cambiovolumétrico en el suelo, por lo que la relación dePoisson evaluada en este tipo de ensayo corresponde al parámetro no drenado υu (generalmenteυX§ 'DGR TXH HO PRGHOR FRQVLGHUDGR HQ HVWH Tabla 4. Comparación módulos de Young calculados de forma indirecta y gráficamente.Esfuerzo de consolidaciónResultados correlación (Ec. 13)Resultados gráficos (fig. 6)p’(kPa)Eu (kPa)G (kPa)E’(kPa)E’50 64737.80040048.52916.17743.13745.000Fuente: Elaboración propiaUniversidad de Medellín

85Determinación de parámetros para los modelos elastoplásticos Mohr-Coulomb y Hardening Soil en suelos arcillososestudio requiere la introducción de este parámetroen términos efectivos, el uso del valor obtenidodel ensayo no drenado reproduciría de maneraequivocada el comportamiento del suelo.Adicionalmente, cuando se utiliza la opciónde comportamiento no drenado en el programaPLAXIS se ajusta de forma automática una rigidezaparente para el líquido intersticial basada en dicharelación de Poisson no drenada (por defecto 0,495).En este caso específico, el coeficiente de Poisson entérminos efectivos deberá ser menor de 0,35. Lautilización de valores superiores a este valor implicaría que el agua no fuera suficientemente rígidacon respecto al esqueleto del suelo para simularel comportamiento no drenado. A partir de loanterior, se aplicaron tres metodologías de cálculopara obtener el valor más adecuado ajustado al tipode suelo y al requerimiento de modelación. Losresultados se muestran en la tabla 5.Tabla 5. Determinación relación de PoissonFundamentoteóricoExpresiónCoeficientede presión detierras en reposo(Jaki, 1944)Relación elástica1H3 Ley generalizadade HookeResultado υ’E'0,482*Ko 1 sin M 'Koυ' 1 Ko1 sin ϕ '0,4552 sin ϕ 'E ' 2G (1 X ')Tabla 6. Parámetros obtenidos para el DescripciónE50Módulo de Young (kPa)32.000 (1)37.800 (2)45.000 (3)υ’Relación de Poisson (-)0,333c’Cohesión (kPa)0*ϕ’Ángulo de fricción ( )10ψÁngulo de dilatancia ( )0* Para las simulaciones se utilizó 1 kPaFuente: Elaboración propia4.3 Obtención de parámetrosdel modelo Hardening Soil4.3.1 Parámetros de resistenciaEl modelo de endurecimiento al igual que elmodelo Mohr-Coulomb considera como parámetros elásticos básicos el ángulo de fricción internaϕ’, la cohesión c’ y el ángulo de dilatancia ψ. Losprocedimientos para su obtención para el sueloen análisis se expusieron en el apartado anterior.4.3.2 Parámetros de rigidezA. Dependencia al estado de esfuerzos m0,333** Valores promedio para los ensayos realizadosFuente: Elaboración propiaComo se aprecia, el valor del parámetroobtenido mediante la última correlación (0,333)cumple con los dos criterios antes mencionados,por lo que se selecciona como única opción válidapara el análisis computacional. El conjunto deparámetros de entrada obtenidos para el modelose muestran en la tabla 6.La dependencia de los parámetros de rigidezrespecto a un estado general de esfuerzos es una característica básica del modelo Hardening Soil comose aprecia en la figura 7, en la que se relacionanlos valores del módulo de Young E50 obtenidos delos ensayos triaxiales efectuados con la presión deconsolidación p’ correspondiente. Dicha relaciónviene dada por la siguiente expresión [9]:s c 'cos ϕ ' σ ' sin ϕ ' E 50 Eref 50 c 'cos ϕ ' p ref sin ϕ ' mRevista Ingen

de los parámetros obtenidos se simuló el comportamiento esfuerzo-deformación en el programa de elementos finitos PLAXIS, evaluando a partir de un análisis comparativo, el desempeño de los modelos en relación con el comportamiento experimental del suelo. Del análisis realizado se aprecia que para el conjunto de