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Análisis de Series de TiempoBenjamı́n Oliva (benjov@ciencias.unam.mx)Semestre 2020-I, agosto 20191.Temario o guı́a para examen extraordinario1. Introducción al Análisis de Series de Tiempoa) La naturaleza de los datos de series de tiempob) Ejemplos y aplicaciones de las series de tiempo2. Elementos de Ecuaciones en Diferenciaa) Ecuaciones en diferencia homogéneas de primer órden y sus solucionesb) Operadores de rezago y sus representacionesc) Representación de algunos procesos divergentes3. Procesos Estacionarios Univariadosa) Procesos Autoregresivos AR(p)b) Procesos de Medias Móviles M A(q)c) Procesos ARM A(p, q) y ARIM A(p, d, q)d ) Función de Autocorrelación, Función de Autocorrelación Parcialy Pronósticos4. Modelos univariados de volatilidada) Modelos ARCH y GARCH1
b) Otros ejemplos de modelos de volatilidad5. Procesos No Estacionariosa) Definición y Formas de No Estacionariedadb) Eliminación de la Tendenciac) Pruebas de Raı́z Unitaria: Dickey-Fuller, Dickey-Fuller Aumentada, Phillips-Perron y de Cambio Estructurald ) Descomposición de Series de Tiempo (Filtros)6. Procesos de Vectores Autoregresivosa) Definición y caracterización del concepto de causalidadb) Prueba de Causalidadc) Definición y representación del Sistemad ) Causalidad de Grangere) Analı́sis de Impulso-Respuestaf ) Modelos V AR(1), V AR(2) y V AR(p)g) Representación de Medias Móviles7. Cointegracióna) Definición y Propiedades del Proceso de Cointegraciónb) Cointegración de Modelos de una Ecuaciónc) Cointegración de Modelos de Vectores Autoregresivosd ) Cointegración y la Teorı́a Económica8. Modelos multivariados de volatilidad: M ARCH y M GARCH19. Otros modelos no lineales (con rompimientos y modelos de cambio deregimen) 212Tema sujeto al avance del curso y del interés de los alumnos.Tema sujeto al avance del curso y del interés de los alumnos.2
2.Bibliografı́aCowpertwait, P. y Metcalfe, A. (2009). Introductory Time Series withR. Spinger.Guerrero Guzmán, Victor (2014). Análisis Estadı́stico y Pronóstico deSeries de Tiempo Económicas. Jit Press. 3ra Edición. (Las ediciones 1 2del libro fueron publicadas con el tı́tulo: Análisis Estadı́stico de Seriesde Tiempo Económicas). Cap: 2.Enders, Walter (2015). Applied Econometric Time Series. 4ta Edición.Wiley.Wei, William (2019). Multivariate Time Series Analysis and Applications. Wiley Series in Probability ans Statistics.3.Estructura del Examen y EvaluaciónLa evaluación del examen será medianteun examen escrito en formatopresencial. En el examen se indicará la ponderación de cada pregunta.Los alumnos que se incriban al examen simepre podrna consultar dudaspor correo o de forma presencial los martes y jueves a las 7.30 PM en la salafirmas.3
Notas de Clase: Series de TiempoBenjamı́n Oliva (benjov@ciencias.unam.mx)Omar Alfaro (omarxalpha@gmail.com)Draft Agosto 2018
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Índice general1. Introducción52. Introducción al análisis de series de tiempo2.1. La naturaleza de los datos de series de tiempo . . . . . . . . .2.2. Ejemplos y aplicaciones de las series de tiempo . . . . . . . . .7783. Elementos de Ecuaciones en Diferencia3.1. Ecuaciones en Diferencia para procesos deterministas . .3.1.1. Ecuaciones Lineales de Primer Orden . . . . . . .3.1.2. Ecuaciones Lineales de Segundo Orden y de ordenperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Operador de rezago L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15. . . 15. . . 16su. . . 21. . . 334. Modelos de Series de Tiempo Estacionarias4.1. Definición de ergodicidad y estacionariedad, y la función deautocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Procesos estacionarios univariados . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Procesos Autoregresivos . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Causalidad de Granger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Procesos de Vectores Autoregresivos . . . . . . . . . . . . . .4.5. Procesos No Estacionarios: Pruebas de Raı́ces Unitarias . . .4.5.1. ADF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37.375050727784845. Anexo855.1. El estimador de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios y el análisisclásico de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Estimación por el método de Máxima Verosimilitud (MV) . . 935.3. Métricas de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
5.4. Pruebas de Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.1. Prueba F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.2. Prueba t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016. Bibliografı́a1034
Capı́tulo 1IntroducciónEstas notas son un resumen, una sı́ntesis comparativa y, en algunos casos,una interpretación propia de los libros de texto de Cowpertwait y Metcalfe(2009); Enders (2015); Guerrero-Guzmán (2014); Kirchgassner, Wolters yHassler (2012); Tsay (2014), y Wei (2019). En algunos casos se incorporáinformación adicional para efectos de dar contexto al tema analizado.El objetivo de este documento es proporcionar un conjunto de apuntesque sirva de apoyo para la clase, por ello no deben considerarse como notasexhaustivas o como un sustituto de la clase y las seciones de laboratorio.Asimismo, es deseable que los alumnos puedan aportar sus observacionesy correcciones a estas notas–observaciones que siempre seran bienvenidas yagradecidas.En estas notas se estudian los temas que tı́picamente son incluidos comoparte del análisis de series de tiempo, los cuales son:1. Modelos univaraidos: AR(p), MA(q), ARMA(p, q) y ARIMA(p, d, q);2. Pruebas de raı́z unitaria;3. Modelos multivariados: Vectores Autoregresivos (VAR) y Cointegración;4. Modelación de errores estándar con heterocedasticidad y autocorrelación: ARCH(r), GARCH(n), y5
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Capı́tulo 2Introducción al análisis deseries de tiempo2.1.La naturaleza de los datos de series detiempoEl análisis de series de tiempo tiene muchas aplicaciones en diversos campos de la ciencia. Por ejemplo, en la economı́a continuamente se está expuestoa observaciones de los mercados financieros, indicadores de empleo, ı́ndices oindicadores del nivel de producción, ı́ndices de precios, etc. En otros camposde las ciencias sociales se emplea el análisis de series de tiempo para analizarla evolución de la población, los nacimientos, o el número de personas conmatriculas escolares. Finalmente, en las ciencias exactas se pueden encontrarcasos como los de un epidemiólogo que puede estar interesado en el númerode casos de influenza observados en algún perı́odo de tiempo dado y si a éstosse les puede asociar con algún tipo de estacionalidad.La primera aproximación que se suele tener a las series de tiempo esmediante el exámen de datos puestos en una gráfica, en la cual uno de losejes es el tiempo. No obstante, en este tipo de exámenes existen dos enfoques.Por un lado, existe el efoque de la importancia del tiempo, el cual consieteen reconocer cómo lo que sucede hoy es afectado por lo que pasó ayer –o, en general, en periodos pasados–, o cómo lo que pasa hoy afectará loseventos futuros. Por otro lado, existe el enfoque del análisis frecuentista o defrecuencia, mediante el cual se busca reconocer la importancia que tiene paralos investigadores los ciclos: estacionales, de crisis económicas, etc.7
Figura 2.1: Indicador Global de la Actividad Económica (IGAE) Global ypara las Actividades Primarias (2008 100), ene-2002 - mayo-20182.2.Ejemplos y aplicaciones de las series detiempoUn primer ejemplo que puede ilustrar la presencia de los dos tipos deenfoques antes mencionadas es la Figura 2.1.1 En ésta figura se muestra laevolución del Indicador Global de la Actividad Económica (IGAE) en suversión global o del total de la economı́a y en su versión únicamente para lasactividades primarias entre enero de 2002 y mayo de 2018.Como se puede observar, el IGAE del total de la economı́a muestra, principalmente, que el enfoque del tiempo es más relevante. Es decir, que existecierta persistencia en el indicador, lo que significa que la economı́a crece enrazón del crecimiento reportado en periódos pasados. No obstante, lo que nopodemos reconocer es que los efentos futuros tienen un efecto en el desempeño de la economı́a hoy dı́a. Ası́, no es común observar cambios abruptosdel indicador.1Todas las Gráficas mostradas en este Capı́tulo se elaboraron con el código y datoscontenidos en la carpeta de Drive en la subcarpeta Laboratorio dentro de la carpetaCapitulo 2.8
Figura 2.2: Índice de Confianza del Consumidor (ICC): General y resultadode ¿Cómo considera usted la situación económica del paı́s hoy en dı́a comparada con la de hace 12 meses? (enero 2003 100), ene-2002 - mayo-2018Por el contrario, el IGAE de las actividades primarias muestra una presencia significativa de la importancia de la frecuencia. No pasa desapercibido que existen muchos ciclos en la evolución del indicador. Algo que suenacomún en las actividades primarias, cuya producción depende de eventos queson ciclı́cos como el clima. Otro factor que puede influir en el indicador sonelementos de demanda, más que los de oferta. Por ejemplo, el consumo dealimentos tı́picos de algunas temporadas del año.Como segundo ejemplo, en la Figura 2.2 se ilustra la evolución recientedel Índice de Confianza del Consumidor (ICC) en dos de sus versiones: elprimero refiere el ı́ndice global y el segundo considerando la confianza de losconsumidores cuando éstos consideran la situación actual en la economı́a enrelación el año anterior.Debe destacarse que el ICC mide las expectativas de los consumidores enrazón de la información pasada y de la esperada, segun dichos consumidores.Ası́, es probable que las dos series de tiempo exiban un gran peso para loseventos pasados, pero a la vez, un componente –probablemente, menor– delcomponente de frecuencia. Esto último, en razón de que los consumidoressuelen considerar en sus expectativas de consumo los periódos ciclı́cos de la9
Figura 2.3: Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valoresy Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera (PesosX Dólar), ene-2002 - mayo-2018economı́a: temporadas navideñas, pagos de colegiaturas, etc. Este sengundoejemplo, tambien ilustra qué la confianza del consumidor no necesariamenteesta directamente correlacionada con el desempeño de la economı́a.Como tercer ejemplo se muestra la evolución de dos series. La Figura 2.3ilustra el comportamiento reciente de dos indicadores que son referencia paralos inversionistas. Por un lado, se ubica el Índice de Precios y Cotizacionesde la BMV (IPC), el cuál refleja el valor de las acciones de empresas quecotizan en la BMV y el vólumen de acciones comercializadas, en conjunto.De esta forma, se ha interpretado que el IPC refleja el rendimiento del capitalpromedio invertido en las empresas que cotizan en la BMV.Por otro lado, en la Figura 2.3 se presenta la evolución del Tipo de Cambio(TDC); indicador financiero que se suele utilizar como medio de reserva devalor. Esto, en razón de que el TDC es conocido como un instrumento que enmomentos de crisis toma valores contraciclicos de la economı̀a mexicana. Noobstante, ambos indicadores no son comparables. Para hacerlos comparblesen la Figura 2.4 se presentan en versión ı́ndice con una base en el primer mesde la muestra.En la perspectiva de la Figura 2.4 se puede apreciar que el TDC no es tan10
Figura 2.4: Índice del Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores e Índice del Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones enMoneda Extranjera (ambos, enero de 2002 100), ene-2002 - mayo-2018rentable, ya que una inversión en la BMV mediante el IPC, en el largo plazo,muestra más redimientos. Asimismo, la Figura 2.4 ilustra que en ambas seriesse observa un dominio de la condición de tiempo y no uno de frecuencia. Esdecir, tanto el IPC como el TDC no responden a condiciones como cicloso temporadas que si son observables en actividades económicas como lasprimarias.Finalmente, la Figura 2.5 ilustra un caracterı́stica que también resulta degran interés en el analı́sis de series de tiempo: los datos de alta frecuencia yde comportamiento no regular. Como se puede observar, en al Figura 2.5 semuestran las diferencias logarı́tmicas de las series de IGAE de la actividadtotal, el IPC y el TDC.Dichas diferencia se pueden interpretar como una tasa de crecimientode las series por las siguientes razones. Consideremos una serie de tiempodada por yt , cuya versión logarı́tmica es ln(yt ). De esta forma, la diferencialogarı́tmica esta dada por la ecuación (2.1): ln(yt ) ln(yt ) ln(yt 1 ) ln11ytyt 1 (2.1)
Figura 2.5: Tasas de crecimiento mensuales (diferencias logarı́tmicas) de: Indicador Global de la Actividad Económica; Índice de Precios y Cotizacionesde la Bolsa Mexicana de Valores y Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera, feb-2002 - mayo-201812
Ahora bien, si retomamos la definición de tasa de crecimiento (TC) deuna serie de tiempo yt entre el periodo t y t 1 podemos obtener que:TC ytyt yt 1 1yt 1yt 1(2.2)De esta forma, si tomamos el logarı́tmo de la expresión de la ecuación(2.2) obtenemos la siguiente aproximación: ytyt 1 ln ln(yt ) ln(yt 1 )(2.3)yt 1yt 1La ecuación (2.3) es cierta cuando los valores de yt y yt 1 son muy parecidos, es decir, cuando las variaciones no son tan abruptas. Otra formade interpretar la ecuación (2.3) es que para tasas de crecimiento pequeñas,se puede utilizar como una buena aproximación a la diferencia logarı́tmicamostrada en la ecuación (2.1).En la Figuara (2.5) se reportan las diferencias logarı́tmicas del IGAE,IPC y TDC, todos, como una media de distitntos tipos de redimientos. Esdecir, podemos decir que un capitalista promedio (suponiendo que solo puedeinvertir en la actividad económica, en la bolsa o en el dólar), puede observarque le es más redituable en función de sus preferencias.Notése que la dinámica de las variaciones de cada una de las series essignificativamente diferente. Destaca que el TDC es una de las variables que,en general, no muestra grandes cambios a lo largo del tiempo. No obstante, sehan observado cambios radicales, cuando menos en el año 2008. Lo anterior,son caracteristicas que se han observado para el IPC. En cambio, el IGAEmuestra un comportamiento más estable o estacionario.13
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Capı́tulo 3Elementos de Ecuaciones enDiferencia3.1.Ecuaciones en Diferencia para procesosdeterministasEn el capı́tulo previo se hizó una introducción al concepto de series detiempo. En este Capı́tulo se pretende desarrollar la construcción de los procesos generadores de datos de las series de tiempo. En un sentido más formal, seexpondrá que las series de tiempo se pueden considerar como una secuenciade variables aleatorias.Para tales efectos, se desarrollará una introducción al concepto de ecuaciones en diferencia. Ası́, las preguntas que se pretende responder son:1. ¿Cuál es la solución de la ecuación en diferencia que se estudia?2. ¿Cuáles son las condiciones para que un proceso estocástico, representado mediante una ecuación en diferencia, llegue a alcanzar un puntode equilibrio en el largo plazo?El término de ecuación en diferencia sirve para denominar un procesosimilar o equivalente dentro de las ecuaciones diferenciales, dentro del cualse consideran a un conjunto de variables que están en función del tiempo.Ası́, si consideramos al tiempo como una variable continua, es decir, consideramos una variable Z(t), podemos expresar las siguientes expresiones para15
la ecuación diferencial:dZ(t) d2 Z(t)dk Z(t);;.;dtdt2dtk(3.1)Por otro lado, suponiendo el caso del tiempo en forma discreta, es decir, con t . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . ., entonces el comprtamiento de la serie devariables dadas por Zt , la cual se puede expresar como: Zt ; 2 Zt ; . . . ; k Zt(3.2)Observemos que una forma técnicamente más correcta es escribir las expresiones anteriores como: k Zt Zt 2 Zt;;.; t t2 tk(3.3)No obstante, no pasa desapercibido que t 1, por lo que resultanequivalentes ambos conjuntos de expresiones (3.2) y (3.3).3.1.1.Ecuaciones Lineales de Primer OrdenEl primer caso que se suele estudiar en relación a Ecuaciones en Diferenciaes el de las Ecuaciones Lineales en Diferencia de Primer Orden. Al respecto,al igual que en el caso continúo, las variaciones de la variable Zt se puedenexpresar como se ilustra en el siguiente ejemplo. Consideremos la siguienteecuación:Zt a0 a1 Zt 1(3.4)Donde, t . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . ., y a0 y a1 6 0 son números realesconstantes. De (3.4) podememos despejar la variable Zt 1 y obtener unaforma de ecuación en diferencia:Zt a1 Zt 1 a0(3.5)Ahora denotemos a LZt Zt 1 , es decir, mediante el operador L se puederezagar una variable dada. En general, podemos decir que el operador tienedos propiedades, la primera es que es lineal en el sentido de que abre sumasy saca escalares como se muestra en la siguiente expresión para el caso de un(1) rezago:L(αZt β) αZt 1 β(3.6)16
Donde α, β R y α, β 6 0. Otro reesultado implı́cito en este primerpropiedad es que el operador rezago aplicado a cualquier escalar dará comoresultado el escalar, puesto que este es una constante sin importa el momentot en el cual se encuentre la variable.La segunda propiedad del operador es que se puede aplicar de formaconsecutiva a una misma variable. Es decir, L(Zt 1 ) LLZt L2 Zt , porlo que en general tendremos: Lp Zt Zt p (con p Z). Ası́, en el caso de prezagos la propiedad de linealidad del operador rezago será:Lp (αZt β) αZt p β(3.7)Dicho lo anterio podemos escribir la solución general de (3.5) como:Zt a1 LZt a0(1 a1 L)Zt a01 sat11 a1 L1 sat1 a01 a1Zt a0Zt(3.8)Donde a1 6 1 y t . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . Notése que la aplicación deloperador rezago L a la constante a1 dará como resultado el valor de la mismaconstante, ya que ésta no depende del momento t en el cuál observemos ala variable Zt . En la ecuación (3.8) se adiciona un término sat1 que permiteubicar la trayectoria inicial de la solución de la ecuación. El componente nosignifica un cambio respecto de la ecuación (3.5) original, ya que si buscaramos reconstruir a ésta ecuación tendrı́amos:(1 a1 L)sat1 sat1 a1 sLat1sat1 a1 sat 11sat1 sat10La ecuación (3.8) se suele interpretar como la solución de largo plazo.Ahora demotraremos por qué es cierta la ecuación y discutiremos algunascondiciones que se deben observar en esta solución para que sea una soluciónconvergente. No obstante, primero discutiremos un método indirecto e incompleto para demostrar el resultado, dicho método es conocido como el método17
conocido como el método iterativo. Plantearemos las siguientes ecuacionespartı́culares donde suponemos la existencia del valor inicial Z0 del proceso:Z1 a0 a1 Z0Z2 Z3 a0 a1 Z1a0 a1 (a0 a1 Z0 )a0 a0 a1 a21 Z0a0 (1 a1 ) a21 Z0a0 a1 Z 2a0 a1 (a0 a0 a1 a21 Z0 )a0 a0 a1 a0 a21 a31 Z0a0 (1 a1 a21 ) a31 Z0De lo anterior se puede inferir que el método iterativo convergerá haciauna expresión como la siguiente en el momento t:Zt a0 a1 Zt 1t a0 (1 a1 a21 . . . at 11 ) a1 Z0t 1X a0ai1 at1 Z0(3.9)i 0Donde, es necesario que en la ecuación (3.9) se cumpla que a1 1 paraque la suma sea convergente –más adelante detallaremos esta afirmación–. Aeste tipo de ecuaciones se les puede denominar como lineales. Esto en razónde que ningún término de la varaible Z aparce elevado a ninguna potenciadistinta a 1. También, son de primer órden, ya que el rezago de la variableZ es sólo de un periódo.En adelante trabajaremos con ecuaciones en las que la variable Z se encuentra rezagada en cualquiera de los siguientes casos:Zt , Zt 1 , Zt 2 , Zt 3 , . . . , Zt p , . . .18(3.10)
Por lo que diremos que en adelante el curso versará sobre ecuaciones endiferencia lineales y de cualquier órden p.Retomando la ecuación (3.9) y considerando la parte de la suma de lostérminos de ai1 , de tal forma que buscaremos dar una expresión más compresible a dicho término. Definamos la siguiente expresión como:St 1 t 1Xai1(3.11)i 0Por lo tanto, St estarı́a dado por la siguiente expresión:St a1t 1Xai1i 0 a1 (1 a1 a21 . . . at 11 )23t a1 a1 a1 . . . a1 a1 St 1(3.12)Tomando los dos resultados de las ecuaciones (3.11) y (3.12) anteriores,podemos expresar que si a St 1 le restamos St , y desarrollando ambos ladosde la ecuación anterior podemos obtener:St 1 a1 St 1 St 1 St23t(1 a1 )St 1 (1 a1 a21 . . . at 11 ) (a1 a1 a1 . . . a1 )(1 a1 )St 1 1 at1Ası́, podemos concluir que:St 1 1 at11 a1(3.13)Conjuntando éste último resultado de la ecuación (3.13) con la ecuación(3.9) tenemos la siguiente solución por el método de iteración: 1 at1Zt a0 at1 Z0(3.14)1 a1De esta forma la ecuación (3.14) es una solición para la ecuación (3.9),que es una ecuación de un proceso de una Ecuación en Diferencia plantenado19
en la ecuación (3.4). Está solución aún no es general, en el sentido de quesea válida para cualquiel tipo de proceso: convergente o divergente. Dichaconvergencia o divengencia estará determinada por el paramétro a1 . No debepasar desapercibido que cuando t o cuando la muestra es muy grande(lo que es equivalente), podemos decir que la solución solo puede convergera la siguiente expresión cuando se considera que a1 1: 1(3.15)Zt a01 a1Retomemos ahora el caso general descrito en la ecuación (3.8) y determinemos una solución general en la cual a1 6 1 y t . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .Para ello observemos que el siguiente componente en la ecuación mencionadase puede interpretar como la suma infinita de términos descritos como:1 1 a1 a21 . . . at1 . . .1 a1 X ai1(3.16)i 0Donde claramente es necesario que a1 1. Por lo tanto, sólo faltarı́adeterminar el valor de la constante s en la ecuación (3.8) de la siguienteforma, supongamos que observamos el proceso en el momento inicial, por loque es posible determinar el valor de la constante conociendo el valor inicialdel proceso como sigue:1 s(3.17)Z 0 a01 a1De la ecuación (3.17) tenemos que:s Z0 a011 a1(3.18)Ası́, juntando la ecuación (3.8) y ecuación (3.18) tenemos la expresión:Z t a01 at1 at1 Z01 a1(3.19)No debe pasar desapercibido que está solución es la misma que la mostrada en la ecuación (3.14), por lo que en realidad ambas ecuaciones son unasolución general indistintamente entre las ecuaciones (3.14) y (3.19). Ambas20
convergen a la expresión como la ecuación (3.15), con la misma condición deconvergencia a1 1. Para ilustrar estas ecuaciones veámos algunos ejemplosal respecto.Consideremos que tenemos un proceso Zt que es descrito por una ecuaciónen diferencia lineal de primer órden dada por:Zt 2 0,9Zt 1(3.20)Siguiendo la expresión mostrada en la ecuación (3.19), obtenemos la expresión: 1 0,9t 0,9t Z0(3.21)Zt 21 0,9Donde asumiremos que el valor inicial es Z0 10 y que la expresión debeconverger al valor de 20, cuando t es muy grande o tiende a infinito. De formasimilar tomemos otro ejemplo, en el cual asumimos la siguiente expresión:Zt 2 0,5Zt 1(3.22)Siguiendo la expresión mostrada en la ecuación (3.19), obtenemos: 1 ( 0,5)tZt 2 ( 0,5)t Z0(3.23)1 0,5Donde asumiremos que el valor inicial es Z0 10 y que la ecuaciónconverge al valor de 1,3333333 . . ., cuando t es muy grande o tiende a infinito.Ahora simulemos el comportamiento de ambos procesos y estableceremos losresultados del Cuadro 3.1. Notemos que el segundo proceso converge de unaforma más rapida que el primero. El Cuadro 3.1 se ilustra en las siguientesdos gráficas (3.1 y 3.2).3.1.2.Ecuaciones Lineales de Segundo Orden y de orden superiorComo un segundo caso a estudiar se ubica el caso de las EcuacionesLineales en Diferencia de Segundo Orden y de orden superior. Primero, seauna ecuación como la siguiente, la cual es lineal y de segundo orden, ya quetiene asociado un término de Zt rezagado dos periódos:Zt a0 a1 Zt 1 a2 Zt 221(3.24)
Tiempo012345678910111213141516.Zt 2 0,9Zt 1757017.4581317.7123217.9410918.14698.Zt 2 0,5Zt 3333331.333333Cuadro 3.1: Dos ejemplos de procesos de Ecuaciones Lineales de Primer Orden convengentes22
Figura 3.1: Evolución del proceso dado por Zt 2 0,9Zt 1Figura 3.2: Evolución del proceso dado por Zt 2 0,5Zt 123
Donde, t . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . y a1 , a2 6 0. Reordenando la ecuación(3.24) podemos escribir:Zt a1 Zt 1 a2 Zt 2 a0Zt a1 LZt a2 L2 Zt a0(1 a1 L a2 L2 )Zt a0(3.25)Ası́, la solución general propuesta para la ecuación (3.25) es la siguiente,la cual es una forma analóga a una Ecuación Lineal en Diferencia de PrimerOrden:a0 s1 g1t s2 g2t(3.26)Zt 1 a1 a2En donde s1 y s2 son constantes que se determinan mediante dos condiciones iniciales –por lo que requerimos de dos condiciones iniciales–. Losvalores de g1 y g2 están relacionados con los coeficientes a1 y a2 , de estaforma:a1 g1 g2a2 g1 g2(3.27)(3.28)Lo anterior surge del siguiente procedimiento, retomando que siempre esposible descomponer una ecuación cuadrática en dos expresiones como:(1 a1 L a2 L2 ) (1 g1 L)(1 g2 L) 1 g1 L g2 L g1 g2 L2 1 (g1 g2 )L g1 g2 L2(3.29)Donde se observa la equivalencia mostrada en las ecuaciones (3.28) y(3.28). Ası́, considerando la ecuación (3.26) tenemos que:(1 a1 L a2 L2 )Zt (1 g1 L)(1 g2 L)Zt a0 (1 g1 L)(1 g2 L)s1 g1t (1 g1 L)(1 g2 L)s2 g2t(3.30)Por lo tanto, buscamos que para que el proceso sea equivalente y podamosinterpretar que la ecuación (3.26) sea una solución general deberá pasar losiguiente:(1 g1 L)(1 g2 L)s1 g1t (1 g1 L)(1 g2 L)s2 g2t 024(3.31)
O escrito de otra forma:(1 g1 L)s1 g1t (1 g2 L)s2 g2t 0(3.32)Ahora determinemos cuáles son los valores g1 y g2 para los valores a1y a2 que nos permitan determinar si el proceso será convergente. Para ellodebemos resolver la siguiente ecuación:(1 g1 x)(1 g2 x) 0(3.33)Donde, claramente existen dos raı́ces: x1 g1 1 y x2 g2 1 . Ası́, la soluciónestará dada por las raı́ces de la ecuación caracterı́stica:1 a1 x a2 x 2 0a2 x 2 a1 x 1 0(3.34)Cuya solución es:pa21 4a2x (3.35)2a2Es importante distinguir tres casos diferentes en relación con las raı́cesque surgen como solución de la ecuación (3.34), estos son:Caso I. Si a21 4a2 0, la ecuación (3.34) proporcionará dos valores deraı́ces reales y distintos, eso es x1 g1 1 6 x2 g2 1 . Si por ahora suponemosque g1 1 y que g2 1, entonces tendremos que:! ! XX(1 g1 L) 1 (1 g2 L) 1 a0 g1j Ljg2j Lj a0 a1 j 0 Xj 0j 0!g1j X!g2ja0j 0a0 (1 g1 )(1 g2 )a0 1 a1 a2(3.36)Esto último es el punto de equilibrio de la ecuación (3.26); considerandoque g1 1 y que g2 1 –notemos que los demás casos son divergentes–.De esta forma la solución de la ecuación estará dada por:a0lı́m Zt (3.37)t 1 a1 a225
Caso II. Si a21 4a2 0 en la ecuación (3.34), entonces las raı́ces serannúmeros complejos conjugados, es decir:g1 1 u ivg2 1 u iv(3.38)(3.39)Dichas raı́ces las podemos escribir en coordenadas polares como:g1 1 reiθ r(cos(θ) isen(θ))g2 1 re iθ r(cos(θ) isen(θ))(3.40)(3.41) Donde: r u2 v 2 , a esta expresión también se le conoce como modulo. Alternativamente, podemos escribir que r g1 g2 . La única condición esque r 1 para que el proceso descrito en la ecuación (3.26) sea convergente.Al igual que en el Caso I, el punto de equilibrio de la ecuación se deberı́aubicar al rededor (3.37), siempre que r 1, por lo que el factor que determinala convergencia es el modulo, ya que si el modulo es mayor a 1, el procesoserá divergente, pero si es menor a 1 convergerá a (3.37).Caso III. Ahora revisemos el caso en el que a21 4a2 0, de esta formalas raı́ces serán identicas:g g1 1 g2 1 a12a2(3.42)Ası́, el punto de equilibrio será dado por la solución descrita como:(1 gL)2 Zt a0a0 s1 g t s2 tg t(1 gL)2 X a0(1 i)g j s1 g t s2 tg tZt (3.43)i 0Donde al expresión amnterior es resultado de considerar el siguiente procedimiento, sea: f (g) X1 gj(1 g)j 026
Por lo que si hacemos la primer derivada del la expresión anterior tenemosque:1(1 g)2 X jg j 1f 0 (g) j 0 0 g 0 2g 1 3g 2 . . . X (1 j)g jj 0Ahora veámos un ejemplo de una Ecuación Lineal en Diferencia de Segundo Orden. Supongamos la ecuación y el desarrollo siguientes:Zt 3 0,9Zt 1 0,2Zt 2(1 0,9L 0,2L )Zt 32La solución dada por una ecuación similar a la expresión (3.34), obtendrı́amos la solución dada por las ecuaciones equivalentes a:1 0,9x 0,2x2 0 0,2x2 0,9x 1 0De donde las raı́ces del polinomio caracterı́stico x1 g1 1 y x2 g2 1 seobtienen de la expresión dada por:p0,81 (4)( 0,2)x (2)( 0,2)0,9 0,1 0,4 0,9 Dado que el componente a21 4a2 es positivo, obtendremos dos raı́cesreales. Las raı́ces estarán dadas por x1 2,5 y x2 2,0, de lo cual podemosdeterminar que g1 0,4 y g2 0,5. De esta forma tenemos que g1 1y g2 1, ası́ la ecuación converge a la expresión dada por las siguientes27
expresiones:3 s1 (0,4)t s2 (0,5)t1 0,9L 0,2L23 s1 (0,4)t s2 (0,5)t 1 0,9 0,23 s1 (0,4)t s2 (0,5)t(1 0,4)(1 0,5)Zt Al final, la ecuación que describe la solución general será:zt 10 s1 (0,4)t s2 (0,5)t(
alimentos t picos de algunas temporadas del ano. Como segundo ejemplo, en la Figura 2.2 se ilustra la evoluci on reciente del Indice de Con anza del Consumidor (ICC) en dos de sus versiones: el primero re ere el ndice global y el segundo considerando la con anza de los consumidores cuando estos consideran la situaci on actual en la econom a en
