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8. 1UNIDAD 8INECUACIONESObjetivo general.Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas einecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntossolución en la recta numérica y los expresarás en términos de intervalos.Objetivos específicos:1. Recordarás las definiciones de las relaciones “mayor que”, “menor que”, “mayoro igual que” y “menor o igual que”.2. Recordarás a qué se llama “inecuación” y conjunto solución de una inecuación.3. Recordarás las definiciones de “intervalo cerrado”, “intervalo abierto” e“intervalo semiabierto” o “semicerrado”.4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades.5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuacioneslineales y cuadráticas.6. Recordarás a qué se llama “valor absoluto” de una cantidad y aplicarás laspropiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyenvalores absolutos.Objetivo 1.Recordarás las definiciones de las relaciones “mayor que”, “menorque”, “mayor o igual que” y “menor o igual que”.Se dice que el número real x es mayor que el número real y, si la diferencia x – y es una cantidadpositiva. Esto se escribe como:x y
8. 2Por el contrario, el número real x es menor que el número real y, si la diferencia x – y es unacantidad negativa. Esto se escribe como:x yEn ambos casos, se han utilizado los símbolos de desigualdad " " y " " en los que siempre lacantidad que es mayor queda del lado en que se abre el símbolo. La dirección en que apunta el signose conoce como sentido de la desigualdad.Otros dos símbolos que se utilizan con frecuencia son " " y " " que significan,respectivamente, mayor o igual y menor o igual. Esto quiere decir en el primer caso que o ladiferencia x – y es una cantidad positiva o bien que x y , y en el segundo que o la diferencia x – yes una cantidad negativa o bien x y.Ejemplos:1.)Como la diferencia 5 – 3 2 es una cantidad positiva, podemos escribir:5 3En sentido contrario, como 3 – 5 – 2, también se puede escribir:3 5y las dos desigualdades son equivalentes.2.)Si a – 4, y b – 11, se tiene que:a bporque– 4 – (– 11) – 4 11 7es una cantidad positiva.También se podría escribir la desigualdad equivalente:b a3.)La desigualdad y 6 y 16 es cierta para todos los valores de la variable y, porquey 6 y 16 y 6 y 16 10es una cantidad negativa para cualquier valor de y.
8. 34.)La desigualdad x – 4 9 es cierta siempre que x 13, porque(x – 4) – 9 x – 13es una cantidad positiva siempre que x 13. En cambio, si x 13 el sentido de ladesigualdad cambiaría.5.)La desigualdad 2 x 3 5 es cierta siempre que x 1 , porque(2x 3) – 5 2x – 2es una cantidad negativa si x 1 y, además, 2x 3 5 si x 1.Objetivo 2.Recordarás a qué se llama “inecuación” y conjunto solución de unainecuación.Como se ilustró en los tres últimos ejemplos del Objetivo 1, en algunas desigualdades puedenaparecer variables. Una desigualdad en la que aparecen una o más variables recibe el nombre deinecuación.Al igual que en el caso de las ecuaciones, el grado de una inecuación es el mayor exponente al quese encuentra elevada la variable en alguno de los miembros de la inecuación y, también de la mismamanera que en las ecuaciones, las inecuaciones de primer grado se llaman lineales, mientras que lasde segundo grado se llaman cuadráticas.Cuando una inecuación tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables que aparecenen ella, se llama desigualdad absoluta o incondicional. Por el contrario, cuando tiene el mismosentido solamente para algunos valores de las variables, se llama desigualdad condicional.Se llama conjunto solución de una inecuación al conjunto de valores de las variables que hacen quela desigualdad conserve su mismo sentido.Ejemplos:1.)La inecuacióny 6 y 16 es una desigualdad absoluta, porque tiene el mismosentido para todos los valores de la variable y.
8. 42.)La inecuación x – 4 9 es una desigualdad condicional, porque solamente conserva elmismo sentido si x 13.3.)La inecuación 3 x 5 6 2 x es una desigualdad condicional, porque si x 11conserva el mismo sentido, pero si x 11 entonces se tendría que 3 x 5 6 2 x , y elsentido de la desigualdad cambia. Además, si x 11 entonces la desigualdad desapareceporque 3 x 5 6 2 x .Para esta inecuación, el conjunto solución es el de todos los valores de x tales que x 11 .4.)La inecuación1x 3 0 es una desigualdad condicional, porque conserva el mismo2sentido si x 6 , mientras que si x 6 se tendría que1x 3 0.2Conviene notar que si x 6, el sentido de la desigualdad es indiferente porque se trata deuna desigualdad del tipo mayor "o" igual que, de modo que para este valor de x tambiénse cumple la desigualdad en sentido contrario, es decir del tipo menor "o" igual.El conjunto solución de esta inecuación está formado por todos los valores de x quecumplan que x 6 .5.)Lainecuación 2 x x 3 2 0esunadesigualdadabsolutaporqueindependientemente del valor de x , el cuadrado del primer miembro nunca será negativo.Objetivo 3.Recordarás las definiciones de “intervalo cerrado”, “intervalo abierto”e “intervalo semiabierto” o “semicerrado”.Un intervalo es una porción de la recta numérica. Normalmente, los intervalos se definen paraestablecer el conjunto de valores que puede tomar una variable en una situación particular.
8. 5Si a b , el intervalo comprendido entre a y b es el conjunto de todos los números reales queexisten entre ambos valores.Si el intervalo incluye a los valores extremos, a y b, se llama intervalo cerrado y se representa como a, b . Si, por el contrario, no los incluye, entonces se llama intervalo abierto y se escribe a, b .Un intervalo semiabierto o semicerrado es aquél que incluye a uno de los extremos, pero no al otro.Así, el intervalo a, b incluye al extremo a, pero no al extremo b, mientras que el intervalo a, b no incluye a a, pero sí a b.Los intervalos se pueden representar gráficamente, como segmentos de la recta numérica. Seacostumbra identificar con un pequeño círculo a los extremos. Si el intervalo es cerrado en unextremo, el círculo se muestra lleno, si el extremo no está incluido, entonces el círculo se muestrahueco. En la Figura 3.1 se muestran diferentes tipos de intervalos.Fig. 3.1.a. Intervalo cerrado a, b Fig. 3.1.b. Intervalo abierto a, b Fig. 3.1.c. Intervalo semiabierto a, b
8. 6Fig. 3.1.d. Intervalo semiabierto a, b En notación de conjuntos los intervalos se expresan de la siguiente manera: a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b Ejemplos:1.)El intervalo 1, 4 es semiabierto (o semicerrado), incluye al 1, pero no al 4 y surepresentación gráfica es:Fig. E.3.12.)El intervalo 2, 2 es cerrado, incluye a ambos extremos y su representación gráfica es:Fig. E.3.2
8. 73.)El intervalo 0, 4 es abierto, no incluye a ninguno de los dos extremos y surepresentación gráfica es:Fig. E.3.34.) El intervalo 1,1 2,3 es un intervalo compuesto, que comprende dos intervalosabiertos diferentes. Su representación gráfica es:Fig. E.3.4Cuando uno de los extremos de un intervalo no está limitado, sino que se extiende a todos losvalores posibles de la recta numérica en esa dirección, entonces se dice que el intervalo es infinito, ode amplitud infinita y se escribe: a, , a, , , b , b dependiendo de si es cerrado o abierto en el extremo que sí está delimitado.En notación de conjuntos los intervalos anteriores se representan así: a, x x a , b x x b a, x x a , b x x b También se puede tener un intervalo como , , que no es otra cosa que toda la recta numéricao, lo que es lo mismo, el conjunto de todos los números reales: .
8. 8Cuando uno de los extremos de un intervalo es ó , su representación gráfica es una flecha enla dirección indicada, como se muestra en la figura 3.2 para los casos de intervalos abiertos.Fig. 3.2.a. Intervalo abierto a, Fig. 3.2.b. Intervalo abierto ,b El intervalo abierto , se representa de la siguiente forma:Fig. 3.3. Intervalo abierto , Objetivo 4.Recordarás las propiedades generales de las desigualdades.Las propiedades básicas de las desigualdades, que se desprenden de las propiedades de los númerosreales, son las siguientes:1.-Si a b ,entoncesa c b cya c b c
8. 92.-Si a b , y c 0 ,entoncesac bcya b c c3.-Si a b , y c 0 ,entoncesac bcya b c cLa primera propiedad dice que se puede sumar o restar el mismo número a ambos miembros de unadesigualdad y la desigualdad se mantiene. La segunda indica que si en una desigualdad semultiplican o dividen ambos miembros por una cantidad positiva, la desigualdad se mantiene. Latercera señala que si en una desigualdad se multiplican o dividen ambos miembros por una cantidadnegativa, entonces la desigualdad se invierte.Las mismas propiedades son ciertas si en cada una se sustituyen los símbolos de mayor o menor porlos de mayor o igual o menor o igual, respectivamente.Ejemplos:1.) Como 4 2 , al sumar 3 en ambos miembros es posible escribir que4 3 2 3de modo que:7 5y, también, 7 2 5 2 en donde el signo de la desigualdad se ha invertido puesto que se multiplicó pornúmero negativo 2 , para obtener: 14 102.) Si 2 x 1 6 , entonces al restar 1 en ambos miembros queda2x 1 1 6 1y se obtiene:2x 53.) Si y 5 2 y 3 , si se resta 3 en ambos miembros se tiene queel
8. 10y 5 3 2y 3 3y 8 2yy luego, al restar ahora y:y 8 y 2y ypor lo que: 8 y4.) Si 5 x 7 27 , entonces sumando 7 en ambos miembros5 x 7 7 27 7que da como resultado:5 x 20si ahora se divide entre 5, que es un número positivo, se tiene5 x 20 55el signo de la desigualdad no se altera y se obtiene que:x 45.) Si11 2zz 2 , se puede multiplicar por 12 y escribir42 31 1 2z 12 z 12 2 2 4 3 es decir3 z 6 8 z 24ahora, si se suma en ambos miembros 6 y se resta, también en ambos miembros,8z , se escribe3 z 6 6 8 z 8 z 24 6 8 zque deja: 5 z 30y, también 5 z 30 5 5en donde el signo de la desigualdad cambia al dividir entre 5 , para obtener:z 6
8. 11Objetivo 5.Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolverinecuaciones lineales y cuadráticas.Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la variable que la satisfacen.a.- Inecuaciones lineales.Para resolver una inecuación lineal se debe aislar la variable en uno de los dos lados del símbolo dedesigualdad. Para ello se utilizan las propiedades que se presentaron en el objetivo anterior, es decirsumar o restar una misma cantidad en ambos miembros de la desigualdad, y multiplicar o dividirambos miembros por una misma cantidad, distinta de cero, tomando en cuenta si el signo de ladesigualdad se mantiene o se cambia dependiendo de si esa cantidad es positiva o negativa.En la práctica, la propiedad de que al sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros ladesigualdad no se altera significa que cualquier cantidad que esté en un miembro de una inecuaciónse puede transponer al otro miembro cambiándole el signo, ya que si:a c bhacera c c b ces lo mismo que escribira b cEjemplos:1.) Para resolver la inecuación2 3x 2 x 12se transponen los términos 2x y 2, cada uno al otro miembro, y se obtiene 3x 2 x 12 2o sea 5 x 10
8. 12Ahora, si se dividen ambos miembros entre 5 , tomando en cuenta que la desigualdadcambia queda 5 x 10 5 5y, entoncesx 2que es la solución.En términos de intervalos, la solución es 2, y, gráficamente, se representa comoFig. E.5a.12.) Para resolver la inecuación6x 3 x 9se transponen los términos x y 3 al otro miembro y se obtiene6 x x 9 3reduciendo queda5 x 12y dividiendo entre 5x o bien , 125125 , que es la solución.Su representación es:Fig. E.5a.2
8. 133.) Para resolver la inecuación6 x 5x 7 35conviene, en primer lugar, eliminar los denominadores lo cual se consigue al multiplicarambos miembros por 15:15 6 x 3 15 5 x 7 55 6 x 3 5x 7 30 5 x 15 x 21y luego continuar, como en los ejemplos anteriores, dejando a la variable en un solomiembro:30 21 15 x 5 x51 10 x51 x10 la solución es el intervalo 5110 , .4.) Para resolver la inecuación3 22x 2debe tenerse un cuidado especial al intentar aislar la variable. En resumen, lo que senecesita es multiplicar ambos miembros por la expresión 2 x 2 , para eliminar eldenominador. El problema es que como aún no se conoce el valor de x no puede saberse siesta multiplicación mantendrá o cambiará el signo de la desigualdad.
8. 14Por lo tanto, es necesario considerar las dos posibilidades: que 2 x 2 sea positivo y que2 x 2 sea negativo.Así, si 2 x 2 0 , es decir si x 1 , se tendrá:3 2 x 2 2x 2 2 2 x 2 que deja3 4x 4lo cual se cumple si7 4x7 x4de modo que al juntar las condición que se planteó, x 1 , con este resultado, se ve queambas se cumplen si 1 x 7 , como se ilustra en la siguiente figura.4Fig. E.5a.4.aPor otra parte, si 2 x 2 0 , o sea si x 1 , entonces, al hacer el producto, el signo de ladesigualdad cambia y queda:3 2 x 2 2x 2 2 2x 2 o bien3 4x 47 4x7 x4y, al tomar este resultado junto con la condición de que x 1 , no existen valores de x quecumplan ambas desigualdades al mismo tiempo,
8. 15Fig. E.5a.4.bpor lo que esta opción no proporciona solución alguna.Finalmente, la solución de la desigualdad es:1 x 7 4Una manera más sencilla de resolver esta inecuación es observar que para que3 22x 2sea cierta, como el 2 que aparece en el segundo miembro es una cantidad positiva, esindispensable que la cantidad que se obtenga del cociente en el primer miembro también losea. Esto requiere que 2 x 2 0 y se puede desechar, a priori, la alternativa que seconsideró en la segunda parte del procedimiento anterior.5.) La inecuación3 1 2x 3 x 4es parecida a la que se presenta en el ejemplo anterior, pero en ésta hay que considerar máscasos, puesto que son dos los denominadores que se deben eliminar.Si se empieza considerando que 2 x 3 0 , es decir x 3 , se puede escribir23 1 2 x 3 x 4ya que el sentido de la desigualdad se conserva al multiplicar ambos miembros por el factor 2 x 3 .Ahora, para eliminar el otro denominador hay que tomar en cuenta las dos posibilidades.
8. 16Si x 4 0 , o lo que es lo mismo, x 4 , se tendrá:3 x 4 1 2 x 3 y, procediendo como en cualquier otra desigualdad lineal:3 x 12 2 x 35 x 9 9x 5Analizando lo que se ha hecho, se tiene que x 3 , x 4 y x 9 .25Al representar en una misma gráfica estos tres intervalos se observa lo siguiente:Fig. E.5a.5.apor lo que se concluye que en esta opción no hay solución puesto que no existen valoresde x que cumplan simultáneamente las tres condiciones.La otra posibilidad, todavía considerando 2 x 3 0 , es decir x 32, sería quex 4 0 , o sea x 4 . Esta opción no puede tomarse en cuenta, ya que es imposiblesatisfacer al mismo tiempo las dos condiciones.Ahora habrá que considerar la otra alternativa para el primer denominador que se eliminó.Entonces, si 2 x 3 0 , lo que quiere decir que x 3 , al multiplicar ambos miembros2de la inecuación original por el factor 2 x 3 queda3 1 2 x 3 x 4y, nuevamente, hay que analizar las dos posibilidades del segundo denominador.Si x 4 0 , o bien x 4 , se obtiene:3 x 4 1 2 x 3
8. 17y, luego:3 x 12 2 x 35 x 9 9x 5Así, se tiene que x 3 , x 4 y x 9 . La representación gráfica es:25Fig. E.5a.5.bpor lo que se observa que los valores de x que satisfacen simultáneamente las tres condiciones son los del intervalo 9 , 352 .Finalmente, si x 4 0 , es decir x 4 , entonces:3 x 4 1 2 x 3 3 x 12 2 x 35 x 9 9x 5Ahora debería cumplirse simultáneamente que x 3 , x 4 y x 925lo cual sesatisface siempre que x 4 , como se puede observar en la siguiente gráfica.Fig. E.5a.5.cEn consecuencia, la solución completa de la inecuación es , 4 9 5 , 3 2
8. 18b.- Inecuaciones cuadráticas.Para resolver una inecuación cuadrática se deben transponer todos los términos diferentes de cero aun solo lado de la desigualdad. Hecho esto, se factoriza, si es posible, la expresión cuadrática y sedeterminan sus raíces. Es decir, una vez que se tiene una expresión del tipoax 2 bx c 0o, cualquier otra análoga, como0 ax 2 bx cse factoriza para dejar, por ejemplo, en el primer caso:a x r1 x r2 0Los valores de las raíces o ceros, r1 y r2 , no son soluciones de la inecuación pero representan losvalores críticos de la solución puesto que constituyen los valores de x que separan los casos en quelos respectivos factores son positivos o son negativos.Una vez determinados los valores críticos, se establecen los intervalos delimitados por ellos y seasignan a la variable valores comprendidos en dichos intervalos y que sean mayores o menores quesus ceros, con lo cual cada factor será positivo o será negativo y se podrá analizar el signo delproducto para decidir si la desigualdad se cumple o no para ese valor. Al final, se reúnen todos loscasos que satisfagan la desigualdad y esto constituye la solución.Ejemplos:1.) Para resolver la inecuaciónx 2 2 x 15 0se factoriza el primer miembro y se obtiene x 3 x 5 0
8. 19Los valores críticos son 3 y 5 y se deben revisar los casos en quex 3, 3 x 5 y x 5En el primer caso, para un valor menor que 3 , por ejemplo, 4 , se tiene que ambosfactores son negativos porque 4 3 1, 1 0 4 5 9, 9 0yde modo que, al hacer el producto, resulta positivo y la desigualdad se cumple.Ahora, tomando un valor de x comprendido entre 3 y 5, por ejemplo 0, los dos factorestienen signos diferentes puesto que3 0 5 0yo sea que, al efectuar el producto, el resultado es negativo y la desigualdad no se satisface.Finalmente, para un valor mayor que 5, por ejemplo 6, se observa que ambos factores sonpositivos ya que 6 5 0y 6 3 0de modo que el producto es positivo y la desigualdad también se cumple si x 5 .Reuniendo los resultados anteriores resulta que la solución de la inecuación es:x 3ox 5o, en notación de intervalos: , 3 5, La representación gráfica de la solución es:Fig. E.5b.12.) Para resolver la inecuación
8. 203x2 2 x 2 2 x 2 3x 4en primer lugar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros3 x 2 2 x 2 2 x 2 3x 4 0que deja:x2 x 6 0y, al factorizar, se obtiene: x 3 x 2 0Los valores críticos son 3 y 2, y se deben analizar los casos en que x 3 , 3 x 2y x 2Para x 3 , por ejemplo x 5 , los dos factores son negativos, o sea que el producto espositivo y la desigualdad no se cumple.Para 3 x 2 , por ejemplo 0, los dos factores son de signos diferentes, el producto esnegativo y la desigualdad se satisface.Para x 2 , por ejemplo x 8 , los dos factores son positivos, el producto también y ladesigualdad no se cumple.Entonces, la solución corresponde al caso en que 3 x 2 o, lo que es lo mismo, alintervalo 3, 2 , que se representa comoFig. E.5b.23.) Para resolver la inecuación5x 2 8x 5 x 2 4 x
8. 21Nuevamente, para empezar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros5x 2 8x 5 x 2 4 x 0que se simplifica como4 x 2 12 x 5 0al factorizar se obtiene 2 x 5 2 x 1 0y los valores críticos resultan ser 52y 1 .2Ahora, para el caso en que x 5 , por ejemplo x 10 , los dos factores son negativos2y el producto es positivo. Para 5 x 1 , se puede tomar un valor de x tal como22x 1 , en cuyo caso el primer factor es positivo y el segundo negativo, de modo que elproducto resulta negativo. Finalmente, para x 1 , si se toma un valor como el de2x 0 , se ve que ambos factores son positivos y el producto también.Por tanto, la desigualdad se verifica para 5 x y para x 1 , es decir para22 , 5 2 1 2 , 4.) Para resolver la inecuación4 x 6 3 x 2 7 x 12Se transponen todos los términos diferentes de cero al miembro derecho para obtener0 3 x 2 7 x 12 4 x 60 3 x 2 3x 180 3 x2 x 6 0 3 x 3 x 2 y los valores críticos son x 3 y x 2 , por lo que habrá que analizar los intervalosx 3, 3 x 2 y 2 x .
8. 22Para x 3 se toma un valor como puede ser 4 y se observa que ambos factores sonnegativos, por lo que al multiplicar también por el coeficiente 3, el producto es positivo y ladesigualdad no se cumple.Para 3 x 2 si se toma, por ejemplo, x 1 , los dos factores son de signo contrario y almultiplicar por 3 el producto es negativo, de modo que en este caso la desigualdad sí sesatisface.Por último, para x 2 como podría ser x 4 , los dos factores son positivos, el productode ambos por el coeficiente 3 también lo es y la desigualdad no se cumple.Así, resulta que la solución de la inecuación es el intervalo 3, 2 .5.) La inecuaciónx 2 8 x 16 02es cierta para todo valor de x porque x 2 8 x 16 x 4 y cualquier cantidad elevada2al cuadrado o es positiva o es cero, así es que para cualquier valor de x , x 4 0 .En ocasiones, no es posible factorizar la expresión cuadrática ax 2 bx c que se obtiene altransponer todos los términos diferentes de cero a un solo miembro de la inecuación, porque sudiscriminante b 2 4ac resulta negativo. Para estos casos se puede utilizar la siguiente regla, cuyademostración puede encontrarse en los textos citados en la bibliografía.Si la función cuadráticaax 2 bx c,con a 0tiene su discriminante b 2 4ac negativo, la función es positiva para todo valor de x si a 0 y esnegativa si a 0 .Ejemplos:1.) Para la inecuación
8. 23x2 2x 5 0el discriminante de la función cuadrática es 22 4 1 5 4 20 16 , que es negativo.Como a 1 es positivo, entonces la función es positiva para todo valor de x . La soluciónde la inecuación es , y resulta que se trata de una desigualdad absoluta.2.) En la inecuación2 x x2 2 0Para identificar mejor a la función cuadrática, se reordena y queda x2 2 x 2 0el discriminante es 22 4 1 2 4 , y como a 1 , la función es negativa para todax, de modo que no existe valor alguno de x que la satisfaga.Objetivo 6.Recordarás a qué se llama “valor absoluto” de una cantidad yaplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyenvalores absolutos.El valor absoluto de cualquier número a, se representa por a , y significa su valor aritméticoordinario sin considerar el signo. Así, 5 5 , 7 7 y 0 0 . Como es evidente, cualquiernúmero positivo y su simétrico negativo tienen el mismo valor absoluto.Una posible interpretación del valor absoluto de un número es su distancia, no dirigida, respecto delnúmero 0 en la recta numérica. El valor absoluto de 3 y de 3 es el mismo puesto que ambosnúmeros se encuentran a una distancia de tres unidades respecto al 0 en la recta numérica.De lo anterior se deduce que para una cantidad variable x, su valor absoluto se define de la siguientemanera: x,x x,si x 0si x 0
8. 24y que la desigualdad x k se satisface para el conjunto de valores de x que se encuentran amenos de k unidades de distancia del 0, es decir aquellos valores de x tales que k x k , comose muestra en la figura.Fig. 6.1La solución de una desigualdad del tipo x k consiste, entonces, en la solución de las dosinecuaciones: k x y x k .Ejemplos:1.) Los valores de x que satisfacen la inecuación x 6 son simplemente los valores 6 x 6 , o sea los comprendidos en el intervalo 6, 6 .2.) Para resolver la inecuación 3 x 12 se puede escribir 12 3 x 12y, al dividir toda la expresión anterior entre 3 se obtiene: 4 x 4que es la solución.3.) La solución de la inecuación 2 x 5 15 se obtiene escribiendo 15 2 x 5 15Ahora, al sumar 5 a todos los miembros de esta expresión queda: 10 2 x 20y, al dividir entre 2: 5 x 10de modo que la solución es el intervalo 5,10 .
8. 254.) En la inecuación x 11 , la solución estará dada por los valores de x que se encuentren amás de 11 unidades de distancia del 0 en la recta numérica. Por tanto, la solución en estecaso está dada por los valores de x que satisfagan que x 11 o bien que 11 x , es decirel conjunto , 11 11, .Fig. E6.1La misma solución se obtiene para la inecuación x 11 , puesto que la distancia no esdirigida.5.) La solución de la inecuación 2 x 1 7 se obtiene escribiendo2 x 1 7ó2x 1 7De la primera expresión:2 x 6x 3y, de la segunda:2x 8x 4de modo que la solución es ,3 4, 6.) Para la inecuación3x 4 9 se puede proceder como sigue:2Se escriben las dos inecuaciones3x 4 923x 4 923 x 4 183x 4 183 x 143 x 22x 14 3x 22 3se multiplica por 2se suma 4y se divide entre 3
8. 26 Entonces, la solución está dada por , 143 22 3 , .7.) La inecuación 2 x 3 4 5 es una desigualdad absoluta puesto que al restar 4 enambos miembros se obtiene 2 x 3 9 , y como el valor absoluto de una cantidadsiempre es mayor o igual que cero, esta desigualdad se satisface para cualquier valor de x.Por el contrario, la inecuación 3 x 1 , no tiene solución ya que ningún valor absolutopuede ser una cantidad negativa.
8. 4 2.)La inecuación x - 4 9 es una desigualdad condicional, porque solamente conserva el mismo sentido si x 13. 3.)La inecuación 3 x 5 6 2 es una desigualdad condicional, porque si x 1 conserva el mismo sentido, pero si x 1entonces se tendría que 3 x 5 6 2, y el sentido de la desigualdad cambia. Además, si x 11 entonces la desigualdad desaparece
