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Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.los Mayas. Los árabes, tras “descubrir” el cero en la India, pasaron a denominarlo céfer, quetambién significa “vacío”, y que dio origen a las palabras cero y cifra. De este particularelemento es necesario conocer sus propiedades.Propiedades del cero:A) elemento neutro en la adición e inversoaditivo o resta.b) elementos que afecta a la multiplicación ya la división. La división entre cero no esuna operación permitida. 0 0 3 0 35 0 5 0 000 ,5 0 00 05 0 ,5 0Dentro de los números naturales, las operaciones fundamentales son: la “adición” y la“multiplicación”. La adición es la operación que puede realizarse con varios númeroscualesquiera, pero es más importante considerar la adición entre pares de números (a b)(Spivak, 2012). A partir de la suma su operación inversa es el inverso aditivo o resta. Para lamultiplicación, muchas de sus propiedades se parecen a la de la suma, o producto de doselementos a y b, la cual se representa como , ,o simplemente . Una de lasprincipales propiedades es: la propiedad asociativa para la multiplicación. 3 5 2 3 5 2Números primosUn número natural es primo si es divisible únicamente por sí mismo y la unidad. Es decir, debetener exactamente dos divisores diferentes. Por esto se define como no primo al número 1.De alguna manera tú ya has escuchado de estos característicos números. Una manera de obtenerlos primeros números primos es la Criba de Eratóstenes, un algoritmo que permite ver losnúmeros que solo sean divisibles entre sí mismos y la unidad.3

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Instrucciones:1.2.3.4.5.6.7.Completa los números faltantes.Necesitarás 4 colores distintos para trabajar; pueden ser negro, azul, rojo y verde.Cancela con una línea (/) en negro los números que sean múltiplos de 2, excepto el 2.Cancela con una línea en azul los números que sean múltiplos de 3, excepto el 3.Cancela con una línea en rojo los números que sean múltiplos de 5, excepto el 5.Cancela con una línea en verde los números que sean múltiplos de 7, excepto el 7.¿Qué números quedaron 100FactorizarTeorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural, excepto la unidad, admite unaúnica descomposición en factores primos, salvo por el orden.Nota: Dentro de las propiedades de los números naturales son las propiedades de divisibilidad,por ejemplo:a)b)c)d)Todo número par es divisible entre 2,Todo número, cuya suma de sus dígitos es múltiplo de 3, es divisible entre 3.Todo número que termina en cero o 5 es divisible entre 5.El cero es par.4

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Factoricemos algunas cantidades.1) ¡Existen 1440 minutos al día! Factoricemos el número 1440.1440(siempre empezar por el menor hasta agotarlo)1440 2720 2360 2180 290 2(4 5 9 por lo que es múltiplo de 3)45 315 35 51 1Ejercicio 1Realiza las factorizaciones de los siguientes numeros:a) 136b) 120c) 6327d) 2100e) 2017Conceptos base de números naturalesDefinición: El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales es el mayornúmero que los divide a estos números.Definición: El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menornúmero que contiene un número exacto de veces a cada uno de estos números.Ejemploa) Calcular M.C.D. de 12 y 15b) Calcular m.c.m. de 12 y 155

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Divisores o factores de:12151,2,3,4,6 y 121,3,5 y15Son divisores comunes 1 y 3. Elegimos siempre el mayor1Sol.M.C.D. (12,15) 3Son múltiplos de:121512,24,36,48,60,72,84,96,108,120 15,30,45,60,75,90,105,120,135, .Son múltiples comunes: 60, 120, . Elegimos el menor.Sol. m.c.m. (12, 15) 60Ejercicios 2Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes ternas de números naturales.a) 60, 1575, 98 b) 72, 108, 30c) 16, 27, 25e) 150,60, 90f)36, 24, 54Ejemplo de ProblemaCierto fenómeno tiene lugar cada 450 segundos, otro cada 250, y un tercero cada 600. Si a las5 de la tarde han coincidido los tres. ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez ycuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre una y otra coincidencia?Sol. 7 y media de la tarde y coinciden:9000 450 20 ,9000 250 36 , 9000 250 15Números EnterosEl conjunto de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero,se denotan por la letra ℤ y son los siguientes:ℤ ' , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, )Representación en la recta numérica. Los números enteros se pueden representar en la rectanumérica, como se indica:1Sol. Solución o respuesta exacta.6

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas. -3-2-10123 A la ubicación en la recta numérica del cero se llama origen, a la derecha del origen se localizanlos enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos.Operaciones básicas, leyes de los signosLas operaciones que se pueden realizar con números enteros son: adición, sustracción,multiplicación, división, potenciación y radicación.Suma algebraica: mismo signo, se suman sus valores absolutos. Signos diferentes, se resta elvalor absoluto del mayor menos el valor absoluto del menor y el resultado tendrá el signo delde mayor en valor absoluto. Aplicable también a fracciones.Multiplicación: mismo signo, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultado serásiempre positivo. Signos diferentes, se multiplican o dividen sus valores absolutos y el resultadoserá siempre negativo.La potenciación, sigue las reglas de la multiplicación ya que debes recordar que la potencia seobtiene multiplicando a la base por si misma, el número de veces que el exponente lo exprese,así:Si la base es positiva la potencia será siempre positiva:3* 3 3 3 27Si la base es negativa y el exponente par, la potencia siempre será positiva. 3- 3 3 3 3 81Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia siempre será negativa. 3* 3 3 3 27La radicación de números enteros no siempre genera números enteros, sino númerosirracionales, si el radicando es positivo, también genera números imaginarios si el radicando esnegativo y el índice es par.Si el índice es impar, el número tendrá la raíz del mismo signo que el radicando. 243 3 (Se extrae la raíz quinta de 243 y será negativa)07

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Ejercicio 3. Resuelve las siguientes operaciones. Elige la respuesta correcta.1) 3'5 6 9 2* 1 9)1 5 151A) 568B) -368C) 12D) -4552 ' 5 3* 2* 64 2) 12A) 12B) -8C) -6D) -53 ' 20 3312 3 7 3 2 4 5 3 8 2 104 12)A) 14B) –14C) 124 6 5 3 5 2* 3 4 6A) 74B) – 1881C) –265 15 3 5 4 3 1 27 3A) 6D) – 208B) 28C) 6D) –68D) 6Números RacionalesLos números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dosnúmeros enteros, siendo el denominador diferente de cero. Se denota con la letra ℚ y se definecomo:;Ejemplo: 2, 4, , ; ℚ 5 , 7 ℤ, 0:,*FracciónFracciones, se utiliza para expresar una cantidad (numerador) dividida entre otra cantidad(denominador). Ambos, numerador y denominador, deben ser estrictamente números enteros yel denominador nunca habrá de ser cero.8

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.; , Ζ; 0RazónEs la comparación entre dos cantidades a travéz del cociente. Por ejemplo, de que en un conjuntode personas la cantidad de mujeres respecto a la de hombres sea de 9 a 1, 9 : 1 (por cada nuevemujeres hay un hombre),Distintos significados y representaciones.Los números fraccionarios tienen diferentes representaciones, tales como:a) Fracción común:;;@-, ,*;Ab) Expresión decimal: 0.6, 0.142857, 1.8 .c) Porcentaje o tanto por ciento, que es una o varias partes de las cien en que se divideun número: 12%, 3%, 1.7%, d) Fracciones equivalentes, que son las fracciones que representan el mismo valor, pero1;B, pero su forma decimal es la misma.se escriben de manera diferente: *B1-Los números racionales al poderse ubicar en la recta numérica, también tienen un orden y elcriterio para saber cuál es menor o mayor en la recta numérica es el mismo que el de los númerosenteros, es decir, es mayor el que está a la derecha del otro.Ejercicio 41) Ordena las siguientes fracciones comunes y colócalas en los cuadros, de manera que secumpla la relación que se pide. Comprueba este orden convirtiéndolas a su forma decimal.5 10 5 8 3 8 3 25 3 2) Realiza las siguientes simplificaciones.a)18 24b) 20 100c)120 105d)126 231e)144 180Es muy importante siempre simplificar las fracciones, evitará que trabajes con números grandes que asu vez generan mayor probabilidad de error.9

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.3) Relaciona una fracción que se ubique entre los dos números mostrados.3 518 923 1 107 1645 65 153245276163 01 24 3D 26710 120Operaciones básicas con números racionalesLas operaciones que se pueden realizar con números racionales son: adición, sustracción,multiplicación, división, potenciación y radicación.Para realizar las operaciones básicas con números racionales se procede igual que con losnúmeros enteros, solo que cuando son fracciones hay que cumplir ciertas reglas.Las reglas para efectuar operaciones algebraicas con número racionales son iguales que las deenteros con respecto a los signos.Para realizar las sumas algebraicas cuando los números son fracciones comunes, es necesarioque los denominadores sean iguales, procediéndose a sumar algebraicamente los numeradores.Ejemplo 1a)Ab)Ac)1; --* AE;; 4 - AE G;1 ;1*F- ; ;;-*En caso de que las fracciones no tengan el mismo denominador hay que proceder a convertirlasa fracciones equivalentes con el mismo denominador, lo cual se consigue utilizando el mínimocomún múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones que se suman.10

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Ejemplo 2. Al sumarA*1 , como los denominadores son diferentes, se calcula el m.c.m. de 3 A *y 5 que es 15, quedando que* 1; B ; , lo cual se puede obtener directamente al dividiral m.c.m. entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador correspondiente,obteniéndose:A*1* EB ; 1-;; Ejemplo 3. Al restar 4 a *, se procede de igual modo, es decir, se obtiene el m.c.m. de losdenominadores que es este caso es 3, y se obtiene:Ejemplo 4. Para obtener la suma de:**; B;;- 1* 4 1G;1; B;;- ; *, primero se busca el m.c.m.I. . I. 2 31 5 90 * 1AEA G11@ F @ F@Para multiplicar números fraccionarios comunes, basta multiplicar numerador por numeradorpara obtener el numerador del producto y denominador por denominador para obtener eldenominador del producto.*Ejemplo 5. Al multiplicar J K *A1;los signos. 1 A-basta con multiplicar horizontalmente y respetar la ley de*Ejemplo 6. Al multiplicar 5 J K A, tienes que recordar que el denominador de 5 es 1 por loque se tiene: ; *A ; A, que es positivo porque los dos números son del mismo signo.Para dividir fracciones comunes, basta con multiplicar el numerador de la fracción dividendopor el denominador de la fracción divisor para obtener el numerador del cociente y multiplicarel denominador del dividendo por el numerador del divisor para obtener el denominador delcociente.Ejemplo 7. Al dividir*1@LA M L *M ;-*A1K *, basta con multiplicar cruzado.ó2NOP2 G@;-extremos, numerador y medios, denominador.11

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.*Ejemplo 8. Al dividir A*@LA M 7 -@K 7, tienes que recordar que el denominador de –7 es 1.ó2NNGQ *-@extremos, numerador y medios, denominador.Para la potenciación de fracciones comunes, se sigue el procedimiento de la multiplicación defracciones, solo es necesario tener cuidado con que el exponente afecta tanto al numerador comoal denominador de la fracción.1 -Ejemplo 9. Para obtener la potencia de L*M 1R*R ;BF;Para la radicación se siguen las reglas de la de los números enteros, extrayendo la raízcorrespondiente a cada elemento de la fracción.Ejemplo 10. Para obtener la raíz de S VTUsolo hay que extraer la raíz cúbica de 1 y la raízcúbica de 8 y como es una raíz de grado impar de un número negativo, la raíz es negativa,quedando:W 211 1 2 28 82Prioridad de las operaciones. Uso de signos de agrupación y prioridad del cálculo.La prioridad de las operaciones con los números racionales es la misma que la establecida paranúmeros enteros, es decir: Ejemplo:Primero se realizan las potencias y raíces.Enseguida se realizan las multiplicaciones y divisiones.Al final se realizan las adiciones y sustracciones.Las operaciones presentadas en signos de agrupación (paréntesis) se realizanprimero utilizando el mismo orden de prioridad115 L 4 3M2 41L2 M L 5 3M3233 L M24 3L M 25 212

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.Es muy conveniente desarrollar por partes.Fracción derecha numerador1 134 33115555 X 4 Y 1 133 262323L 3 M L 6 M L M266Ejercicios. Simplifica el resultado de cada operación y preséntalo en forma racional.¡Cuidado con los signos!Ejercicio 51)2)Q OO 2QG1E2* EQR QL1G0MQG;GLG*E*OM O23)4)QQQLG1G;OML1G0M L;OE*MQQLG*E*OMLG1G;OM O BB) 1 B) ;- FA) 1FQZ*G;2[EZOP0[Q *L;OE*MA)Q A) BZG EO[ G;G;-A) @ B) ;-B) * -1 *;-1C) 1 C); C) C)D)1 *D)-1*AF* D)D) *1AF@13

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.5)QG;GO2RG1E Q LG MON 2GR O A)7)BB) Q1 \S ] *L ME- L G-M8O236)Q 1Q2 ;- *AA) *1\A) 3N0 RE2 QORB) *1 *1 C) 1 BD)1 B;D)-B C) *B) 46 *@] L M 2 BC)17D)34Operaciones con potencias y radicalesUna potencia de base “a” y exponente “n” consiste en multiplicar tantas veces “a” por sí mismo,como indique “n”. Por lo tanto, es una forma abreviada de representar una multiplicación (Coto,2011).Propiedades de los exponentesab Tcb TaT Tad ae adEead adGeaead eafd ad e ad fda d adL M dffcT cVg VV VUVg VgGVVVVgV cVh Vg V Vh chT i TiX Y iVVVGc TVc14

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas.aGd dTadiVV jVia e adeVTener en cuenta algunos cuadrados muy comunes, ejemploTTi TiT ,Tii Tcc,TVi Tkl,Tci Tlk,Tgi iigEn ocasiones es necesario combinar las potencias y radicales con las demás operaciones paraobtener resultados de procesos más complejos por lo que es importante conocer y aplicar todassus leyes.Suma y resta de radicalesEjemplo. Si deseas adicionar 8 18 , la prioridad de operaciones no te permiteconsiderar que el resultado es 20 , ya que primero debes obtener la raíz y después sumar; esasí que 26 resulta de primero sumar y después extraer la raíz cuadrada.Para poder efectuar la suma 8 18 , es necesario que primero factorices a los enteros queson los radicandos y extraigas las raíces cuadradas exactas y enseguida procedas a reduc

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