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Distribuciones Fundamentales deMuestreoUCR – ECCICI-0115 Probabilidad y EstadísticaProf. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Distribuciones Muestrales La distribución de probabilidad de un estadístico se llamadistribución muestral.Esta distribución depende del tamaño de la población, eltamaño de las muestras y el método de elección de lasmuestras.Existen distribuciones muestrales de X y S2, que son elmecanismo a partir del cual se hace inferencias de losparámetros μ y σ2.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo2

Distribuciones Muestrales (cont.) La distribución muestral de X con tamaño muestral n es ladistribución que resulta cuando un experimento se lleva a cabouna y otra vez y resultan los diversos valores de X. Esta distribución muestral describe la variabilidad de los promediosmuestrales alrededor de la media de la población μ.Se aplica el mismo principio en el caso de la distribución deS2. Esta distribución produce información acerca de la variabilidad de losvalores de s2 alrededor de σ2 en experimentos que se repiten.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo3

Distribuciones Muestrales de Medias Suponga que se tiene una muestra aleatoria de n observacionesque se toma de una población normal con media μ y varianzaσ2.Cada observación Xi, i 1, 2, , n, de la muestra aleatoriatendrá entonces la misma distribución normal que la poblaciónque se muestrea.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo4

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) Teorema. Si X1, X2, , Xn son variables aleatoriasindependientes que tienen distribuciones normales con mediasμ1, μ2, μn y varianzas σ12, σ22, σn2 respectivamente,entonces la variable aleatoriaY a1 X 1 a2 X 2 . an X ntiene una distribución normal con media Y a1 1 a2 2 . an ny varianza Y2 a12 12 a22 22 . an2 n2UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo5

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) Según el teorema donde se establece la propiedad reproductivade la distribución normal, se concluye queX 1 X 2 . X nX ntiene distribución normal con media y varianza X . n UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo2X 2 2 . 2n2 2n6

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) Aunque se tomen muestras de una población con distribucióndesconocida, finita o infinita, la distribución muestral de X aúnserá aproximadamente normal con media μ y varianza σ2/n,siempre que el tamaño de la muestra sea grande.Teorema del Límite Central. Si X es la media de unamuestra aleatoria de tamaño n tomada de una población conmedia μ y varianza σ2, entonces la forma límite de ladistribución deX Z nconforme n , es la distribución normal estándar n(z;0,1).UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo7

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) La aproximación normal para X por lo general será buena: Si n 30 sin importar la forma de la población.Si n 30, sólo si la población no es muy diferente a una distribuciónnormal.Si se sabe que la población es normal, la distribución muestral de lamedia seguirá una distribución normal exacta, no importa que tanpequeño sea el tamaño de las muestras.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo8

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) Inferencias sobre la media de la población: Una aplicación muy importante del teorema del límite central es ladeterminación de valores razonables de la media de la población μ.Se utiliza para la prueba de hipótesis, estimación, control de calidad,y otros.Distribución muestral de la diferencia entre dos promedios: Una aplicación importante de estas distribuciones incluye dospoblaciones, para compararlas.Esta comparación es la diferencia de las medias de las poblaciones.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo9

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) Teorema. Si se extraen al azar muestras independientes detamaño n1 y n2 de dos poblaciones, discretas o continuas, conmedias μ1 y μ2, y varianzas σ21 y σ22, respectivamente,entonces la distribución muestral de las diferencias de lasmedias, X1 – X2, está distribuida aproximadamente de formanormal con media y varianza dadas por 2 2 X 1 X 2 1 2 X2 1 X 2 1 2n1 n2De aquí se obtiene Z, es aproximadamente una variablenormal estándarX 1 X 2 1 2 Z 12 n1 22 n2 UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo 10

Distribuciones Muestrales de Medias (cont.) La aproximación normal para X1 – X2 por lo general serábuena: Si n1 30 y n2 30 sin importar la forma de las dos poblaciones.Si n1 30 y n2 30, sólo si las dos poblaciones no son muydiferentes a una distribución normal.Si se sabe que las dos poblaciones son normales, la distribuciónmuestral de la diferencia de las medias seguirá una distribuciónnormal exacta, no importa que tan pequeño sea el tamaño de lasmuestras.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo11

Distribución Muestral de S2 Si S2 es la varianza de la muestra aleatoria de tamaño n que setoma de una población normal que tiene la varianza σ2,entonces la estadística n 1 S 22 2n i 1 Xi X 2 2tiene distribución ji cuadrado con v n – 1 grados de libertad.La tabla A.5 da los valores de χ2α para diversos valores de α yv. Las áreas α son los encabezados de las columnas; los gradosde libertad v se dan en la columna izquierda; y las entradas delas tabla son lo valores χ2.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo12

Distribución Muestral de S2 (cont.)UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo13

Distribución Muestral de S2 (cont.) Exactamente 95% de una distribución ji cuadrado yace entreχ20.975 y χ20.025.Un valor χ2 que cae a la derecha de χ20.025 es improbable queocurra, a menos que el valor supuesto de σ2 sea demasiadopequeño.De manera similar, un valor χ2 que cae a la izquierda de χ20.975es improbable que ocurra, a menos que el valor supuesto de σ2sea demasiado grande.Es decir, es posible entre un valor χ2 a la izquierda de χ20.975 oa la derecha de χ20.025 cuando σ2 es correcta, pero si esto debeocurrir, es más probable que el valor supuesto de σ2 sea unerror.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo14

Distribución Muestral de S2 (cont.) Grados de libertad como medición de la información muestral: Cuando los datos (los valores en la muestra) se utilizan para calcularla media, hay 1 grado de libertad menos en la información que seutiliza para estimar la varianza.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo15

Distribución t En muchos escenarios experimentales el conocimiento de σciertamente no es más razonable que el conocimiento de lamedia de la población μ.A menudo una estimación de σ la debe proporcionar la mismainformación muestral que produce el promedio muestral x.Como resultado, una estadística natural a considerar paratratar con las inferencias sobre μ esX T S npuesto que S es el análogo de la muestra para σ.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo16

Distribución t (cont.) Si el tamaño de la muestra es pequeño, los valores de S2fluctúan de forma considerable de una muestra a otra, y ladistribución T se desvía de forma apreciable de la distribuciónnormal estándar.Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, n 30,la distribución T no difiere de manera considerable de lanormal estándar.Sin embargo, si n 30, es útil tratar con la distribución exactade T.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo17

Distribución t (cont.) Para desarrollar la distribución muestral de T se supondrá quela muestra aleatoria se seleccionó de una población normal:entonces, se puede escribirX nZT 22V n 1 S donde Z tiene distribución normal estándar y V tienedistribución ji cuadrado con v n – 1 grados de libertad. X n 1 S 2Z V 2 nEn poblaciones normales X y S2 son independientes, y enconsecuencia lo son Z y V. UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo 18

Distribución t (cont.) Teorema. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y Vuna variable aleatoria ji cuadrado con v grados de libertad. SiZ y V son independientes, entonces la distribución de lavariable aleatoria T, dondeZT V vestá dada por2 v 1 2 v 1 2 t 1 t h t v v 2 v Esta se conoce como la distribución t con v grados delibertad, v n – 1 si la muestra tiene tamaño n.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo19

Distribución t (cont.) Corolario. Sean X1, X2, , Xn variables aleatoriasindependientes que son normales con media μ y desviaciónestándar σ. Sea2nnXX XX i S2 in 1i 1 ni 1 X Entonces la variable aleatoria T tiene unaS ndistribución t con v n – 1 grados de libertad.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo20

Distribución t (cont.) A la distribución t se le suele llamar como distribución t deStudent.La distribución de T es similar a la distribución de Z, puesambas son simétricas alrededor de una media de cero y ambastienen forma de campana.La diferencia entre las dos distribuciones es que ladistribución t es más variable que la distribución normalestándar, ya que los valores de T dependen de lasfluctuaciones de X y S2, mientras que los valores de Zdependen sólo de X de una muestra a otra.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo21

Distribución t (cont.) La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de Tdepende del tamaño de la muestra y siempre es mayor que 1.Cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito, n porlo que v , las dos distribuciones serán la misma.Se acostumbra a representar con tα el valor t por arriba del cualse encuentra un área igual a α.Como la distribución t es simétrica alrededor de una media decero, se tiene t1-α -tα.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo22

Distribución t (cont.)UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo23

Distribución t (cont.) Exactamente 95% de una distribución t con v n – 1 gradosde libertad caen entre -t0.025 y t 0.025.Un valor t que cae por debajo de -t 0.025 o por arriba de t 0.025tiende hacer creer que ha ocurrido un evento muy raro o quizáque la suposición acerca de μ es un error.Si esto ocurre, se toma la última decisión y se afirma que elvalor supuesto de μ es erróneo.De hecho, un valor t que cae por debajo de -t 0.01 o por arribade t 0.01 proporcionaría incluso fuerte evidencia de que el valorsupuesto de μ es bastante improbable.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo24

Distribución t (cont.) La distribución t se usa de manera extensa en problemas quetienen que ver con inferencia acerca de la media de lapoblación o en problemas que implican muestrascomparativas.El uso de la d distribución t y la consideración del tamaño dela muestra no se relacionan con el teorema del límite central.El uso de la distribución normal estándar en lugar de T para n 30 sólo implica que S es un estimador suficientementebueno de σ en este caso.UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y EstadísticaDistribuciones Fundamentales de Muestreo25